2018届高考数学复习专题练习测试题

2018届高考数学复习专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 练习测试题1．若实数k满足0<k<5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的(　D　)A．实半轴长相等　　　　　 B．虚半轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等[解析]　∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D．2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　A　)A．x25－y220＝1 B．x220－y25＝1C．3x225－3y2100＝1 D．3x2100－3y225＝1[解析]　由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则ba＝2，结合a2＋b2＝c2，c＝5得，∴a2＝5，b2＝20，双曲线标准方程为x25－y220＝1，选A．3．(2016·全国卷Ⅰ，5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为(　B　)A．13　　　 B．12　　　C．23　　　 D．34[解析]　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得bc\r(b2＋c2)＝14×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以c2a2＝14，即e2＝14，所以e＝12(e＝－12舍去)，故选B．4．若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是(　C　)A．(－23，0) B．(0，32)C．(0，23) D．(－∞，0)∪(23，＋∞)[解析]　设直线AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y1＋y2－2b＝2p－2b，由条件知线段AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)，即(p－b，p)在直线x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p2－8pb＝4p2－8p(2p－1)＝－12p2＋8p>0，∴0<p<23．5．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则椭圆C的离心率为(　C　)A．12 B．2)2C．57 D．58[解析]　利用椭圆的定义、几何性质求解．在△ABF中，由余弦定理可得36＝100＋|BF|2－20|BF|×45，解得|BF|＝8.又在△BOF中，由余弦定理得|OF|2＝64＋25－80×45＝25，所以c＝5.设椭圆右焦点是f′，则由椭圆对称性可得|BF|＝|Af′|，所以2a＝|AF|＋|Af′|＝14，a＝7，则离心率e＝ca＝57，故选C．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若|AF1||AF2|＝53，则双曲线的离心率等于(　A　)A．2 B．3C．2 D．3[解析]　设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x，∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，由双曲线的定义知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝ca＝2．7．(2017·唐山二模)椭圆y2＋x2m2＝1(0<m<1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是(　B　)A．[2)2，1) B．(0，2)2]C．[12，1) D．(0，12][解析]　当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则∠F1PF2≥90°，所以∠F2PO≥45°(O是原点)，从而ca≥2)2，即1－m2≥12，又0<m<1，所以0<m≤2)2．8．(2017·济宁模拟)设点P是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为(　A　)A．12 B．2)2C．3)2 D．3)－12[解析]　因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有32×2c×r＝12×(|PF1|＋|PF2|＋2c)×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝12．9．(2017·兰州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)离心率为3)2.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　D　)A．x28＋y22＝1 B．x212＋y26＝1C．x216＋y24＝1 D．x220＋y25＝1[解析]　椭圆的离心率e＝ca＝a2－b2)a＝3)2．所以a＝2b．所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2．因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0．所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为(5)5b，5)5b)．所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为5)5b×5)5b＝4，所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20．所以椭圆C的方程为x220＋y25＝1．故选D．10．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　B　)A．5 B．5C．25 D．10[解析]　由题意，知圆心M的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0．因为(a－2)2＋(b－2)2表示点(a，b)与(2,2)的距离的平方，而a－22＋b－22的最小值为|4＋2－1|\r(4＋1)＝5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5．故选B．11．(2017·济宁二模)如图，已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上，过P作y轴的垂线，垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为(　B　)A．3 B．3)＋12C．2 D．23－1[解析]　由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c，连接QF2(图略)，由对称性可知，|QF2|＝|QF1|＝2c，则三角形QPF2为等边三角形．过点P作PH⊥x轴于点H，则∠PF2H＝60°，因为|PF2|＝2c，所以在直角三角形PF2H中，|PH|＝3c，|HF2|＝c，则P(2c，3c)，连结PF1，则|PF1|＝23c.由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝23c－2c＝2(3－1)c，所以双曲线的离心率为ca＝1\r(3)－1＝3)＋12．12．(2017·武汉二模)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则|MN||AB|的最大值为(　A　)A．3)3 B．1C．3)3 D．2[解析]　设AF＝a，BF＝b，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－(a＋b2)2＝34(a＋b)2.∵a＋b＝AF＋BF＝2MN，∴|AB|2≥34|2MN|2，∴|MN||AB|≤3)3．13．(2017·全国卷Ⅲ，14)双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝__5__.[解析]　∵双曲线的标准方程x2a2－y29＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax．又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5．14．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线x2b2＋y2a2＝1上，则双曲线的离心率为__2__.[解析]　不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y＝bax，由y－0＝－\f(abba)x得垂足的坐标为(a2c，abc)，把此点坐标代入方程x2b2＋y2a2＝1，得a4b2c2＋a2b2a2c2＝1，化简，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝ca＝2．15．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则|→|＋|→|＝__10__.[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x21＝4y1，x22＝4y2，两式相减整理得，y1－y2x1－x2＝x1＋x24＝12，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0，将x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得|→|＋|→|＝y1＋y2＋2＝10．16．已知直线2ax＋by＝1(其中a、b为非零实数)与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则1a2＋2b2的最小值为__4__.[解析]　∵△AOB为等腰直角三角形，⊙O的半径为1，∴O到直线2ax＋by－1＝0的距离为2)2，即1\r(2a2＋b2)＝2)2，∴2a2＋b2＝2，∴1a2＋2b2＝(1a2＋2b2)(2a2＋b22)＝2＋2a2b2＋b22a2≥4，等号在2a2b2＝b22a2，即b2＝2a2＝1时成立，∴所求最小值为4．17．(2017·哈尔滨市质检)已知圆C1：x2＋y2＝r2截直线x＋y－2)2＝0所得的弦长为3.抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在圆C1上.(1)求抛物线C2的方程；(2)过点A(－1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．[解析]　(1)易求得圆心到直线的距离为12，所以半径r＝1\r(32＝1.∴圆C1：x2＋y2＝1.抛物线的焦点(0，p2)在圆x2＋y2＝1上，得p＝2，所以x2＝4y．(2)设所求直线的方程为y＝k(x＋1)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．将直线方程代入抛物线方程可得x2－4kx－4k＝0，∴x1x2＝－4k．因为抛物线y＝x24，所以y′＝x2，所以两条切线的斜率分别为x12、x22，所以x12·x22＝－1＝－4k4，所以k＝1．故所求直线方程为x－y＋1＝0．18．(2017·大同二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点B(1,0)，圆A：(x＋1)2＋y2＝16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线与AP相交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点B(1,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于E，F两点，求弦长|EF|．[解析]　(1)由已知|QP|＝|QB|，Q在线段PA上，所以|QA|＋|QB|＝|AQ|＋|QP|＝4，所以点Q的轨迹是椭圆，2a＝4，a＝2,2c＝2，c＝1，所以b2＝3，所以曲线C的方程为x24＋y23＝1．(2)直线EF的方程为：y＝x－1．由y＝x－1，x2y23)＝1.消去y整理得7x2－8x－8＝0，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，所以x1＋x2＝87，x1·x2＝－87，|EF|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·2)7＝247．19．(文)(2017·德阳市二诊)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点(1，e)，其中e为椭圆的离心率．F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF1F2为等腰直角三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，第一象限内的点P(1，m)在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．[解析]　(1)∵椭圆x2a2＋y2b2＝1经过(1，e)，∴1a2＋e2b2＝1，又e＝ca，∴1a2＋c2a2b2＝1，解之得b2＝1，∴椭圆方程为x2a2＋y2＝1．又△MF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c＝1，a＝2，故椭圆方程为x22＋y2＝1．(2)由(1)可知椭圆的方程为x22＋y2＝1，故P(1，2)2)，由题意，当直线l垂直于x轴时显然不合题意．设不经过原点的直线l的方程y＝kx＋t(t≠0)交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由\f(x22y＝kx＋t.消去y得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)·(2t2－2)＝16k2－8t2＋8>0，∴x1＋x2＝－4kt1＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2t1＋2k2，x1x2＝2t2－21＋2k2，直线OP方程为y＝2)2x且OP平分线段AB，∴2t1＋2k2＝2)2×－4kt1＋2k2，解得k＝－2)2．∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k24－2t2，又∵点P到直线l的距离d＝2)－t|\r(1＋k2)＝h，∴S△PAB＝12|AB|h＝12\r(2)－t24－2t2．设f(t)＝(2－t)2(4－2t2)＝－2t4＋42t3－82t＋8，由直线l与椭圆C相交于A、B两点可得－2<t<2．求导可得t＝－2)2时f(t)在(－2，2)上有最大值272，此时S△PAB取得最大值，此时直线l的方程y＝－2)2x－2)2．(理)(2016·北京卷，19)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为3)2，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．[解析]　(Ⅰ)由题意得\f(c\r(3212a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1．所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则x20＋4y20＝4．当x0≠0时，直线PA的方程为y＝y0x0－2(x－2)．当x＝0，得yM＝－2y0x0－2，从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋2y0x0－2|．直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1．令y＝0，得xN＝－x0y0－1，从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋x0y0－1|．所以|AN|·|BM|＝|2＋x0y0－1|·|1＋2y0x0－2|＝|220x0y0－x0－2y0＋2|＝|4x0y0－4x0－8y0＋8x0y0－x0－2y0＋2|＝4．当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4．综上，|AN|·|BM|为定值．20．(文)(2017·广西质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，短轴的一个端点B到点F的距离等于焦距.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解析]　本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线方程．(1)由已知得c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1．(2)S△BFMS△BFN＝2等价于|FM||FN|＝2，当直线l的斜率不存在时，|FM||FN|＝1，不符合题意，舍去；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由\f(x2y23y＝kx－1，消去x并整理得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－6k3＋4k2①，y1y2＝－9k23＋4k2②，由|FM||FN|＝2得y1＝－2y2③，由①②③解得k＝±5)2，因此存在直线l：y＝±5)2(x－1)，使得△BFM与△BFN的面积比值为2．(理)(2017·江西宜春高三联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2)2，它的一个焦点恰好与抛物线y2＝4x的焦点重合.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为14，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．[解析]　(1)设椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由已知c＝1，e＝2)2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆方程为x22＋y2＝1．(2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时，设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)，kAB·kAC＝y0－1x0·－y0－1x0＝2020＝12020＝12≠14，不合题意．故直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0，①由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0得2k2－m2＋1>0.②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1·x2＝2m2－11＋2k2，由kAB·kAC＝y1－1x1·y2－1x2＝14得：4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2，即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0，整理得(m－1)(m－3)＝0，又因为m≠1，所以m＝3，此时直线BC的方程为y＝kx＋3，所以直线BC恒过一定点(0,3)．