（新教材）【人教A版】高一数学《 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定》

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定　1.全称量词命题的否定全称量词命题p﹁p结论∀x∈M,p(x)∃x∈M,﹁p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题　　2.存在量词命题的否定存在量词命题p﹁p结论∃x∈M,p(x)∀x∈M,﹁p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【思考】用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)命题﹁p的否定是p.(　　)(2)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.(　　)(3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.(　　)提示:(1)√.命题p与﹁p互为否定.(2)√.存在量词命题p与其否定﹁p一真一假.(3)×.存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.2.设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则﹁p为(　　)A.∃x∈R,x2+1>0B.∃x∈R,x2+1≤0C.∃x∈R,x2+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0【解析】选B.根据命题p可得﹁p:∃x∈R,x2+1≤0.类型一　全称量词命题的否定【典例】1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则(　　)A.﹁p:∀x∈A,2x∉B　　　B.﹁p:∀x∉A,2x∉BC.﹁p:∃x∉A,2x∈BD.﹁p:∃x∈A,2x∉B2.写出下列全称量词命题的否定:世纪金榜导学号(1)对所有正数x,>x+1.(2)∀x∈R,x3+1≠0.(3)所有被5整除的整数都是奇数.(4)每一个四边形的四个顶点共圆.【思维·引】1.命题p中的量词是“∀”,命题的结论是“2x∈B”,改量词,否定结论即可.2.全称量词改为存在量词,同时否定结论即可.【解析】1.选D.该命题的否定为﹁p:∃x∈A,2x∉B.2.(1)该命题的否定:存在正数x,≤x+1.(2)该命题的否定:∃x∈R,x3+1=0.(3)该命题的否定:存在一个被5整除的整数不是奇数.(4)该命题的否定:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.【素养·探】在全称量词命题的否定问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,依据全称量词命题的否定是存在量词命题解题,训练推理、论证的能力.将本例1中命题p改为“∀x∉A,2x∈B”,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】将量词“∀”换为“∃”,结论否定即可,即其否定为:∃x∉A,2x∉B”.【类题·通】1.对全称量词命题否定的两个步骤(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.(2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.2.全称量词命题否定后的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.【发散·拓】常见的词语的否定:原词否定词原词否定词等于不等于至多一个至少两个大于不大于至少一个一个也没有小于不小于任意某个是不是所有的某些都是不都是【延伸·练】已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:∈A∪B,则命题﹁p是____________________. 【解析】因为p:∈A∪B,所以﹁p:∉A且∉B,即﹁p:∈(∁UA)∩(∁UB).答案:∈(∁UA)∩(∁UB).【习练·破】　写出下列全称量词命题的否定:(1)∀x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|≥2.(2)任何一个实数除以1,仍等于这个数.(3)所有分数都是有理数.(4)任意两个等边三角形都相似.【解析】(1)该命题的否定:∃x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2.(2)该命题的否定:存在一个实数除以1,不等于这个数.(3)该命题的否定:存在一个分数不是有理数.(4)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.【加练·固】　　写出下列全称量词命题的否定:(1)被8整除的数能被4整除.(2)所有二次函数的图象关于y轴对称.(3)实数都能写成小数形式.(4)方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.【解析】(1)存在一个数能被8整除,但不能被4整除.(2)存在一个二次函数,它的图象不关于y轴对称.(3)存在一个实数不能写成小数形式.(4)方程x2-8x-10=0有一个根是奇数.类型二　存在量词命题的否定【典例】1.命题p:∃x>0,x+=2,则﹁p为(　　)A.∀x>0,x+=2B.∀x>0,x+≠2C.∀x≤0,x+=2D.∀x≤0,x+≠22.已知命题p:存在k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图象不经过定点M,若命题p是假命题,则点M的坐标为______. 3.写出下列存在量词命题的否定:世纪金榜导学号(1)有些实数的绝对值是正数.(2)某些平行四边形是菱形.(3)∃x∈R,x2+1<0.(4)∃x,y∈Z,使得x+y=3.【思维·引】1.一方面要改变量词,另一方面要否定结论.2.依据原命题和其否定一真一假解答.3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.【解析】1.选B.该命题的否定﹁p:∀x>0,x+≠2.2.因为命题p是假命题,所以﹁p是真命题即任意k∈R,使得函数y=(k-3)x+k的图象经过定点M,易知点M的坐标为(-1,3).答案(-1,3)3.(1)该命题的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”.也即“所有实数的绝对值都不是正数”.(2)该命题的否定:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四边形都不是菱形”.(3)该命题的否定:“不存在x∈R,x2+1<0”,也即“∀x∈R,x2+1≥0”.(4)该命题的否定:“∀x,y∈Z,x+y≠3”.【内化·悟】　写出存在量词命题的否定后,如何检验是否正确?提示:一方面检查是否改写了量词和否定了结论,另一方面可以依据原命题和其否定一真一假检验.【类题·通】1.对存在量词命题否定的两个步骤(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.(2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.2.存在量词命题否定后的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.【习练·破】　判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)某些梯形的对角线互相平分.(2)∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数.(3)在同圆中,同弧所对的圆周角相等.(4)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.【解析】(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分.(2)真命题.∀x∈{x|x是无理数},x2是有理数.(3)真命题.在同圆中,同弧所对的圆周角不相等.(4)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.【加练·固】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出这些命题的否定.(1)有一个奇数不能被3整除.(2)∀x∈Z,x2与3的和不等于0.(3)有些三角形的三个内角都为60°.(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线.【解析】(1)是存在量词命题,否定为:每一个奇数都能被3整除.(2)是全称量词命题,否定为:∃x∈Z,x2与3的和等于0.(3)是存在量词命题,否定为:任意一个三角形的三个内角不都为60°.