数论基础-问题

数论基础-问题数论基础-问题【数论十讲】数论基础问题(陶平生) 内容与方法:整除性、唯一分解定理、质数与合数，公约数与公倍数、高斯函数、勾股 p数、不定方程、同余、剩余类、欧拉定理与费尔马定理、平方和问题、进制 , 1、在电脑屏幕上给出一个正边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色;某程序执2011 行这样的操作:每次可选中多边形连续的个顶点(其中是小于的一个固定的正整aa2011数)，一按鼠标键，将会使这个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑; a 0(1)、证明:如果为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都...

数论基础-问题【数论十讲】数论基础问题(陶平生) 内容与方法:整除性、唯一分解定理、质数与合数，公约数与公倍数、高斯函数、勾股 p数、不定方程、同余、剩余类、欧拉定理与费尔马定理、平方和问题、进制 , 1、在电脑屏幕上给出一个正边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色;某程序执2011 行这样的操作:每次可选中多边形连续的个顶点(其中是小于的一个固定的正整aa2011数)，一按鼠标键，将会使这个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑; a 0(1)、证明:如果为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色， a 也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色; 0(2)、当为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色, a 证明你的结论( 222xy，,72011、试求的所有正整数( (,)xy mnkamnkN,,,,235(,,)、如果正整数可表为:，就称为好数(证明: aa3 1111aaa,,,存在个互异好数，满足:( ，，，,20121220123333aaaa1220112012 M4、设，若元正整数集合满足:对任何整数，都存在abM,,，，nn,4kab, M使得与是不互质的数，就称为“好集”( ak，bk， MMM证明:若为“好集”，且中所有元素之和为，则存在，使得从中2011cM, ,删去元素后，所得到的集仍为“好集”( cMMc,\,, nn201222013、设数为正奇数，满足，证明:( nnknk5,,,,k1k1 、设Tn()为正整数的正因数的个数，证明:，其等号何时取到, nTnn()3,6 222P,1,2,3,、设为全体正整数的平方所构成的集合，如果正整数能表成集n7,, PP合中的若干个(至少一个)互异元素之和，就称“数具有结构”，记为;证明:nnP,, P不具有结构的正整数只有有限多个( , aaaa,,,、对于给定的有限项的正整数数列,进行如下操作:如果jk,，并且8j12n aa,(,)aa[,]aaa不整除，那么将分别换成和; jkjkjkk 1 证明:这个过程是有限的，并且最终的结果是唯一的( 2xxyyN,,,,、若正整数满足:，证明:存在，使以下三式:mnk,,mnk,，191212 2222 同时成立. mxynxykxxyy,，,，,，, , 11221212 p,1222n2,,,,rp,1k,、若为质数，则，(即 )( pn,，41,n10,,,,,,p4pr,1,k1,,,, 11pp、设为奇质数，是小于的正整数，证明:的必要充分条件是:对abp，,ab, ，，，，22anbnp任何小于的正整数，均有正奇数. (其中方括号表示取整.) n，,,,,,,,pp，，，， 1212、设正整数的各位数字全由和组成，由其中任意个连续数位上的数akk 2,，，字所组成的位数，称为数的一个“段”;若数的任两个“段”都不相同( aakkk 证明:对于具有这种性质的最大正整数，其开初的一个“段”和最后的一个“ak,1k,1段”必定相同. 、设正整数，对于任一个元整数集，取其中每一对不mn,2,nAaaa,,,,13,,12n 2aa,aa,C同的数，，作差 (其中有些差可能是相等的)，由这个差按递增顺ji,，，nijji A序所排成的一个整数数列，称为集合的“衍生数列”，记为A，衍生数列A中能被整m除的数的个数记为Am( ，，证明:对于任一正整数，元整数集及其下标(即前个正整nnAaaa,,,,m,2,,12n AB,数)构成的集所对应的“衍生数列”，满足不等式:AmBm,( Bn,1,2,,，，，，,, 14、若三角形的三条边长皆为有理数，且有一个内角的角度数也是有理数，试求该内角度数的所有可能的值(并给出所有这种三角形边长的一般表达式( 、证明:如果正整数可以表示为都是的倍数的三个整数的平方和，那么也可15N3N以表示为都不是的倍数的三个整数的平方和( 3 mmnn(57,57)，，mn,、对于互质的正整数，求最大公约数所有可能的值( 16 ，，pqp,、试求所有的质数p,3，具有如下性质:对任何质数，数不能被pq,,17,,q，，任何质数的平方整除( 2aaakN,,,,2,21,aaa,,,、数列满足:; 18kk，01201 n，32pa21p,证明:若有奇质数及某项，使得，则( pann 2 aaa,,,、试求不小于的最小正整数，满足:对任给的个整数(可以相同)，nn19912n 个数以及，使得总存在bi,,4,7,(1,2,,9)aaaiiin,,,,(1),,,,,9,,iiii129129 为的倍数( bababa，，，9129iii129 ,,,MM,,,,,257,,,,,、设集合，如果数能表成集中的若干个元素之a20,, MD和，并且这些元素之间没有倍数关系，则称数具有属于集的单纯分拆，记为a aD, ( M 0aD,1、试确定，当，且时，必有 ; a,3,6,31a,250,,，，M 0aD,2、证明:对异于的任何正整数，都有 . 3,6,31a，，M 3

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