【word】 由有理数Cauchy列定义的实数的无限十进小数展开

【word】 由有理数Cauchy列定义的实数的无限十进小数展开 由有理数Cauchy列定义的实数的无限十进 小数展开 第27卷第4期 2011年8月 大学数学 CoLLEGEMATHEMATICS Vo1.27.No.4 Aug.2011 由有理数Cauchy列定义的实数的 无限十进小数展开 陈同舟,许斌 (中国科学技术大学,合肥230026) [摘要]讨论了有理数Cauchy列定义的实数系的一种等价形式_--u—无限十进小数展开,定义了其上的 算术运算与顺序并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 了它们和已有的定义一致. [关键词]无限十进小数;实数系;算术运算 [中图分类号]O171[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2011)04—0186,06 1两个引理 以下约定两引理中都是有理数Cauchy列定义的实数系. 引理1.1对所有固定正数h,Vz?熙,x>0,存在唯一的kE,使(忌一1)?<忌. 证因为{?1?<}是非空有下界集合,故其最小元k即是满足条件的唯一的k.I凡J 引理1.2V.2CE,x>0,存在唯一的kE,使1O?z<10. 证因为{mElx<10}是非空有下界集合,故其最小元k即是满足条件的唯一的k. 2对由Cauchy列定义的实数32的无限十进小数展开 对由Cauchy列定义的正实数,由引理1.2,存在唯一的P?,使1O?z<10?.由引理1.1,存在 唯一的aE,使得ap10?x<ap10十10,所以npE(1,2,…,9}.继续向下做,存在唯一的口p—lEz, 使得 ap10+口,l10?Lz<?10+np—l1O一+1O一,且ap1E{0,1,2…,9). 一 直做下去, np10+口p11O+…+np一10,?x<ap10+np一110+…+口p10,+10一, 其中口pE{0,1,2…,9},apE{0,1,2…,9},k一1,2,….令 rn一.plO+.p—llO一+…+”p--n10_.?, 则f}是Cauchy列.定义的无限十进小数展开为 fapa一1…ao.a一1ct一2…(?;0), l0.0…Oa,&一(p+1)…(<:o), 其中p<O时,小数点后共有一(户一1)个o.若E,使任意的k>n时,n一=:=0,则a一后的那些0可 以省略不写. 对负数,在一-z前加一个负号.0对应0.000…,则可证不同的实数对应不同的展开. [收稿日期]2010—0428 第4期陈同舟,等:由有理数Cauchy列定义的实数的无限十进小数展开187 3对展开方式的补充以及另外一种展开方式 定理3.1正实数按照上面的方法可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成无限十进小数,且不会出现从某项ap起后面的 a一都是9的情形. 证用反证法.若>走,有 r一.pl0p+—l1O一+…+p一10一+9×10一一-+-…+9×10, 一r+l0p一10p,(?0时,实数,可以定义它的另一种十进小数展开,下文所说的”新的展开方式”等等都是指这种展开 方式. 因为任意?,存在?,使?z<+1,故可记为的整数部分,一为的小数部分,对 —n进行前面所定义的十进小数展开. 定理3.3(i)若z非负或为负整数,则新的展开方式和原先的相同; (ii)若z为负数但不是整数,且具有形式而m,其中k是满足条件的最小整数,则仅有k位小数. 设z按原来方式展开形式如一.zz…z,按新方法展开形式如一m+0.Yyz…Yk,则断言 m—+1,且0.z12…+0.ylyz…yk一1. (iii)若z为负数但不是整数,且不具有形式.设.z按原来方式展开形式如一..271z…,按新方 法展开形式如一+0.YY.…,则断言m一+1,且对任意的i?,有z+一9. 证(i)显然. (ii)因为由定义,z<一z<n+1,而一<<一m+1,故m—n+1.显然此时 .7c,,,0.z1.782…Xk,0.ylyz… 都是有理数,而 一z—+0.zl2…,=一+0.Y1Y2…Y,===+1, 故0.Lz1.322…+0.Y1Y2…女一1. (iii)同上得一+1.下用归纳法证明对任意的i?,有z+Y一9. 1.i一1时,存在.z,使得 +1×10<一<+1×1O一+10_.; 存在Y,使得 一优+lX10<z<一十lX1O+1O_., 则 一 1十(zl+1)×10<0<一1+(.221+l十2)×10, 故l+Y2—9. 2.若<志时成立,则i—k时,存在惟一,使得 kk +?×10一<一z<,z+?×10一J-t-10一; 188大学数学第27卷 存在惟一Y,使得 k —m+?Y×10 J—l 则 k--lk--1 — 1+?9×10一+(1z—)×10一<o<,1+?9×10+(z+十2)×10一,J1J 一1 故 一 10一+(+)×10一<O<10一+(-z++2)×10一, 故X+Y女一9. 这两种展开方法可以互相转换. 4序关系 对任意的a=(一)A..aa…,6一(一)B..bbz…?,称a?6当且仅当下面情 况之一发生: 1.a的前面有负号而b的前面没有负号; 2.a,b的前面都没有负号,且A.<B.; 3.a,b的前面都没有负号,且A.一B.,存在k,使得i%k时a一6且a<; 4.口,b的前面都没有负号,且A.一B.,任意的i,有a一6; 5.Ct,b的前面都有负号,将,b的负号去除掉后得到,有一6?一. 易知 1.对任意的a?,有?a; 2.a,b,cE,口?b且b?f口?f; 3.口,bE,口?b且b?口a—b; 4.Va,bE,口?b与6?口中至少有一个成立. 5加法 将a,b按新的方法展开,a—Ao+0.a1a2a3…,6=:=Bo+0.b1b2b3…. 令Ai—A.+0.aa2a.…a,B定义类似.定义 A十B女?口+6<A十B—2×10,,k一0,1,2,…, 由闭区间套原理可知,n+6唯一存在.以下给出a+6的无限十进小数展开: 1.设对任意的k,存在m?k,任意的?m,使得A+B与A+B+2×1O,的前k位小数都相 同,则可确定口+6的前k位小数,故可确定+6. 实际上,只要任意的k,存在m,使得A+B,A+B+2×10一的前k位小数相同即可.这是因为 对任意的?, A+B?A+B<A+B+2×10,?A+B+2×1O一, 故A+B,A+B+2×1O一的前七位小数相同,则当?时,A+B与A+B+2×1O的前k 位小数相同.故这两个陈述是等价的. 2.若1中的情况不成立,则存在k,使得对任意的m?k,有A+B,A+B+2×1O一的前k位 小数至少有一个不相同.记 A+B一Co+0.C1C2C3…C,A+B+2×10一一D0+0.dld2d3…, 则对m>k+1,有两种情况: 1.C.一D.且存在Z,使得C===d”,f卜l—d,c?dz,显然z?尼. 2.C.?D.. 对情况1,显然C<.若c+1?d,则C+2?d,故 O l × ? + m 一 < z < 第4期,陈同舟,等:由有理数Cauchy列定义的实数的无限十进小数展开189 2×l0一一A+B+2×10一一(A+B)>(C+2)×10一(Cz+1)×10一10. 因为Z?<一1,故上式不可能成立,故只能c+1一d. 若C…?9,则f??8,从而0.0…Oc件…C<9×10(小数点后有z个O).于是 2×10一一A+B+2×10一(A+B) >(c,+1)×1o,一c,×10一9×10一一一10一, 矛盾,故c一9.依次这样做下去,可得C…,…,c一都为9,故C+,…,C一都为9. 若c?7,则0.0…09…9c<1o一2×10一(小数点后有z个0,m—z一1个9), 2X10一一A+B+2X10一一(A+B) >(f,+1)×10一一×10一一10一+2×10一一2×10一, 矛盾,故c为8或9. 若c:8.显然这时A+l+B+1,A+l+B+1十2x10一的整数部分应相同.令A+1十B+1 一 Eo+0.ele2g3…e十l,贝U PX10—_L+1一cX10_l—a+1十b+1. 而e一9,C一8,P+为8或9,所以a++6+为18或19,只能n+一b+一 9,e+===8.依次这样做下 去,可知对任意的n,有a+一b+一9,而这是被禁止的,故C一9.故存在m,忌,使得n?m时,A+B 的第位小数往后都是9. 对情况2,讨论是类似的,同理可得存在m,愚,使得,z?m时,A+B的第是位小数往后都是9.则 可令a+b=A+B+10一.再将a+b变为原来的表示形式即可. 由加法的定义,显然加法满足交换律. 定理5.1加法满足结合律. 证将a,b,c按新的方法展开, a=A0+0.a1a2a3…,b—B0+0.b1b2b3…,c=C0+0.C1f2c3…. A,B,C定义同定义加法时的定义,A+B?n+6<A+B+2×1O一,故 A十B—C?(n+6)+c<A-4-B女+C女+3×10,,尼一0,1,2,…. B+C?6+c<B+C+2×10,, 从而 A+B+C女?”+(6+C)<A+B女+C—3×10一,忌一0,1,2,…. 由闭区间套原理可知(n+6)+C,&+(6+c)都唯一存在,且(n+6)+f—a+(6+c). 6乘法,零元,负元,幺元,逆元 这样的实数系统有零元,有负元是显然的. 定义乘法前先需要定义实数的科学计数法表示,即对非零数a一(一)np--1…a..a一”.…,则将a 表示成(——)口.a一l…a0a1a一2…×lO—P. 下面定义乘法,只需考虑两正数相乘的情形,因为任何数和零相乘的积都定义为零.若a负b非负, 令abe-一(一n)6;若a非负b负,令?6一--a(--b);若n负b负,令a6一(--a)(--b).这三种情况均可化 为a,b都非负的情形. 先考虑a—ao.n一1a一2…,6=b..b1b一2…的情况(其中口o,boE{0,1,…,9)),A二==A0.nl口2口3…n, B定义类似. (A+10)(B女+10)一AB—10(A女+B)+10一 ?A女B+1O×2O+10<AB+1O一?”×3,足===0,1,2,…, 定义 AB?n6<(A+10)(B+10)<AB+10_?卜”×3,是一0,1,2,…. 由闭区间套原理可知,n6唯一存在,则用类似加法的方法可确定出a6. 对一般情况 190大学数学第27卷 n一ap-i…ao.a一1a,2…,b—bqba一1…bo.b一】b2…, ab=-ap.ap—Iap-2…×bg.bql6q一2…×10, 实际上就是先将a,b化为科学计数法的形式再作乘法. 由乘法的定义,显然乘法满足交换律.证明乘法满足结合律的方法是和加法类似的(由定义乘法时 的讨论,只需考虑[1,10)上数,其它情况均可转化为这种情况,这里略 去). 定理6.1乘法对加法满足分配律. 证即证a(b十c)一n6+&c.与定义乘法时的讨论类似,这里只需考虑a是E1,10)上的数的情况6, c仍用新的展开方法展开.A定义同定义乘法时的定义,B,c定义同定义加法时的定义.显然6<0 时,存在正整数N,使得0<64-N<10,且存在?2,使得N<lO. 先证明此时?(6十N)=ab十aN. 令B一B+N,则 AB?口(6十N)<AB十10_?”×3,k一0,1,2,…, AB,1O一一”X3<:口6?AB,五一0,1,2,…, AN?n』\,<AN+10_?,一0,1,2,…, 故 AB一1o卜”×3?&6+&N?AB+1o卜,志===0,1,2,…. 显然 raB,AB+10一×3~cEAB:,10卜”×3,AB:+10一?],k=0,1,2,…. 而AB:是严格递增的,AB:+1o”×3是严格递减的,这是因为 A+lB:+1十10×3?(A+9×10)(B:+9×10)+10×3 <AB:+22×10<AB+3×1o一?卜”, 故充分大时, EA+B:+一lOx3,A十B:++lO一JcI-AB:,AB:+10×33, 故a(6+N)一ab+aN. 6?0时用类似的方法也可以证明a(6+,)一ab+口N.现在证明b>0,c>O时, a(b+f)一ab+ac. 因为若6>0,c>0时有a(b+C)一ab+aC,则当6,C不都大于零时,存在M,N?,使得 O<6+N.%10,O<(„+M<10,有 a(易+f)+(M+』\『)=口(十M+f4-』\r) 一 (6+M)+口(c+N)===ab+aM+ac+aN —ab+ac+a(M+N). 当b,C不都大于零时也有a(6+c)一ab+ac. 设B,C<10,?1,则 A(B+)?(6+f)<A(B+Ck)4-4X10 .aa.…,A定义同乘法时. A一A×1??×1<(A—10)×1一A+10,. 而A?口<A十10,,由闭区间套原理可知只能ax1一口. 第4期陈同舟,等:由有理数Cauchy列定义的实数的无限十进小数展开191 定理6.3上述定义的实数系统具有逆元. 证与定义乘法时类似,仍只需考虑[1,10)上的数a.若a一1,则显然a-一1.下设?(1,10).由 引理1,存在唯一的72?,使得na?1<(十1)a.而0xn?I<i×a,故n一 0.由引理l,存在唯一的a ?,使得口×10×n?1<(n+1)×10×”,且a?{0,1,…,9}.继续向下做,存在唯一的n?, 使得 al×10×a十a2×10.×口?1<&l×10×a+(“2+1)×10×”. 因为1<(n+1)×10×a,故a.E{0,1,…,9}.一直做下去,存在唯一的a,a.…a??,使得 a1×10n+n2×10.a+…+n女×10a?1 <nl×10”+a2×10.a+…(n+1)×10一?, 其中a?{0,1,…,9),k一1,2,….即可以找到唯一的a,a.,…,使得 0.a1a2…ak×n?1<:(0.口ln2…a+10)×a,且aE{0,1,…,9},k一1,2,…. 若存在k,当n>k时a一9,且七?0时?9.故存在>是, (0.a1a2…a+10一一10”)×n?1<:(0.a1倪2…a+10一)×a, 则对任意的n>k,有(O.aaz…a+10)×a--1?1O,×以,这不可能,故不会出现假设的那种情况. 令a一0.a1a2…,则 0.ala2…以×口?aa,<二(0.口1a2…a+10一)×a. 由闭区间套原理,只能aa一1. 而定义加法,乘法时定义的A,B都是Cauchy列,故这样定义的实数和用Cauchy列定义的实数 是一样的. [参考文献] [1]卓里奇BA.数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 [M].北京:高等教育出版社,2006:51—53. [2]RobertSStrichartz.Thewayofanalysis(JonesandBartlettBooksinMathematics)[M].Sudbury.Jones& BartlettPublishers,2000:56,59. TheInfiniteDecimalExpansionoftheRealNumbersDefined bytheCauchySequencesofRationalNumbers CHENTong—zhou.X己,Bin (UniversityofScienceandTechnologyofChina,Hefei230026,China) Abstract:WediscussanequivalentoftherealnumbersdefinedbytheCauchysequencesofrationaInumbers.the infinitedecimalexpansion.Wealsodefinethearithmeticoperationsaswellastheorderonitandprovethatthedeftnitions areconsistentwiththeoriginalones. Keywords:infinitedecimals;realnumbers;arithmeticaloperations