上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用

上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用 上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分 必备单元训练:导数及其应用 本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分(满分150分(考试时间120分钟( 第?卷(选择题 共60分) 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 3x2yxx,,，,,1(02)1(若函数图象上任意点处切线的斜率为k，则k的最小值是3 ( ) 1A( B( C( D( ,1012【答案】A x2(曲线在点(1，1)处的切线方程为( ) y,2x,1 x,y,2,0x，y,2,0A( B( x，4y,5,0x,4y,5,0C( D( 【答案】B fxxx()ln,3(曲线在点P(1，0)处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( ) l 1111112222A( B( ()()xy，，，,()()xy，，,,222222 11122C( ()()xy,，，,222 11122 D( ()()xy,，,,222 【答案】C 34(曲线y=x+x-2在点P处的切线平行于直线y=4x，则点P的坐标是( ) 00 A((0,1) B((1,0) C((-1,-4)或(1,0) D((-1,-4) 【答案】B 2,xx,[0,1]2,f(x),f(x)dx5(设，则的值为( ) ,,0,2,xx,[1,2], 3457A( B( C( D( 4566【答案】C 26(设函数f′(x)=x+3x,4，则y=f(x+1)的单调递减区间为( ) 35A((,4，1) B((,5，0) C(() D(() ,，,,,，,,22【答案】B ,7(在平均变化率的定义中，自变量x在x处的增量x( ) 0 A(大于零 B(小于零 C(等于零 D(不等于零 【答案】D ,f(x),28(函数的定义域为，，对任意，，则的解f(x)f(,1),2f(x),2x，4Rx,R 集为( ) A((，1) B((，+) C((，) D((，+) ,1,1,1,,,,,,【答案】B e(ln)'ln1xxx,，9(已知等差数列的前n项和为，又知，且，{}aSSxdx,,ln101nn ，则为 ( ) S,17S2030 A(33 B(46 C(48 D(50 【答案】C 3yx=-4110(曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为( ) ppfxxx()2=+-00 A(( 1 , 0 ) B(( 2 , 8 ) C(( 1 , 0 )或(,1, ,4) D(( 2 , 8 )和或(,1, ,4) 【答案】C 2ygx,()(1,(1))gyx,，2111(设函数，曲线在点处的切线方程为，则fxgxx()(),， yfx,()(1,(1))f曲线在点处切线的斜率为( ) 1142A( B( C( D( ,,42【答案】A 212(曲线在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) yx,，11 A(-9 B(-3 C(9 D(15 【答案】C 第?卷(非选择题 共90分) 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 2213(函数y=x(x>0)的图像在点(a,a)处的切线与x轴交点的横坐标为a,k为正整kkk+1数，a=16，则=____________ a1n 1n,5【答案】 ()2 2314(函数的单调增区间为 . y,x,x 2【答案】 (0,)3215(曲线y=3x与x轴及直线x,1所围成的图形的面积为 ( 【答案】1 fx,,x,fx()()0016(= 。 lim,x,0,x ,【答案】,f(x) 0 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水aa站C建在岸边何处才能使水管费用最省, 【答案】解法一:根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省， 2222设C点距D点x km, 则 ?BD=40,AC=50,,?BC= xBD，CD,x，40 22(050),,x又设总的水管费用为y元，依题意有:=3(50,x)+5 yx，40aa 5axy′=,3+,令y′=0,解得=30 ax22x，40 在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义， 函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50,=20(km) xx ?供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 40,40cot,(0,,)AC,50,40cot,解法二:设?BCD=,则BC=,CD=, ,,,2sin, 设总的水管费用为f(θ),依题意，有 ,5,3cos40f(θ)=3(50,40?cotθ)+5=150+40? a,aaasin,sin, ,,(53cos)sin(53cos)(sin)35cos,,,,,,,,,,,,f?(θ)=40 ,,,40aa22sinsin,, 3,f令(θ)=0,得cosθ= 5 433根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,?cotθ=, 554?AC=50,40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省. 1218( 已知函数f(x),ax，blnx在x,1处有极值( 2 (I)求a，b的值; (II)判断函数y,f(x)的单调性并求出单调区间( b2【答案】(1)因为函数f(x),ax，blnx，所以f′(x),2ax，(又函数f(x)在x,1x 1处有极值， 2 1f′1,0，2a，b,0，,,,a,，,,,2所以即解得 ,,,11 f1,.a,，,,,22b,,1.,,, 112(2)由(1)可知f(x),x,lnx，其定义域是(0，，?)，且f′(x),x,,2x x，1x,1( x 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf : 所以函数y,f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，，?)( ,19(设，向量，函数的图象经过坐标原点，是函数的a,Rm,(,1)ayfx,()f(x)f(x) 2,,导函数(已知，，( Bxx(,)Af(1,(1)),,fxAB(),,m(?)求的解析式; f(x) 2ax2,1,1(?)若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求的fxx()(1),，,xa,, 24取值范围; *,(?)若，设数列满足( {}aa,2aafann3,42()3(2) ,,,,,N且nnn,11n,12*an,,,21N求证:( ，，n 2,【答案】(I)?， AB,(x，1，x,f(,1)) 2,,? ( fxABaxxf()(1)(1),,，，,,m=12,f(,1),,,令，则，解得( f(,1),a(x，1)，(,1),f(,1)x,1212(),?( fx,x，ax，a,2 ?的图象过原点， yfx,() 11a32?( fxxxax()(),，，, 3222132a,x，x,x(II)原方程可以整理为( 3221322(),gx,x，x,x令，则( g(x),2x，x,1321x,,由有或， x,,1gx()0,211x,,1,x,,,且当或时，当时( x,,1g(x),0g(x),022 ,,，，，，? 在时，在上是减函数，在上是增函数， x,[,1，1]gx(),1,,1,,,,22，，，，17((),1,1gx),g,,? 在上( ,,min224 51又， gg(1)(1),,,, 6671,1,1? 要使原方程在上有两个不相等的实数根，则须使( ,,,,,a 24671,，即a的取值范围为( ,，,,246,， 32()2,(III)时，( a,2fx,x，x，2 232? )，整理得 ()( 2a,a，2aaaa,，，,n,2nn,1n,142(2)3nnn,,1122变形得 ， aaa，,，,，12121，，，，nnn,12令，则，() ( ca,，1c,42c,cn,2nn,nn112两边同取对数有 ，即( log(2c),logc1，logc,2logcnn,2n2n,1221 令，则，且，d,212，,ddd,logcn2n1nn,1 ?-1>2(-1)( )， ddn,2n,1n n,1n,12?-1>2(-1) >2(-1)>……>2(-1)=2， ddddn,1n,2n1n,1dn,1n,12 n?>1+>，?=，222,2dcnnn,12? ()( a,,21n,2n1,12当时，=3>-1=1，即不等式也成立， 2an,11n,12*an,,,21N?( ，，n f(x),ax，lnx(a,R)20(已知函数， 1a,,1,y,f(x)f(x)(?)若求曲线在处的切线的斜率;(?)求的单调区间; x,2 x(?)设若存在对于任意使 求 的g(x),2,2,x,(0,，,),x,[0,1],f(x),g(x),a1212范围。 f(x)axlnx(aR)x(0,),，,？,，, 【答案】 1ax1，'f(x)a,，,xx 1'a,,1,(?)若 k,f(),,1，2,12 '(?)当 a,0,f(x),0,？f(x)在(0，，,)为增函数 11''fx,,,x,,a,0，fx,,x,, 当令 ()00,()0,aa综上: a,0,f(x)的单调增区间为(0，，,) 11 a,0,f(x)的单调增区间为(0，-),减区间为(,,，,)aa a,0(?)由(?)知，当时，一定符合题意; 11 当 a,0,f(x)的单调增区间为(0，-),减区间为(,,，,)aa 11？fx,f,,,，, ()()1ln()maxaa 11由题意知，只需满足 ？f(x),g(x),g(1),0,,1，ln(,),0,,,a,0maxmaxae 1综上: a,,e 1，x,ax21(已知函数。 fxe,，，1,x yfx,(?)设，讨论的单调性; a,0，， x,0,1fx,1(?)若对任意恒有，求的取值范围 a，，，， 【答案】 (?)f(x)的定义域为(,?,1)?(1,+?).对f(x)求导数得 f '(x)= 2ax+2,a,ax e. 2(1,x) 22x,2x(?)当a=2时, f '(x)= e, f '(x)在(,?,0), (0,1)和(1,+ ?)均2(1,x) 大于0, 所以f(x)在(,?,1), (1,+?).为增函数. (?)当0 0, f(x)在(,?,1), (1,+?)为增函数. a,2a,2a,2(?)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)= 0 ,解得x= , , x= . 12aaa当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: a,2a,2f(x)在(,?, ,), (,1), (1,+?)为增函数, f(x)在(,aa a,2a,2,)为减函数. aa (?)(?)当0f(0)=1. a,21(?)当a>2时, 取x= ?(0,1),则由(?)知 f(x)1且e?1,得 1,x 1+x1+x,axf(x)= e? >1. 综上当且仅当a?(,?,2]时,对任意x?(0,1)恒有1,x1,x f(x)>1 222 (函数f(x),x，bln(x，1),2x,b,R 3f(x)(I b,)当时，求函数的极值;2 g(x),f(x)，2x(II b,2)设，若， . 求证:对任意，且，都有x,x,(,1,，,)x,xg(x),g(x),2(x,x)12121212 3321 b,f(x),x，ln(x，1),2x,【答案】()当时，22 ,1,，, 函数定义域为()且 3112x，,2,0 x,,x,令，解得或122(x，1)22 f'(x),f(x)x当变化时，的变化情况如下表: 1153 x,,f(x),f(,),,ln2所以当时，，极大值2242 13331 f(x),f(),,，lnx,当时，;极小值22422 2(2 )因为，f(x),x，bln(x，1),2x 2b2x，b,2 所以，f'(x),2x，,2,(x,,1)x，1x，1 f'(x),0b,2,x,0 b,2因为，所以(当且仅当时等号成立)， f(x)(,1,，,) 所以在区间上是增函数， x,x,(,1,，,)x,xf(x),f(x)从而对任意，当时，，121212 ,. g(x),2x,g(x),2xg(x),g(x),2(x,x)即所以11221212