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由递推公式求通项公式的方法

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由递推公式求通项公式的方法由递推公式求通项公式的方法 由数列递推公式求数列通项公式是数学中针对性较强的一种数学解题方法, 它从一个侧面体现数学的研究方法,自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、一阶递推数列 (一)、已知前后项的差是个新数列用累加法。 1例1 在数列{}中,,,求通项公式. a,a,a,3aan,1n1nnn(n,1) 11解:原递推式可化为:a,a,, n,1nnn,1 1111则a,a,,,a,a,, 21321223 1111aaa,a,,,,,,……, 43nn,134nn,...

由递推公式求通项公式的方法
由递推公式求通项公式的方法 由数列递推公式求数列通项公式是数学中针对性较强的一种数学解题方法, 它从一个侧面体现数学的研究方法,自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、一阶递推数列 (一)、已知前后项的差是个新数列用累加法。 1例1 在数列{}中,,,求通项公式. a,a,a,3aan,1n1nnn(n,1) 11解:原递推式可化为:a,a,, n,1nnn,1 1111则a,a,,,a,a,, 21321223 1111aaa,a,,,,,,……, 43nn,134nn,1 11逐项相加得:,4,aa,,,1.故. an1nnn(二)、已知前后项的商是个新数列用累乘法。 22例2 设数列{}是首项为1的正项数列,且a(n,1)a,na,aa,0nn,1nn,1n (n=1,2,3…),则它的通项公式是=???(2000年高考15题). an 解:原递推式可化为: =0 [(n,1)a,na](a,a)n,1nn,1n an,1n ? >0, a,a,n,1nan,1n aaaa,1123n3n24 则 ……, ,,,,,,,a2a3a4an123n,1 a11n 逐项相乘得:,即=. a,nnan1 (三)、构造法。 1、(A、B为常数)型,可化为=A()的形式. a,Aa,Ba,,a,,n,1nn,1n *例 3 已知数列满足a,1, ,,,,aa,2a,1n,N1nn,1n 解法一:(构造法?) *,,, ?a,2a,1n,Nn,1n ,, ?a,1,2a,1n,1n 是以为首项,2为公比的等比数列, a,1,2,,?a,11n n ?a,1,2n *n即 ,,n,Na,2,1n 解法二:(构造法?) * ……? ,,n,N?a,2a,1n,1n ……? ,,n,2?a,2a,1nn,1 ?、?两式相减得 ,,n,2,,a,a,2a,an,1nnn,1 是以为首项,2为公比的等比数列, a,a,2,,?a,a21n,1n n ?a,a,2nn,1 n ,,?2a,1,a,2nn *n即 ,,n,Na,2,1n 解法三:(阶差法) *由, 可得: a,1,,a,2a,1n,N1n,1n a,2a,1nn,1 2 2a,2a,2n,1n,2 232 2a,2a,223n,n, ……… n,2n,1n,2 2a,2a,221 n,1n,1 2a,21 以上n式相加得 n1,22n,2n,1na,1,2,2,?,2,2,,2,1 n1,2 *n即,, n,Na,2,1n 解法四:(迭代法) *由a,1,,, 可得: n,Na,2a,11n,1n aa,2,1nn,1 2,,aa,22,1,1,2,2,1n,2n,2 232,,aa,22,1,2,1,2,2,2,1n,3n,3 ?? n,1n,22a?,2,2,,2,2,11 n,1n,22?,2,2,,2,2,1 n,2,1 即*n ,,n,Na,2,1n 练习(1993年全国数学联赛题一试第五题)设正数列,,…,,…满足aaaa10nn = 且,求的通项公式. (n,2)aa,aa2aa,a,1{a}n,101nnn,2n,1n,2 aann,1解 将递推式两边同除以整理得: ,2,1aan,1n,2aan,1n,2 aan1设=,则=1,,故有 bb,b,2b,1nnn,11aan,10 ? b,2b,121 ? b,2b,132 … … … … n,1 () b,2b,1nn,1 n,2n,30n2n,1由?n,1,2,222,1+ ? +…+()得=,即b,1,2,2,?,2nann2,1=. an,1 222n2逐项相乘得:=,考虑到, ,(2,1),?,(2,1)(2,1)aa,1n0 1,(n,0)故 . a,,n222n2(n,1)?(21)(21)(21),,,,,, nnn,12、,C(A、B、C为常数,下同)型,可化为=)a,Aa,Ba,,,CA(a,,,Cn,1nn,1n 的形式. n,1例10 在数列{}中,求通项公式。 aaa,,1,a,2a,4,3,1n,1nnn n+1 解法一:原递推公式两边同除以2 解法二:原递推式可化为: nn,1 ? a,,,3,2a(,,,3)n,1n nn,1比较系数得,=-4,?式即是:. a,4,3,2(a,4,3)n,1n 1,1n,1则数列是一个等比数列,其首项,公比是2. a,4,3,,5{a,4,3}1n n,1n,1? a,4,3,,5,2n n,1n,1即. a,4,3,5,2n 3、型,可化为的形式。 a,A,a,B,aa,,a,(A,,),(a,,a)n,2n,1nn,2n,1n,1n 例11 在数列{n,N}中,,当, ? 求通项a,,1,a,2aa,5a,6a12nn,2n,1n 公式. an 解:?式可化为: a,,a,(5,,)(a,,a)n,2n,1n,1n 比较系数得,,,=-3或=-2,不妨取=-2.?式可化为: a,2a,3(a,2a)n,2n,1n,1n 则是一个等比数列,首项=2-2(-1)=4,公比为3. a,2a{a,2a}21n,1n n,1?.利用上题结果有: a,2a,4,3n,1n n,1n,1. a,4,3,5,2n 4、型,可化为的形式。 a,Aa,Bn,Ca,,n,,,A[a,,(n,1),,]n,1n,n112n12 3例12 在数列{n,3a,}中,,=6 ? a2a,a1nnn,12 求通项公式. an 解法一:迭代法 解法二:构造法 ?式可化为: ? 比较系数可得: 2(a,,n,,),a,,(n,1),,n12n,112 ,,,9 =-6,,? 式为 2b,b21nn,1 9169b,a,n,, 是一个等比数列,首项,公比为. {b}11n22 91n,1?b,() n22 1n即 a,6n,9,9,() n2 1n故a,9,(),6n,9. n2 (四)、取倒数 an,1例6 已知数列{}中,其中,且当n?2时,,求通项公式。 a,1,aaa,1nnn2a,1n,1 a111n,1解 将两边取倒数得:,这说明是一个等差数列,首项,,2{}a,naaa2a,1nn,1nn,1 111是,公差为2,所以,即 ,1,1,(n,1),2,2n,1a,n2n,1aan1 本题的递推公式如果写成整式就是2aa+a= a,要注意该式的变形。 nn-1nn-1 Sn练习 若数列{,1}中,=1,是数列{}的前项之和,且(n),anaSaS,1nnn,1n3,4Sn求数列{}的通项公式是. aann S11n解 递推式可变形为 (1) ,3,,4S,,1nSS3,4Sn,1nn 11设(1)式可化为 (2) ,,,3(,,)SSn,1n 111比较(1)式与(2)式的系数可得,,2,则有。故数列{},2,3(,2),2SSSn,1nn 111n,1n是以S3,3,3为首项,3为公比的等比数列。=。所以。 ,2,3,2,nn3,1SSn1 n11,2,3当n,2aSS,,,,,,。 nnn,1nn,12nn3,23,23,8,3,12 1,(n,1),n数列{,2,3}的通项公式是 aa,,nn(n,2)2nn,3,8,3,12, (五)、周期性 2}中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=??aaaa,a(六)、取对数法 1n1nnn, ?(2002年上海高考题). 例7 若数列{ lga2n,1解 由题意知>0,将两边取对数得,即,所以数alga,2lga,2a,an1nnn,1n,lgan n,1n,12列是以=为首项,公比为2的等比数列, ,即lg3lga{lga}lga,lga,2,lg31nn1 n,12. a,3n 二、简单二阶递推数列 1413已知数列{a,a,a,a,(a,a)},其中,且当n?3时,, a,12nn,1n,1n,2n393求通项公式(1986年高考文科第八题改编). an 解:设,原递推式可化为: b,a,an,1nn,1 134111 b,b,{b}b,a,a,,,是一个等比数列,,公比为.故n,1n,2n12139393 1111n,2n,2nb,b,(),(),(). n,113933 1311nn故a,a,()a,,().由逐差法可得:. nnn,13223 例4已知数列{},其中,且当n?3时,,求通a,1,a,2aa,2a,a,112nnn,1n,2项公式。 an 解 由得:,令,a,2a,a,1(a,a),(a,a),1b,a,ann,1n,2nn,1n,1n,2n,1nn,1则上式为,因此是一个等差数列,b,a,a,1,公差为1.故b,b,1{b}121n,1n,2n .。 b,nn 由于 b,b,?,b,a,a,a,a,?,a,a,a,112n,12132nn,1n (1)nn,又?b,b,,b, 12n,12 112所以a,1,n(n,1)a,(n,n,2),即 nn22
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分类:生活休闲
上传时间:2017-09-30
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