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由递推公式求通项公式的方法.doc

由递推公式求通项公式的方法.doc

上传者: yu兆珍 2017-09-30 评分1 评论0 下载0 收藏0 阅读量509 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《由递推公式求通项公式的方法doc》,可适用于游戏交流领域,主题内容包含由递推公式求通项公式的方法由数列递推公式求数列通项公式是数学中针对性较强的一种数学解题方法它从一个侧面体现数学的研究方法自从二十世纪八十年代以来这一符等。

由递推公式求通项公式的方法由数列递推公式求数列通项公式是数学中针对性较强的一种数学解题方法它从一个侧面体现数学的研究方法自从二十世纪八十年代以来这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一一、一阶递推数列(一)、已知前后项的差是个新数列用累加法。例在数列{}中,求通项公式a,aa,aannnnn(n)解:原递推式可化为:a,a,nnnn则a,a,,a,a,aaa,a,,,……nn,nn,逐项相加得:,,aa,,故annnn(二)、已知前后项的商是个新数列用累乘法。例设数列{}是首项为的正项数列且a(n)a,naaa,nnnnn(n=,,…)则它的通项公式是=(年高考题)an解:原递推式可化为:=(n)a,na(aa)nnnnann>aa,nnannaaaa,nn则……,,,,,,,aaaann,an逐项相乘得:即=a,nnan(三)、构造法。、(A、B为常数)型可化为=A()的形式a,AaBa,a,nnnn*例已知数列满足a,,,aa,an,Nnnn解法一:(构造法)*?a,an,Nnn?a,ann是以为首项为公比的等比数列a,,,?ann?a,n*n即n,Na,,n解法二:(构造法)*……n,N?a,ann……n,?a,ann,、两式相减得n,a,a,a,annnn,是以为首项为公比的等比数列a,a,,,?a,annn?a,a,nnn?a,a,nn*n即n,Na,,n解法三:(阶差法)*由可得:a,a,an,Nnna,a,nn,a,a,n,n,a,a,n,n,………n,n,n,a,a,n,n,a,以上n式相加得n,n,n,na,?,,,n,*n即n,Na,,n解法四:(迭代法)*由a,可得:n,Na,annaa,nn,aa,,n,n,aa,,n,n,??n,n,a?,n,n,?,n,,即*nn,Na,,n练习(年全国数学联赛题一试第五题)设正数列……满足aaaann=且求的通项公式(n,)aa,aaaa,a,{a}n,nnn,n,n,aann,解将递推式两边同除以整理得:,,aan,n,aan,n,aan设=则=故有bb,b,b,nnn,aan,b,b,b,b,…………n,()b,b,nn,n,n,nn,由n,,…()得=即b,?nann,=an,n逐项相乘得:=考虑到,(,),?,(,)(,)aa,n,(n,)故a,,nn(n,)?()()(),,,,,,nnn、,C(A、B、C为常数下同)型可化为=)a,AaBa,,CA(a,,Cnnnn的形式n,例在数列{}中求通项公式。aaa,,,a,a,,nnnnn解法一:原递推公式两边同除以解法二:原递推式可化为:nn,a,,,a(,,)nnnn,比较系数得,=式即是:a,,,(a,,)nn,n,则数列是一个等比数列其首项公比是a,,,,{a,,}nn,n,a,,,,,nn,n,即a,,,,n、型可化为的形式。a,A,aB,aa,a,(A,),(a,a)nnnnnnn例在数列{n,N}中当求通项a,,,a,aa,a,annnn公式an解:式可化为:a,a,(,)(a,a)nnnn比较系数得,,,=或=不妨取=式可化为:a,a,(a,a)nnnn则是一个等比数列首项=()=公比为a,a{a,a}nnn,利用上题结果有:a,a,,nnn,n,a,,,,n、型可化为的形式。a,AaBnCa,n,,Aa,(n,),nnnn例在数列{n,a,}中=aa,annn,求通项公式an解法一:迭代法解法二:构造法式可化为:比较系数可得:(a,n,),a,(n,),nn,,,,=式为b,bnn,b,a,n,是一个等比数列首项公比为{b}nn,b,()nn即a,n,,()nn故a,,()n,n(四)、取倒数an,例已知数列{}中其中且当n时求通项公式。a,,aaa,nnnan,an,解将两边取倒数得:这说明是一个等差数列首项,,{}a,naaaann,nn,是公差为所以即,,(n,),n,a,nn,aan本题的递推公式如果写成整式就是aaa=a,要注意该式的变形。nnnnSn练习若数列{,}中=是数列{}的前项之和且(n)anaSaS,nnnnSn求数列{}的通项公式是aannSn解递推式可变形为(),,S,nSSSnnn设()式可化为(),,(,)SSnn比较()式与()式的系数可得,,则有。故数列{},()SSSnnnn,n是以S,,为首项为公比的等比数列。=。所以。,,nn,SSnn,,当n,aSS,,,,,。nnn,nn,nn,,,,,(n,),n数列{,,}的通项公式是aa,,nn(n,)nn,,,,(五)、周期性}中=且(n是正整数)则它的通项公式是=aaaa,a(六)、取对数法nnnn(年上海高考题)例若数列{lgan解由题意知>将两边取对数得即所以数alga,lga,a,annnnnlgann,n,列是以=为首项公比为的等比数列即lglga{lga}lga,lga,,lgnnn,a,n二、简单二阶递推数列已知数列{a,a,a,a,(a,a)}其中且当n时a,nn,n,n,n求通项公式(年高考文科第八题改编)an解:设原递推式可化为:b,a,an,nn,b,b,{b}b,a,a,,,是一个等比数列公比为故n,n,nn,n,nb,b,(),(),()n,nn故a,a,()a,,()由逐差法可得:nnn,例已知数列{}其中且当n时求通a,,a,aa,aa,nnn,n,项公式。an解由得:令a,aa,(a,a),(a,a),b,a,ann,n,nn,n,n,n,nn,则上式为因此是一个等差数列b,a,a,公差为故b,b,{b}n,n,n。b,nn由于bb?b,a,aa,a?a,a,a,n,nn,n()nn,又?bbb,n,所以a,,n(n,)a,(n,n)即nn

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