4.1 设有一泊松过程，求：
（1） ，用的函数表示之；
（2） 该过程的均值和相关函数。
问该过程是否为平稳过程？
(1) 解：首先，
根据泊松过程的独立增量性质可知
于是，
(2) 解：该过程的均值为
根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为()
其中，
于是，时的相关函数为
同理可得时的相关函数为
所以，泊松过程的相关函数为
所以，泊松过程过程不是平稳过程。
4.2 设有一个最一般概念的随机电报信号{}，它的定义如下：
（1） 是正态分布的随机变量；
（2） 时间内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即
(k=1,2,…)
（3） 不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0,)，这个脉冲幅度延伸到下一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。
（4） 不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。
它的
样本
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函数如图4-2。
t
图4-2
(1) 试求它的二元概率密度。
(2) 试问该过程是否平稳？
(1) 解：设t1
0，θ((t)是一个二级严平稳过程，设是过程θ((t)的二维特征函数，即
同时对于任何，。试证明过程ξ(t)是宽平稳过程，并求它的相关函数。
证明：首先，ξ(t)的均值为
ξ(t)的相关函数为
因为θ((t)是一个二级严平稳过程，所以只与t1-t2有关。因此，也只与t1-t2有关，且其均值为常数，所以是宽平稳随机过程。
4.8 设有一时间离散的马尔可夫过程。具有概率密度函数
对于，当给定时的条件概率密度均匀分布于之间。问是否满足严平稳的条件？
解：对于任意一个马尔可夫过程和任意m+1个取样点，它们的联合概率密度函数有如下性质
对于本题，其中的是不随时刻i变化的。若也是与时刻i无关的，则在时间轴上做任意平移时是不变的，那么该过程是严平稳的。因此，只需要证明与时刻j无关。
首先，的概率密度函数为
由此可见，的概率密度函数与的概率密度函数相同。依此类推，可得的概率密度函数也与的概率密度函数相同，即的概率密度函数不随时刻i变化。因此，取样点在时间轴上做任意平移时该过程的所有有限维分布函数是不变的，即是严平稳过程。
1-y
4.9 设有两状态时间离散的马尔可夫链(n =1,2,3,…..)，可取0或1，它的一步转移矩阵为
其中，
p1+q1=1 , p2+q2=1
,
试证明该过程为严平稳过程。
证明：对于齐次马尔可夫链，其一步转移概率与时刻无关，若其一维概率分布也与时刻无关，则其任意维联合概率密度函数只与取样点间的时间间隔有关，而与具体的时刻无关，即具有严平稳性质。因此，对于本题只需要证明该马尔可夫链的一维概率分布与时刻无关。
首先，的概率分布为
同理可得
由于一步转移概率与时刻无关。所以，由此可以推知
其中，n =1,2,3,…..。所以该过程为严平稳过程。
此题的另一种解法就是先求n步转移阵，然后直接求n时刻的概率分布。首先，利用习题2.11的结果可得n步转移阵为
于是，
同理可得，
所以，该过程是严平稳过程。
4.10 设有相位调制的正弦过程
其中，ω为常数，ω>0，是泊松过程，A是对称贝努利型随机变量，即，，A和是相互统计独立的。试画出其样本函数，样本函数是否连续？求的相关函数，问是否均方连续？
解：设。由给出的可得
其中，
于是，
所以，相关函数为
同理可得时的相关函数为
因此，相关函数为
在时，，即在处连续，。所以，在上均方连续。样本函数见下图，显然样本函数是不连续的。
4.11 设有实宽平稳随机过程，其相关函数为。试证：
证明：设。因为是平稳随机过程，所以
则的均值和方差分别为
根据契必雪夫不等式
得
4.12 设有随机过程
其中，Ak（k=1,2,…,n）是n个实随机变量，(k=1,2,…,n)是n个实数。试问各Ak之间应满足怎样的条件才能使是一个复的平稳随机过程？
解：首先，的均值为
若是宽平稳过程，则为常数，即与t无关，则要求。
的相关函数为
若是宽平稳过程，则相关函数只与时间差有关，因此要求
4.13 设平稳随机过程的相关函数为，且，T为一常数，T >0，试证：
(1) 有依概率1相等；
(2) ，即相关函数具有周期性，周期为T。
（具有周期性相关函数的平稳随机过程称为周期性随机过程）
(1) 证明：要证依概率1相等，只需证即可。由于是平稳随机过程，所以
由相关函数的对称性可得
所以，依概率1相等；
(2) 证明：根据相关函数的定义
，
由依概率1相等
于是，
此外，也可以用另一种方法证明：首先
由(1)中结论可知
所以，
因此，
4.14 设有随机过程
其中，(k=1,2,…,n)是给定的实数，Ak、Bk（k=1,2,…,n）是实随机变量，，各Ak、Bk间彼此相互统计独立， (k=1,2,…, n)。求它的相关函数。
解：根据相关函数的定义得
因为Ak与Bk间相互统计独立，并且。所以，
，
于是
由此可见，该过程是宽平稳过程。
4.15 设有平稳随机过程，且是相互统计独立的；又设有随机过程,
求
解：由于和是平稳随机过程，所以可以设、的均值分别为和，相关函数分别为和。于是
因为和相互统计独立，所以
同理可得
4.16设，，为实随机过程，。，为相互统计独立的随机过程，则
(1)
(2) 若P(t)=，Q(t)=，，
a，b为正实数。，为，均值。求。
(1) 证明：的相关函数为
由于，为相互统计独立的随机过程，所以
(2) 证明：由
，
得
，
于是，
，
因此，由(1)的结果得
浙公网安备 33021202002483