月球卫星最优小推力变轨研究

月球卫星最优小推力变轨研究 第 41 卷 第 3 期Vol . 41 , No . 3 天文学报 AC TA AS TRONOM ICA SIN ICA 2000 年 8 月 Aug. , 2000 3 月球卫星最优小推力变轨研究 121曾国强 郗晓宁 任萱 ( )1 国防科技大学航天与材料工程学院 长沙 410073 ( )2 中国科学院上海天文台 上海 200030 对利用小推力发动机将月球探测器从双曲线轨道转移到圆轨道的燃料最省转移摘要 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,进行了研究 . 首先 ,将问题分解为从双曲线到椭圆的转移和从椭圆到目标圆轨道的转移 两步 . 然后 ,分别利用遗传算法解决了冲量假设下的最优转移 、小推力加速情况下从双曲线到 椭圆的转移轨道优化 ,以及转移时间有约束情况下的从椭圆到目标圆轨道的转移轨道优化问 题 . 关键词 最优小推力变轨 ,遗传算法 ,月球卫星 中图分类号 : P 136 1 引言 施加同样大小的速度增量 ,燃料消耗量与发动机的比冲近似成反比关系 . 目前国际上 最新电推进发动机的比冲 ,比常规化学推进发动机的比冲要高出数倍到 10 多倍. 因此 ,采 () 用高比冲的电推进发动机 ,可以大大节省燃料 ,对深空探测 特别是行星际探测有着巨大 - 4 - 3的意义. 美中不足的是电推进发动机的推力非常小 ,能提供的推力加速度为 10 - 10 2 m/ s量级 ,完成加速过程需要非常长的时间 . 这给利用小推力发动机变轨的转移轨道设 计增加了难度 . 用月球卫星的形式对月球进行科学探测 ,是各种月球探测方式中非常重要的一种. 探测器进入月球影响球时 ,相对月心为一条双曲线轨道 ,对月探测时为一条圆轨道 . 本文研 究了小推力变轨 ,从双曲线轨道到圆轨道的最优转移轨道 . 优化的指标是燃料消耗最少 () 最终质量最大,同时亦考虑节省转移时间 . 这里只研究平面情况下的轨道转移 ,并不考 虑地 、月摄动的影响 . (小推力变轨有自身独有的特点 :时间长 ,推力加速度小 . 一般的优化 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 方法 如变分 ) 法 、极大值原理很难直接应用到小推力变轨的优化设计中来. 国外对小推力变轨的优化 1 - 3 设计研究已久 ,提出了许多转移轨道优化设计的方法. 这些方法可以分为两类 : 直接 () 法和间接法 . 间接法以基于 Po nt ryagin 极大 小值原理的方法为代表 ,该类方法的控制变 量根据使 Hamilto n 函数极大的准则得出 ,而对开关函数进行一些技术处理 ,使该方法对 1999 - 10 - 27 收到原稿 ,2000 - 01 - 17 收到修改稿 3 863 资助项目 协议号 863222523 . 3 共轭变量初值的依赖性减小 ,从而更具操作性. 直接法比较多 ,一般的思路是将轨道离散 () 化 分段,将无限维的连续问题转为有限维的参数优化问题 ,在每一段设几个待优化的参 数 ,然后利用某种方法进行参数优化 . 这些方法的基本特征是将问题进行简化 ,将求最优 解的问题转化为求十分接近最优解的次优解的问题. 从算法的实用性和解算的精度来看 , (利用遗传算法进行优化设计的方法比较好. 它将现有比较成熟的非线性寻优算法 遗传算 ) 法成功地应用到轨道设计中来 ,具有适用面广 、寻优速度快 、收敛性好的特点 . 本文采用 遗传算法进行转移轨道优化设计 . 2 最优转移轨道问题的分解 采用遗传算法的关键是合理分段 ,然后进行寻优. 遗传算法有下面的特点 : 优化问题 的参数越少 、参数变化范围越小 ,用遗传算法寻优的收敛速度越快. 从双曲线轨道到圆轨 道的时间十分长 、飞行圈数很多 . 如果将整条轨道直接优化 ,势必造成分段数太多 、寻优速 (度慢的后果 ,甚至由于分段不合理而找不到最优解 此时的最优解指十分接近最优解的次 ) 优解 ,下同. 因此 ,对本问题要进行分解 . 4 在对问题进行分解之前 ,先引入一个动态规划中的 Bellman 最优性原理:多步决策 过程的最优决策序列 ,具有这种性质 ,即不论其初始阶段 、初始状态与初始决策如何. 以第 一个决策所形成的阶段与状态作为初始条件来考虑 ,以后的决策对余下的问题而言 ,必须 构成最优序列 . 对于两步决策问题 ,那就是 :不管第一步如何决策 ,第二步的决策都应该使 得在第一步末的状态下 ,性能指标最优 . ( 从双曲线到圆轨道 , 中间必然要经过椭圆这个状态 . 以成为一个受某个约束 如长半 ) 轴 、偏心率的椭圆为分界 , 转移轨道设计分为两步 :从双曲线到椭圆的最优转移轨道和从 椭圆到目标圆轨道的最优转移轨道 . 从椭圆到目标圆轨道的最优转移轨道有解析结果 , 故 只要对从双曲线到椭圆的转移轨道优化设计 , 使总的燃料消耗最少. 这样 , 只要对从双曲 线到椭圆的轨道分段 , 优化各小段的参数即可 , 从而能够大大减少需要优化的参数 , 提高 收敛速度 . 获得从双曲线到椭圆的最优转移轨道后 , 剩下的是从椭圆到目标圆轨道的最优转移 轨道的问题 . 在冲量假设下 , 从椭圆到圆轨道的最佳转移有解析结果 , 那就是在远月点施 ΔΔ加冲量 v, 使近月点高度降到圆轨道高度 ; 然后在近月点施加冲量 v , 将远月点高度 α p 降到圆轨道高度的二次冲量 Ho hmann 转移轨道 . 当不对轨道转移的时间进行限制时 , 小 推力变轨与冲量假设下的燃料消耗相同. 这种情况是一种理想情况 , 即在经过近月点的瞬 时沿速度反向施加速度增量. 探测器的近月点高度不变 , 远月点高度逐渐降低 , 最终转移 成为目标圆轨道 , 此时转移时间趋向无穷长 . 而实际上 , 减速发动机只能在经过近月点的 ( ) 一个小区间内工作 , 此时 , 转移时间为有限值 量级为几个月, 它的大小与减速发动机所 能提供的加速度和工作区间的大小有关. 加速度越大 , 转移时间越短 ; 工作区间越大 , 转移 时间越短 . 减速发动机在一个区间内工作 , 将导致探测器近月点高度的变化 . 从工程的实 ( ) 际出发 , 希望将转移时间缩短到某一容许值内 如 10 天. 时间的缩短意味着工作区间的 ( ) 加大 因推力加速度不能随意增大和燃料消耗的增多. 并且 , 推力方向不能再沿着速度的 3 期曾国强等 :月球卫星最优小推力变轨研究 291 反向 , 否则带来更多的燃料消耗 . 转移时间受限制的轨道优化问题可以转化为推力方向确 定的问题 . 3 轨道转移的动力学模型 假设 :探测器沿平面轨道运行 , 不考虑地 、月摄动影响. 如图 1 建立返回坐标系 x oy, oo o 为探测器进入月球影响球时刻的位臵 , ox 为该时刻当地水平面与运动平面的交线 , oyo o 为沿着月心指向 o 点的方向 . 在本假设条件下 , x oy为惯性坐标系 .oo α设 v 为速度大小 、Q 为秒耗量 、v 为发动机排气速度 、m 为质量 、为由速度方向到 r ( ) ( ) Θ 推力方向的夹角 逆时针方向为正、为当地速度倾角 在当地水平面上为正、r 为探测 μ( ) β器月心距 、为月球引力常数 、为射程角 初始位臵到当前位臵的月心扫角. 可得动 力L c ( ) 学方程 1. μ Q v Lrα Θv = co s- sin, 2 m r μ Q v Lr v Θα ( ) Θ = sin+ - co s,2 m v r rv ( )1 Θr = v sin, Θ v co s β= , c r m = - Q . ( ) αα从式 1可见 , 推力方向 和秒耗量 Q 为两个控制变量 . 推力方向 可以为任意值 , 秒 ( ) ( 耗量 Q 可以取最大值 对应发动机工作的推力弧段和零 对应发动机熄火的滑翔弧 ) ( ) α段. 转移轨道的优化设计就是设计 和 Q , 使到达目标轨道后的质量 m 性能指标最 f 大 . 4 遗传算法简介 遗传算法是模拟生物在自然环境中的遗传和进化过 程而形成的 ,一种自适应全局优化概率搜索算法 . 它最早 由美国 Michigan 大学的 Holland 提出 ,起源于 60 年代对 自然和人工自适应系统的研究. 80 年代由 Goldberg 对前 人工作进行归纳总结 ,形成了遗传算法的基本框架. 国内 有不少论著对遗传算法的基本原理及其应用进行了论述 , 图 1 动力学模型 5 - 7 常见的有文. Fig. 1 Dynamic mo del 下面简要介绍采用二进制编码的遗传算法的基本思 想 . 对于一个求函数最大值问题 , ( )( )( )max f X 2 X ? R , R Α U T ( ) ( ) , X = x , x ,式中 , x 是决策变量 , f X 是目标函数 , U 是基本空间 , R 是 U 的子 n 1 2 集 , 它是由满足所有约束条件的解所组成的一个集合 , 称为可行解集合. T ) ( , x 编码为 n 段二进制 在二进制编码的遗传算法中 , 将决策变量 X = x , x , n 1 2 代码组成的二进制数字串 . 该数字串称为染色体 , 具体的一个染色体又称个体. 每一个变 量 x 对应在染色体中那一段二进制数字串称为遗传基因 , 它的所有可能取值称为等位基 i 因 . 每个个体用解向量同样长的二进制向量进行编码 . 采用遗传算法求最大值的运算过程如下 : ( ) ( ) 1产生初始群体 Pop ulatio n ( ) ( ) t = 0 t 表示群体进化的代数, 随机产生m 个个体 S 形成初始群体 P 0. i ( ) 2评价 ( ) ( ) 先计算群体 P t 中每一个个体 S 所对应的目标函数 f i = 1 , 2 ,, m , 再计算与 i i 目标函数相关联的个体适应度. 一般而言 , 越接近目标函数的最优点 , f 越大 , 个体的适 i 应度越大 , 该个体更适合于 f 所定义的生存环境. ( ) ( )3选择 Selectio n ( ) 根据各个个体的适应度 , 按一定的 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 和方法 , 从第 t 代群体 P t 中选出一些优良 ( ) 的个体 , 遗传到下一代群体 P t + 1中 . ( ) ( )4 交叉 Cro ssover ( ( ) 将群体 P t 内的各个个体随机搭配成对 , 对每一对个体 , 以某一概率 称为交叉概 ) 率 , c rossove r rate交换它们之间的部分染色体. ( ) ( ) 5变异 Mutatio n ( ) ( ) 对群体 P t 中的每一个个体 , 以某一概率 称为变异概率 , mutatio n rate改变某些基 因座上的基因值为其他等位基因 . () ( ) ( ) 6对产生新一代的群体 P t + 1返回第 2步再进行评价 、选择 、交叉 、变异 , 如此 循环 , 直至最优个体的适应度达到某一限值或最优个体的适应度和群体的平均适应度不 再提高 , 则迭代过程收敛 , 算法结束 . 也可以设定最大进化代数作为算法结束的判断条件. 最后输出的具有最大适应度的个体 , 就是由遗传算法搜索到的最优解 .5 冲量情况下的最优转移轨道 Θ设探测器到达月球影响球附近的速度为 v = 948 . 5 m/ s 、当地速度倾角为 = - 0 0 79 . 7?、月心距为 r= 66401 . 7 km 、质量 m = 600 kg , 目标轨道为半径 2038 km 的圆轨道 .0 0 探测器可以在一次或多次的冲量作用下从双曲线转移到椭圆 . 过渡椭圆轨道最大远月距和最小近月距限制为 r、r, 探测器实际转移到进入远月距为 r、近月距为 r的 amax pmin a2 p2 - - ( ) 椭圆轨道 . 在 n 次冲量情况下 , 要优化的参数是n 次冲量施加时机 即真近点角 f 、n 个 i ( ) (α) ( 速度增量大小 d v 和 n 次冲量施加方向 . 决策变量有 3 n 个分量 : X = f f , d v i i 1n 1 T αα) ( ) d v ,, 目标函数为 f X = m . 决策变量 X 的每一个取值被编码成二进制 n 1 n end ( ) 数字串 , 具体的一个解 某种变轨 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 是一个个体 S . 遗传算法作用的对象是一个种群i ( ) m 个个体组成, 它通过选择 、交叉和变异算子作用于老种群后产生新的种群. 3 期曾国强等 :月球卫星最优小推力变轨研究 293 ( ) 用遗传算法优化出的最佳转移轨道如表 1 和图 2 所示 搜索 40000 条轨道. 从表 1 和图 2 可见 :在一次冲量情况下的最佳转移为在双曲线轨道近月点沿速度反向施加冲量 、 ( ( ) 进入远月距为 r、近月距为双曲线近月距的椭圆 , 然后霍曼转移到圆轨道 图 2 a所 a max - ) 示. 二次冲量情况下的最优转移为 :在初始位臵施加一次冲量 , 将双曲线近月点降到限制 的最小近月距 r, 然后在新双曲线的近月点施加第二次冲量 , 使探测器进入远月距为 p min - ( ( ) r、近月距为 r的椭圆轨道 . 最后经过两次冲量霍曼转移到目标圆轨道 图 2 b所 a max p min- - ) 示. r越大 , r越接近目标轨道半径 , 越省燃料 . 用二次冲量从双曲线转移到椭圆 a maxp min- - ( 比一次冲量的燃料要省 , 为全局最佳转移 如将冲量次数增加 , 优化得到的多冲量转移退 ) 化为二次冲量转移的情况. 表 1 冲量情况下最佳转移轨道 Ta ble 1 Optimal transf er trajectory in the case of impulse assumption ()( )一次冲量 o ne imp ulse 二次冲量 t wo imp ulses r r p min a max- - ( )( )( )( )( )( )( )r km r km m kg r km r km m kg km ( )km a2 p2 f a2 p2 f 70000 2242 69992 8047 541 . 45 69941 2242 548 . 20 50000 2242 49998 8047 539 . 90 49988 2242 548 . 19 30000 2242 29999 8047 536 . 76 29996 2242 547 . 92 50000 2038 49998 8047 539 . 90 50000 2038 548 . 55 50000 2909 49998 8047 539 . 90 49987 2090 547 . 09 图 2 冲量情况下最优转移轨道 Fig. 2 Optimal t ransfer t rajecto ry in t he case of imp ulse assumptio n 6 小推力转移轨道优化的第一步 6 . 1 转移轨道的分段 优化轨道的关键是确定转移轨道的分段方法和段数. 理论上讲 ,只要将转移轨道分为 () 足够多的小段 ,将每段的时间 、推力方向 、推力大小 最大或零都作为待优化参数 ,就可以 应用遗传算法来寻优 . 然而 ,由于遗传算法的收敛速度取决于参数的多少和参数寻优区间 的大小. 如果把所有的工作都交给遗传算法来做 ,效果不会太理想. 事实上 ,转移轨道由有限段推力弧和有限段滑翔弧组成 . 滑翔弧只要确定滑翔时间就 可以了 ,不必对它进行分段. 推力弧不但要确定时间 ,还要分成 segment 段 ,分段后每一个 端点取一个推力方向 ,各小段间通过线性插值确定各时刻的推力方向 . 然后就要分别对不 同段数的推力弧和滑翔弧利用遗传算法进行优化了 . 这样处理后 ,滑翔弧与推力弧分开 了 ,省去了滑翔弧的推力方向那部分参数 . 但仍然比较麻烦 ,因为要就 n 推力/ n 滑翔 、n 滑 翔/ n 推力 、n + 1 推力/ n 滑翔 、n + 1 滑翔/ n 推力的情况分别优化 ,计算量比较大. 下面再 进一步简化 :优化轨道第一步的终点是椭圆轨道上的任意点 ,如果最后一段弧是滑翔弧的 话 ,那么探测器在倒数第二段弧的终点就已经转移到了希望的椭圆轨道 ,最后的一段弧就 不需要了 . 因此 ,n 推力/ n 滑翔 、n + 1 滑翔/ n 推力的情况就可以不予考虑 . 除此之外 , n + () 1 推力/ n 滑翔可以看作是 n 滑翔/ n 推力的特例 第一段滑翔弧长度为 0,因此 ,在利用遗 传算法优化轨道时 ,只要考虑 n 滑翔/ n 推力的情况 . 从而节省大量的计算量. 在 n 滑翔/ n 推力的情况下 ,要优化的参数是 n 段滑翔弧的时间 、n 段推力弧的时间和每一推力弧上的 ( ) ( ) segment + 1个推力方向 . 决策变量有 n 3 segment + 3个分量. 6 . 2 参数选叏 排气速度v = 10000 m/ s r - 4 Q = 4 . 0 ×10 kg/ s 质量秒流量 - 3 2 ()该组参数下探测器的初始加速度 a= 6 . 7 ×10 m/ s探测器初重 600 kg 0 约束为 : r= 50000 km 、r= 2242 km a max p min - - 6 . 3 仿真结果 有了 6 . 2 节的参数 ,再利用遗传算法来搜索从双曲线轨道到椭圆轨道的能量最省的 转移轨道 . 仿真结果如下 : () 1转移轨道分为 1 滑翔/ 1 推力 、pop size 为群体中的个体数目 、segment 为推力弧的 分段数 ,搜索的轨道数为 9000 条 ,结果见表 2 . 表 2 从双曲线到椭圆的最优转移轨道( 1) Ta ble 2 Optimal transf er trajectory f rom hyperbola to ell ipse ( 1) ( )m kg Segment Pop size f 7 5 536 . 95 7 10 537 . 07 7 20 538 . 02 7 50 536 . 73 11 10 537 . 05 15 10 536 . 94 () 2转移轨道分为 2 滑翔/ 2 推力 、3 滑翔/ 3 推力 ,搜索 25000 条轨道 ,结果见表 3 . () (3在不同滑翔弧 、推力弧的组合下的转移轨道形状如图 3 . 虚线为滑翔弧 、实线为 )推力弧 、小圆圈为月球 ,图中起始弧为虚线 、终止弧为实线 ,对应于 n 滑翔/ n 推力情况 3 期曾国强等 :月球卫星最优小推力变轨研究 295 表 3 从双曲线到椭圆的最优转移轨道( 2) Ta ble 3 Optimal transf er trajectory f rom hyperbola to ell ipse ( 2) ( )m kg f Segment Pop size ( )( )2 滑翔/ 2 推力 2 coast s/ 2 powers 3 滑翔/ 3 推力 3 coast s/ 3 powers 7 5 537 . 24 536 . 87 7 10 536 . 90 536 . 76 7 20 536 . 50 536 . 45 6 . 4 仿真结果 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 从仿真结果可见 : () 1 遗 传 算 法 中 一 代 的 个 体数 pop size 不 宜 取 太 大 . 一 般 而言 ,在搜索同样多条轨道的前 提下 ,pop size 小一些 , 收 敛 速 度 会更 快. 在 上 面 的 例 子 中 , pop2 size 取 10 左右比较好 ,也就是说 遗传算法每次作用的对象是 10 图 3 不同推力弧 、滑翔弧组合下的转移轨道 () 个个体 10 种变轨方案. Fig. 3 Transfer t rajecto ries wit h different co mbinatio ns of power2coast arcs () 2 g2 推 力 弧 的 分 段 数 se ment 不能太多 . 虽然从理论上讲 ,分得越细 、用遗传算法搜索出的轨道会更接近最优轨 道 ,但是参数的增多会带来收敛速度降低的负面影响 . 上例中取 segment = 7 的效果较好 . ( ) 33 滑翔/ 3 推力 、2 滑翔/ 2 推力与 1 滑翔/ 1 推力的转移轨道形状基本相同 ,各组合 下推力弧所在的位臵差不多. 2 滑翔/ 2 推力转移轨道的中间有着极短的一段的滑翔弧 ; 3 滑翔/ 3 推力转移轨道的第一和第二段推力弧中间有很小的一段滑翔弧 ,最后一段推力弧的长度特别短 . 在 3 种组合中 ,1 滑翔/ 1 推力的收敛速度最快 、燃料消耗最小 . 因此 ,可以 - 4 推断 :当质量秒流量 Q = 4 . 0 ×10 kg/ s 时 ,从双曲线轨道到椭圆轨道的转移轨道分为 1 滑翔/ 1 推力为佳 . 7 小推力转移轨道优化的第二步 7 . 1 沿速度反向的加速方案 从双曲线轨道到圆轨道的最优转移轨道设计的第二步是要设计从椭圆轨道到目标圆 轨道的最优转移轨道 . 如果单纯从燃料消耗的角度来优化轨道 ,那么最佳轨道就是无限多 圈逐步降低远月点和近月点的轨道 ,其转移时间趋向无限大. 为了节省时间 ,则首先在探 测器经过远月点时 ,将近月点降到要求的目标圆轨道高度 ,然后在每次经过新的近月点时 沿速度反向施加速度增量 、降低远月点 ,直到成为圆轨道. 表 4 为沿速度反向加速方案下从椭圆到目标圆轨道的转移轨道的仿真结果. 工作区 βββ 间大小以 来衡量 ,定义为探测器月心矢量与近月点月心矢量的夹角 , 当夹角小于 0 0 0 时减速发动机工作. m 为转移结束时探测器质量 、T 为从椭圆到圆轨道的转移时间 、 f f Δr为转移结束后近月点高度的变化. 从仿真结果可见 :当发动机工作区间很小时 , 燃料 p (β消耗与理想情况相差无几 、近月点变化小 、转移时间很长 = 2?时 、转移时间为 514 . 95 0 ) 天 = 17 . 2 月. 当发动机工作区间较大时 , 燃料消耗比理想情况要多 、同时导致近月点的 (β) 高度降低和转移时间的缩短 = 20?时 、转移时间为 55 . 80 天 = 1 . 9 月. 工作区间越大 , 0 ( 燃料消耗越多 、近月点降低越多 . 转移时间的长短与工作区间的大小基本为反比关系 见 ) 表 4. 表 4 从椭圆到目标圆轨道的转移轨道 Ta ble 4 Transf er trajectory f rom ell ipse to circle β()? 0 ( )( )Δ( ) m kg T day r kmf f p 2 538 . 02 514 . 95 2 . 7 5 537 . 99 209 . 16 - 0 . 2 10 537 . 96 107 . 10 - 4 . 8 20 537 . 83 55 . 80 - 16 . 9 40 537 . 27 30 . 14 - 71 . 9 60 536 . 22 20 . 82 - 184 . 9 90 534 . 55 14 . 41 - 258 . 0 7 . 2 用遗传算法优化转移轨道 如采用沿速度反向加速的方案 ,要想缩短转移时间 ,就要以耗费较多的燃料为代价. 虽然增加燃料消耗是不可避免的 ,但还可以通过对推力方向的优化来减小燃料消耗 . 由于 将探测器在过远月点附近减速 ,使近月点降到要求的目标圆轨道高度的速度增量仅 4 m/ s ,对应的控制区间仅 0 . 06?,因此远月点减速这部分轨道不需要再利用遗传算法来优化推 () 力方向 沿速度反向施加推力即可. 在利用遗传算法来处理推力方向时 ,先要将对转移时 间的限制转化为控制区间的大小 . 这个区间的大小可以由沿速度反向加速的结果来确定 () β如限制在 30 天 ,则可取区间大小 = 40?. 然后 ,将各圈的推力弧分为几段 ,每段设立一 0 ) (() 个推力方向参数. 待优化参数的个数 = 圈数3 推力弧分段数 + 1. 设从椭圆到目标圆轨道转移时间不超过 15 天 . 通过沿速度反向加速的方案可确定工 β作区间大小为 = 90?,推力弧段数约为 12 段 ,每段推力弧分 segment 段 ,待优化的参数 0 ( ) 个数为 segment + 1:12 3 个 ,搜索的轨道数为 15000 条 . 优化结果见表 5 . 表 5 的结果再次说明了 ,分段数越多 、要优化的参数越多 、收敛速度越慢 . 与对转移时 间不限制的情况相比 ,转移时间限为 15 天的燃料消耗增加了约 3 . 2 kg. 7 . 3 转移轨道形状 取 5 . 1 节的约束和 5 . 2 节的发动机参数 ,从双曲线到椭圆取 1 滑翔/ 1 推力 ,从椭圆 到目标圆轨道限时 15 天 . 最优轨道的形状见图 4 . 3 期曾国强等 :月球卫星最优小推力变轨研究 297 表 5 从椭圆到目标圆轨道的最优转移轨道 Ta ble 5 Optimal transf er trajectory f rom ell ipse to circle ( )( )m kg T day Segment f f 3 534 . 81 14 . 52 5 534 . 74 14 . 40 7 534 . 62 14 . 20 图 4 小推力情况下最优转移轨道 Fig. 4 Optimal t ransfer t rajecto ry in t he case of low2t hrust 8 在不同収动机参数下最优转移轨道计算 8 . 1 収动机参数 排气速度取常数 v 质量秒流量 Q 变4 r 1 . 0 ×10m/ s - 4- 3 化范围 在该组参数下探测器的初始加1 . 0 ×10 ,1 . 0 ×10 kg/ s 速度 a- 3- 2 2 06 . 7 ×10 ,6 . 7 ×10 m/ s 探测器初重 m 0600 kg 8 . 2 仿真结果 取不同的发动机参数 ,遗传算法中每一代的个体数 pop size = 20 、推力弧的分段数 seg2ment = 7 ,搜索的轨道总数为 2 万条 ,并且假设对转移时间不加约束. 利用遗传算法优化得 ( 到的燃料最省转移轨道如表 6 、表 7 所示 r、r为椭圆轨道的远月距和近月距 ,从双曲线 a p ) 到椭圆的转移轨道分为 1 滑翔/ 1 推力和 2 滑翔/ 2 推力两种情况. 表 6 从双曲线到椭圆的最优转移轨道( 1 滑翔/ 1 推力) Ta ble 6 Optimal transf er trajectory f rom hyperbola to ell ipse ( 1 coast/ 1 po wer) ( ) ( ) 滑翔时间 秒coast time 工作时间 秒power time ( )( )( )( )m kg r km r km Q kg/ s f a p - 4× × × × × 2 . 0 ×10 - 43 . 0 ×10 535 . 20 528 . 5 106348 . 46 42029 2259 - 44 . 0 ×10 538 . 02 14089 . 5 71878 . 3 45298 2236 - 46 . 0 ×10 537 . 90 25358 . 3 50028 . 4 30836 2242 - 48 . 0 ×10 538 . 97 38306 . 5 33057 . 4 49398 3340 - 31 . 0 ×10 538 . 20 52731 . 9 25008 . 6 49944 6487 表 7 从双曲线到椭圆的最优转移轨道( 2 滑翔/ 2 推力) Ta ble 7 Optimal transf er trajectory f rom hyperbola to ell ipse ( 2 coasts/ 2 po wers) ( )( )( )( )m kg r km r km Q kg/ s f a p - 43 . 0 ×10 535 . 10 49915 2374 - 44 . 0 ×10 537 . 31 37244 2259 - 46 . 0 ×10 539 . 34 49894 3079 - 48 . 0 ×10 539 . 66 45483 2438 - 31 . 0 ×10 539 . 23 29041 2266 从表 6 和表 7 可见. - 4 ( ) 1当 Q > 4 . 0 ×10 kg/ s 时 , 燃料最省的转移轨道为 2 滑翔/ 2 推力的形式 ; 当 Q - 4 < 4 . 0 ×10 kg/ s 时 , 推力弧时间很长 , 2 滑翔/ 2 推力退化为 1 滑翔/ 1 推力的形式. 由于 推力加速度很小 , 速度增量不能瞬时获得 , 故采用小推力变轨的燃料消耗比冲量假设下要 多消耗近 10 kg. ( ) 2发动机的推力越大 , 推力弧长度越短 、滑翔弧长度越长 ; - 4 ( ) 3如果发动机推力太小 , 燃料消耗将会增多 . 当 Q = 3 . 0 ×10 kg/ s 时 , 滑翔弧时 - 4 间仅占总时间的 0 . 5 % , 最终质量仅为 535 . 2 kg , 大约比 Q > 4 . 0 ×10 kg/ s 时多消耗燃 料 3 kg. - 4 ( ) ( ) 4如果发动机推力小于某一值 约为 Q = 2 . 0 ×10 kg/ s, 即使发动机一直工作 , 也无法将探测器转移到目标轨道上去 , 探测器将飞离月球影响球 . 9 结论 在冲量假设下 , 从双曲线到目标圆轨道的全局最优转移轨道为 4 次冲量的转移轨道 : 在双曲线轨道的起始点施加一次冲量 、将双曲线近月点降到限制的最小近月距为 r ,pmin - 然后在新双 曲 线 的 近 月 点 施 加 第 二 次 冲 量 、使 探 测 器 进 入 远 月 距 为 r、近 月 距 为 a max - r的椭圆轨道 . 最后经过两次冲量霍曼转移到目标圆轨道. p min- 在小推力的情况下 , 燃料消耗比冲量假设下的要多. 推力加速度越小 , 燃料消耗越多 . 在小推力加速的情况下 , 最优转移轨道为 :先从双曲线转移到一远月距和近月距都受约束 的椭圆轨道 , 然后多次在远月点和近月点减速转移到目标圆轨道. 从双曲线转移到椭圆轨 道的转移轨道形式与推力加速度大小有关 , 当推力加速度相对较大时 , 转移轨道为 2 滑翔 / 2 推力弧 , 当推力加速度很小时 , 转移轨道退化为 1 滑翔/ 1 推力弧. 遗传算法是一个普遍适用的参数寻优算法 , 它并不局限在某一类问题上. 虽然本文研 究的是平面情况的问题 , 但是 , 完全可以将它应用到空间情况下的轨道转移问题上来 . 此 外 , 也适合于探月轨道发射窗口参数的选择和月面软着陆方案的优化设计等问题. 参考文献 1 Kluever C A , Pierso n B L . Optimal low2t hrust eart h2moo n t ransfers wit h a switching f unctio n st ruct ure . AAS/ A IAA 3 期曾国强等 :月球卫星最优小推力变轨研究 299 Space Flight Mechanics Meeting , Cocoa Beach , Flo rida , Feb. 14 - 16 , 1994 . 927 - 940 2 Carroll V C , Williams S. Optimal low2t hrust t rajecto ry using differential inclusio n co ncept s. AAS/ A IAA Space Flight Mechanics Meeting , Cocoa Beach , Flo rida , Feb. 14 - 16 , 1994 . 1003 - 1014 Pino n E , Fowler W T. L unar launch t rajecto ry optimizatio n using a genetic algo rit hm. AAS/ A IAA Space Flight Me2 3 chanics Co nference , Albuquerque , New Mexico , Feb. 13 - 16 , 1995 . 129 - 140 程 国采. 航天飞行器最优控制理论与方法. 北京 :国防工业出版社 ,1999 . 179 - 181 周4 明 ,孙树栋. 遗传算法原理及应用. 北京 :国防工业出版社 ,1999 . 4 - 9 5 ( ) 刘勇等. 非数值并行算法 二———遗传算法. 北京 :科学出版社 ,19956 陈国良等. 遗传算法原理及应用. 北京 :人民邮电出版社 ,19967 A STUDY O N THE OPTIMAL LOW2THRUST O RBIT MA NEUVER OF L UNA R SATELL ITE 1 2 1ZEN G Guo2QiangXI Xiao2NingR EN Xuan ( ) 1 Col lege of A st rona ut ic a n d m ateri al en gi neeri n g , N at ional U ni versi t y of Def ense Tech nology , Cha n gsha 410073 ( )2 S ha n ghai A st ronom ical Observ atory , Chi nese A ca de m y of S ciences , S ha n ghai 200030 The minimum2f uel2co nsump tio n p ro blem of low2t hrust o rbit maneuver f ro m a ABSTRACT hyperbolic o rbit to a circular o rbit is st udied. At first , t he p ro blem is divided into t wo part s : o rbit maneuver f ro m a hyperbolic o rbit to an ellip tic o rbit and o rbit maneuver f ro m an ellip tic o rbit to a circular o rbit . Then , a genetic algo rit hm is used to solve t he op timizatio n p ro blem in t he cases of imp ulse assump tio n , low2t hrust o rbit maneuver f ro m a hyperbolic o rbit to an ellip tic o rbit , and low2t hrust o rbit maneuver f ro m an ellip tic o rbit to a circular o rbit wit h t ransfer time co nst raint . Key words op timal low2t hrust o rbit maneuver , genetic algo rit hm , lunar satellite