由溢流坝想到曲边三角形面积求法
辽宁省本溪市本溪实验中学八年一班 作者:杨扬 指导教师:无
F
O
摘要:看过溢洪坝的人会发现它的断面形状很像下图,
E
A
C
B
D
G
其中OA段是抛物线,AB段是直线,BD段是圆弧。众所周知,建造溢洪坝时,要算它的体积,这就要知道它的断面面积。而梯形EACB和矩形CBGF好求BD是圆弧面积可以减法算出,难点就在曲边三角形OAE上。本文就是介绍如何求曲边三角形的面积
关键词:曲边三角形,面积,极限,定积分。
1.引出问题
求曲边三角形OAE的面积不妨从以下情况来考虑
设抛物线y=f(x)=x^2和直线y=0(即x轴)、x=1所围成的曲边三角形是要求面积的。如图:
B
A
O
2.分析矛盾
这里遇到的主要矛盾是“直”和“曲”:矩形的面积好算,可曲边形的面积不好算。但我们知道把曲线分成无数小份,每一份都可近似于直的。所以我们要创造适当的条件,就可以将上述矛盾转化。
3.解决矛盾
分为四步:
3.1第一步:“化整为零”
把区间【0,1】分为n等分,分点为
过每一个分点,作y轴平行线把曲边三角形分成n个曲边梯形,设第i个曲边梯形面积为
3.2第二步:“以直代曲”
对于每个,用相应的矩形近似代替
y=f(x)=x^2
(i=1,2,…,n)
其中
具体写太麻烦,故略。
3.3第三步“积整为零”
把所有矩形加起来,就得到近似的曲边梯形面积之和,它是曲边三角形面积S的近似值
=
=//注:提公因式
=//注:平方和公式
=
3.4第四步“取极限”
上述计算的S只是近似值。只有当分割得无限细密时,也就是当时,的极限就是曲边三角形面积的准确值:
=
4.
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
(1)遇到这样的问题,解决的步骤是
分割——以直代曲——求和——取极限
(2)最后所得的曲边形的面积不是近似值,而是准确值
5.反思推广
今天,我又在网上浏览了一下关于此方面的内容。知道了抛物线y=f(x)=x^2和直线y=0(即x轴)、x=1所围成的曲边三角形的面积就是函数y=f(x)=x^2在区间【0,1】上的定积分,记作
同样的方法也可以求曲边梯形的面积
如果平面直角坐标系中有一连续函数y=f(x)(y)与x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积为S,则S==
即f(x)在区间【a,b】上的定积分
6.结束语
其实微积分并不是很难,不是爱因斯坦也可以在15岁之前学会它,在这个假期里我将微积分自学完了,虽不能说自如运用,但还可以解决像这样的实际问题。
参考文献:
[1]北京大学数学力学系高等数学教材编写组:一元微积分 第1版。北京:人民教育出版社1977.7~1979.2