概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答

习题4-1 1、设随机变量 服从参数为 的 分布，求 。 解：据题意知， 的分布律为       根据期望的定义，得 。 2、袋中有 张卡片，记有号码 。现从中有放回地抽出 张卡片，求号码之和 的数学期望。 解：设 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示第 次取到的卡片的号码（ ），则 。 因为是有放回地抽出卡片，所以 之间相互独立。 所以第 次抽到号码为 的卡片的概率为 ， 即 的分布律为 ， 所以 ， 所以， 。 注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。 3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以 表示一天中调整设备的次数，试求 。（设诸产品是否是次品是相互独立的。） 解：令 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知， ， ， 因此， ，从而 。 注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。即 值。 4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为 （ ， 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为 。保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费 元（ 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿 元（ ）。应如何确定 才能使公司可期望获益？若有 个人参加保险，公司可期望从中收益多少？ 解：设 表示从一个被保险人身上获得的收益，则其分布律为       所以 ， 要使公司获利，需 ，即 ，所以有 ， 对于 个人，有 。 注：此题的关键在于假设随机变量，从而确定公司获益的期望。 5、对任意随机变量 ，若 存在，则 等于          。 解：由于 表示随机变量 的平均值，是一个数。据数学期望的性质，知 。 6、设随机变量 的分布为            求 ， ， 。 解： ， ， 。 7、设连续型随机变量 的概率密度为 ，其中 ，又已知 ，求 的值。 解：由概率密度函数的性质和已知条件，得 ，解得 。 8、设随机变量 的概率密度为 ，求 。 解：据题意知，随机变量 的概率密度为 ， 所以， 。 9、一工厂生产的某种设备的寿命 （以年计）服从指数分布，概率密度为 ，工厂 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解：一台设备在一年内损坏的概率为 故 。 设 表示出售一台设备的净赢利， 则            ， 故 。 注：此题为随机变量函数的期望的计算。 10、设随机变量 的概率密度为 ， （1）求 的数学期望；（2） 的数学期望。 解：（1） ； （2） 。 11、设 的分布律为 X Y 1 2 3 －1 0 1 0.2 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 0.3 0.1         (1) 求 ， 。 (2) 设 ，求 。 (3) 设Z= (X－Y )2，求E (Z)。 解：（1）由 的分布律易得边缘分布为 1 2 3 －1 0.2 0.1 0 0.3 0 0.1 0 0.3 0.4 1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.4 0.2 0.4 1           E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4 =0.4+0.4+1.2=2。 E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4 +1×0.3=0。 －1 －1/2 －1/3 0 1/3 1/2 1 pk 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1                 （2） E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15. Z= (X－Y)2 0 (1-1)2 1 (1- 0)2或(2-1)2 4 (2- 0)2或(1- (-1))2或(3-1)2 9 (3- 0)2或(2-(-1))2 16 (3-(-1))2 pk 0.1 0.2 0.3 0.4 0             （3） 。 12、设 的概率密度为 ，求 。 解： ， ， ， 。 13、设 和 相互独立，概率密度分别为 ， ，求 。 解：由于 和 相互独立， 所以 。 习题4－2 1、设随机变量 服从泊松分布，且 ，求 。 解：设 ，由题意得 ，整理得 ，解得 ， （舍去）， 所以 。 2、下列命题错误的是（    ） 若 ，则 ； 若 服从参数为 的指数分布，则 ； 若 ，则 ； 若 服从区间 上的均匀分布，则 。 解：由于若 服从参数为 的指数分布，则 ，所以错误的命题是 。 3、设 是相互独立的随机变量，且都服从正态分布 （ ），则 服从的分布是        。 解：由于 是相互独立的随机变量，且都服从正态分布，根据正态分布的线性组合仍服从正态分布，故 服从正态分布； 根据期望和方差的性质，得 ， ， 综上，可得 。 注：此题与总习题四中的30题类似。 5、设随机变量 服从泊松分布，且 ，求 的期望与方差。 解：设 ，由题意得 ，整理得 ，解得 ， （舍去），所以 。 注：此题与本节第1题类似。 6、设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命（单位：小时） 和 的分布律分别为 900 1000 1100 0.1 0.8 0.1 950 1000 1050 0.3 0.4 0.3         试问那家工厂生产的灯泡质量较好？ 提示：先比较数学期望，若相等，再比较方差。期望越大质量越好；期望相同，则方差越小，质量越好 解： ， ， ， ， ， ， 由于 ，且 ，所以乙家工厂生产的灯泡质量较好。 7、已知 ，且 ，试求 的所有可能取值，并计算 。 解：由 ，得 ，又由于 ，即 ， 解得 ，所以 的所有可能取值为 ， 所以 。 8、设 ， 服从参数为 的泊松分布，且 与 独立，求 。 解：据题意得， ， ，由于 ，即 ，故 ， ， 又由于 与 独立，所以 。 9、设随机变量 相互独立，且 ；设 ，求 。 提示：利用期望和方差的性质直接计算即可。 解：据题意知， ， 。 10、5家商店联营，每两周售出的产品的数量记为 ，且相互独立，其中 ， （1）求5家商店两周的总销量的均值和方差； （2）商店每两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？ 解：设5家商店两周的总销量为为 ，则 （1） ，且 （2）设商店的仓库应至少储存该产品 千克 则由题意 ，查 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布表， ， ， ，解得 。即商店的仓库应至少储存该产品1281.55千克。 11、设 独立同分布与 ，求 的期望与方差。 解：因为 ，所以 所以 ， ，即 ， 所以 。 注：此题应先求出 的概率密度函数。 习题4-3 1、设 服从二维正态分布，则下列条件中不是 相互独立的充分必要条件是（  ） (A) 不相关；  (B) ；  (C) ；    (D) 。 解：由于二维正态分布 相互独立的充要条件是 不相关，而 不相关，根据相关系数的定义知 ，而 ，根据协方差的常用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 知， 。选择(D)。 2、设 服从参数为2的泊松分布， ，试求 及 。 解：据题意知， ，据期望和方差的性质，知 ， ， ， 所以， ， 。 3、设随机变量 的方差 ，随机变量 的方差 ，又 与 的相关系数 ，求 与 。 解： ， 。 注：此题主要考察方差的性质。 4、设 服从单位圆域 上的均匀分布， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 不相关。 证：据题意知， 的概率密度函数为 ， ， ， ， 由于 ，故 不相关。 5、设100件产品中的一、二、三等品率分别为0.8，0.1和0.1。现从中随机地取1件，并记 ，求 。 解：据题意知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由于从中随机地取1件不可能同时取到一、二等品，故 ， 所以， 。 6、设 ， ，且 相互独立。试求 和 的相关系数（其中 是不为零的常数）。 解：由于 相互独立， 故 ， ， ， 故 。 7、设随机变量 具有概率密度 ， 求 ， ， ， 。 解： ， ， ， ， ， ， 。 8、设随机变量 的分布律为 X Y －1 0 1 －1 0 0 1         试验证 和 不相关，且 和 不相互独立。 证：据联合分布律与边缘分布律的关系，得 X Y －1 0 1 －1 0 0 1             由于 ， ， ， 所以 和 不相互独立。 又 ， ， ， ，所以， 和 不相关。 9、设二维随机变量 的概率密度函数为 ， 试验证 和 是不相关的，且 和 不相互独立。 解：据题意知， ， ， ， 由于 ，故 不相关。 又由于 ， ， 由于 ，所以 和 不相互独立。 10、设 服从二维正态分布，且 ， ，相关系数 ，试写出 与 的联合概率密度。 解：据题意知， ， ， ， ， 而 服从二维正态分布，它的概率密度函数为 ， 所以， 与 的联合概率密度为 。 11、设 服从二维正态分布，且 ， ，证明：当 时，随机变量 与 相互独立。 证：据多维正态分布的性质，由于 服从二维正态分布，所以随机变量 与 的联合分布仍服从二维正态分布。据二维正态分布的性质，不相关性和独立性是等价的，所以，要证随机变量 与 相互独立，只需证明 与 不相关即可，即要证 。 而 ， 即 ，解得 ， 所以，当 时，随机变量 与 相互独立。 12、设随机变量 的概率密度为 ，求随机变量 的1至4阶原点矩和中心矩。 解：随机变量 的1阶原点矩： ， 随机变量 的2阶原点矩： ， 随机变量 的3阶原点矩： ， 随机变量 的4阶原点矩： ； 随机变量 的1阶中点矩： ， 随机变量 的2阶中点矩： ， 随机变量 的3阶中点矩： ， 随机变量 的4阶中点矩： 。 13、设随机变量 服从拉普拉斯分布，其概率密度为 ， ，其中 为常数，求 的 阶中心矩。 解：由于 ， ， 当 为奇数时，被积函数为奇函数，积分区间对称，因此积分为零，即 ； 当 为偶数时， ， 所以，当 为奇数时， ；当 为偶数时， 。 习题4-4 1、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为 ，试估计 。 解：令 表示第 次掷骰子时的点数， ，据题意知， ， 相互独立， ， ， 则 ， ， ， 故据期望和方差的性质，得 ， ， 所以，据切比雪夫不等式，得 。 2、设随机变量 与 的数学期望分别为 和 ，方差分别为 和 ，而相关系数为 ，根据切比雪夫不等式估计 。 解：根据期望和方差的性质，得 ， ， 所以，根据切比雪夫不等式，得 。 3、设 为随机变量序列， 为常数，则 以概率收敛于 是指            。 解：根据以概率收敛的定义，得对任意 ，有 。 4、设总体 服从参数为 的泊松分布， 为来自总体 的一个样本，则当 ， 以概率收敛于            。 解：由于总体 服从参数为 的泊松分布，故 ，又由于 ， 故 ， 又因为 为来自总体 的一个样本，所以 独立同分布于参数为 的泊松分布。而 ， 所以，根据以概率收敛的定义，则当 ， 以概率收敛于6。 5、从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品，我们能否相信该产品的废品率不超过0.005？ 解：用反证法。 假设该产品的废品率不超过0.005，即 ， 设 表示任取的200件产品中的废品件数，则 ， 所以 ， 即从中抽取4件废品的概率为0.0153，这是一个概率很小的事件，根据实际推断原理，概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生，而实际上它确实发生了，因此我们的假设是不成立的，即我们不能相信该产品的废品率不超过0.005. 注：该题目放在第二章中更合适，讲完泊松逼近定理后。 6、一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费，已知一年内投保人死亡率为0.006，如死亡，公司付给死者家属1000元，求：（1）保险公司年利润为0的概率；（2）保险公司年利润不少于60000元的概率。