3.6 RL电路的响应
3.6.1 RL电路的零输入响应
图3.6.1是一RL串联电路。在换路前，开关S是合在位置2上的，电感中通有电流。在t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，RL被短路。此时，电感已储有能量，其中电流的初始值i（0+）=I0。
根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时的电路微分方程
Ri+Ldi/dt=0
其通解为 i=I0e-Rt/L= I0e-t/τ 式中 τ=L/R 具有时间的量纲，是时间常数。
时间常数τ愈小，暂态过程就进行的愈快。因为L愈小，则阻碍电流变化的作用也就愈小（eL=-Ldi/dt）；R愈大，则在同样电压下电流的稳态值或暂态分量的初始值U/R愈小。这都促使暂态过程加快。因此改变电路参数的大小，可以影响暂态过程的快慢。
由式3.6.2可得出t≥0时电阻和电感上的电压，它们分别为
uR=Ri=RI0 e-t/τ
uL=Ldi/dt=-RI0 e-t/τ
所求i，uR及uL随时间而变化的曲线如图3.6.2所示。
RL串联电路实为线圈的电路模型。如果在图3.6.1中，用开关S将线圈从电源断开而未加以短路，则由于这时电流变化率（di/dt）很大，致使自感电动势很大（eL=-Ldi/dt）。这可能使开关两触点之间的空气击穿而造成电弧以延缓电流中断，开关触点因而被烧坏。所以往往在将线圈从电源断开的同时而将线圈加以短路，以便使电流（或磁能）逐渐减小。有时为了加速线圈放电的过程，可用一个低值泄放电阻R′或续流二极管与线圈连接（图3.6.3）泄放电阻不宜过大，否则在线圈两端会出现过电压。因为线圈两端的电压为（若换路前电路已处于稳态，则I0=U/R） uRL=-R′i=-U R′e-（R+R′）t/L/R
在t=0时，其绝对值为 uRL（0）= R′U/R
可见当R′＞R时，uRL（0）＞U。
如果在线圈两端原来并联有电压
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
（其内阻很大），如图3.2.4所示，则在开关断开前必须将它去掉，以免引起过电压而损坏电压表。
3.6.2 RL电路的零状态响应
图3.6.4是一个RL串联电路。在t=0时将开关S合上，电路即与一恒定电压为U的电压源接通。此时实为输入一阶跃电压u图3.3.6a。
在换路前电感未储有能量，i（0-）=i（0+）=0，即电路处于零状态。
根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时的电路的微分方程
U=Ri+Ldi/dt
其通解为 i=U/R-Ue-Rt/L/R= U/R（1-e-t/τ）---3.6.6
也是由稳态分量和暂态分量相加而得。
所求电流随时间而变化的曲线如图3.6.5所示。电路的时间常数为
τ=L/R
由式3.6.6可得出t≥0时电阻和电感上的电压：
uR=Ri=U（1- e-t/τ）
uL=Ldi/dt= U e-t/τ
它们随时间变化的曲线如图3.6.6所示。在稳态时，电感相当于短路，其上电压为零，所以电阻上的电压就等于电源电压。
3.6.3 RL电路的全响应
在图3.6.7所示的电路中，电源电压为U，i（0-）=I0。当将开关闭合时，即和图3.6.4一样，是一RL串联电路。
t≥0时的电路的微分方程和式3.6.6相同，可知其通解为
i=U/R+（I0-U/R）e-Rt/L-----------3.6.9
式中右边第一项为稳态分量；第二项为暂态分量。两者相加即为全响应i。
可见，式3.6.9的一般式子就是式3.4.1。因此，三要素法可以同样应用于一阶RL线性电路，由它直接得出上式。
式3.6.9经改写后得出
i= I0 e-t/τ+U/R（1- e-t/τ）
式中右边第一项为零输入响应；第二项为零状态响应。两者叠加即为全响应i。
例3.6.1
在图3.6.8中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路后经多少时间电流才达到15A？
习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
3.4.2
电路如图所示，换路前已处于稳态，试求：t 0时电容电压uC、B点电位vB和A点电位vA的变化规律。
【解】(1) 求t≥0时的电 容电压uC
故
(2) 求t≥ 0时的B 点电位vB
注意 t = 0+时，由于电容中存在电流
因此10k和5k电阻中的电流不等。
(3) 求t≥ 0时的A点电位vA
作业： 3.4.4; 3.4.5; 3.6.1; 3.6.4
浙公网安备 33021202002483