2015高考数学二轮专题复习(立体几何) - 含答案

2015高考数学二轮专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 复习 立体几何 数学组：肖本贵 一、近几年高考考点分析 新课标高考数学立体几何考查形式以选择题两道和一道题进行考查，主要题型有【小题】三视图、空间几何体的结构、空间线面位置关系及性质、以锥体和柱体为背景考查距离和夹角；【大题】第一问考查与平行和垂直有关的证明题，第二问考查夹角和距离问题或是考查探索性（存在性）问题。答题凸显学生一题两解（传统几何证明和向量法），空间推理能力和运算要求较高。从高考题看：三视图、平行和垂直有关的证明题、空间夹角（二面角，线面角）几乎成必考考点，同时还要熟悉几何体的表面积和体积计算。 二、 考点梳理 考点一  空间几何体的结构 1.若正四梭锥P- ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______． 【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为 ，设球的半径为R，则由等体积法得， ,所以球的表面积为 . 【变式训练】已知直三棱柱 的各顶点都在球O的球面上，且 ，若球O的体积为 ，则这个直三棱柱的体积等于    【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，△ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果. 【答案】解析：由球的体积公式得球的半径R= ，由AB=AC=1， BC= 得△ABC是顶角是120°的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为 ，故选B. 考点二  空间几何体的三视图和直观图 2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（    ） （A）              （B）              （C）              （D） 【思路点拨】由三视图的基本概念即可判断. 【答案】由题意可得，A是正方体，B是三棱柱，C是半个圆柱，D是圆柱，C不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【变式训练】一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为 ，则这个几 何体的俯视图可能是下列图形中的    ．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④四边形；⑤扇形；⑥圆. 【思路点拨】分析俯视图是某个图形时，是否与已知条件发生矛盾，从而筛选出结果. 【答案】若俯视图是四边形，则此四边形也是边长为1 的正方形，即几何体是棱长为1的正方体，其体积为1，不合题意；若俯视图是扇形或圆，则体积值中含π，所以俯视图不会是扇形或圆；若俯视图是锐角三角形或钝角三角形，则在正视图或侧视图 正方形中还有一条竖直的实线或虚线，所以俯视图不会是锐角三角 形或钝角三角形；若俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，如右图， 则此几何体体积为 ，且满足正视图和侧视图都是边长为1的正方形.故这个几 何体的俯视图可能是②. 3.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（      ） A. B. C. D. 【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是正确分析原几何体的特征，熟悉常见的几何体的三视图特征是解题的关键. 【答案】由三视图可知该几何体上面为两个半圆柱，下面为一个长方体，所以其体积为 ，则选A 【变式训练】. 1.一个几何体的三视图(单位: )如图 所示,则该几何体的体积是    　 . 【答案】由三视图可得几何体为下方是以4为边长的正方体，上方为底面为正方形高为3的四棱柱，所以其体积为： ，故答案为：80. 2.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 图3                    A.30            B.12            C.24            D.4 【思路点拨】三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可. 【答案】由图可得几何体的直观图如图3， 可得此几何体的体积等于 ×3×4×5- × ×3×4×3=24. 4．某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（    ） A.       B.     C.     D. 【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，底面一边长为1的直角三角形，一条棱长为，由于本题中含有两个参数，且需求满足两者和最大时的体积，故本题第一步是找到关于a，b的表达式，先求其和最大时两参数的值，再由体积公式求体积，观察发现，可以先用参数a，b表示出PC，PB的值， 在直角三角形BPC中用勾股定理建立关于a，b的方程，研究此方程求出满足条件的参数的值再求体积即可． 有PC=，PB= 在直角三角形BPC中有PC2+PB2=BC2=6，即a2-1+b2-1=6，即a2+b2=8可设a=2cosθ，b=2sinθ，θ∈（0，2π） 则a+b=2 cosθ+2sinθ=4sin（θ+）≤4，最大值当θ=时取到 【答案】由题设可得其直观图如图，由三视图知，PA，PB，PC两两垂直 PA=1，BC= ，AB=b，AC=a 如图 此时a=b=2，验证知符合题意由此知PC= = ，PB= = 故底面三角形APB的面积为 ，棱锥的体积为 × ×  = 【变式训练】.已知四棱锥 的三视图如图所示，则围成四棱锥 的五个面中，最大的面积是（    ） A.3 B.6 C.8 D.10 【思路点拨】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出棱锥的高及侧面SBC的斜高，代入面积公式计算，比较可得答案 【答案】由三视图可知，几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2,4，底面面积为8， 可以求得四个侧面的面积分别为，于是最大面积为8. 故选C. 考点三    空间中的平行和垂直关系 5.已知 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同的平面，且 ，则下列叙述正确的是 （A）若 ， ，则             （B）若 ， ，则 （C）若 ， ，则             （D）若 ， ，则 【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可. 【答案】A中 ， 还可能相交；B中 ， 还可能异面；D中可能 ，故选C. 6..已知两个不同的平面 和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题： ①若 ；            ②若 ； ③若 ；    ④若 . 其中正确命题的个数是                                          （    ） A.0        B.1        C.2        D.3 【思路点拨】判断平行于垂直位置关系，可用已有的定理或性质直接判断，或用反例法进行排除. 【答案】①若 ；由线面垂直的性质可知正确；②若 ；由平行平面的性质可知正确；③若 ，则n⊥α,又 ，所以正确；④若 .因为m与n还可以异面，所以错误,综上可知选D. 【变式训练】设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件是 A.         B. C.             D. 【思路点拨】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确． 【答案】对于选项A： ，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确； 对于选项B： ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确； 对于选项C： ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确； 对于选项D：因为 ，所以 ，又因为 所以 .故选D 考点四  多面体与球 7.已知正三棱锥 ,点 都在半径为 的球面上,若 两两相互垂直,则球心到截面 的距离为_____________. 【思路点拨】一般遇到几何体的外接球问题，若直接解答不方便时，可通过补形法 转化为球内接正方体或长方体的关系进行解答. 【答案】由已知可把正三棱锥补形成球内接正方体，因为球的直径为 ，所以正方体的棱长为2，则PA=PB=PC=2，AB=BC=AC= , ，设P到截面 的距离为d，则有 ，解得 ，所以球心到截面 的距离为 . 【变式训练】．已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2 ，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为           。 【思路点拨】根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据表面积公式计算即可． 【答案】三棱锥P-ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4 = ，∴a=6 ， ∴三棱锥P-ABC棱长为3 ，三棱锥P-ABC的高为2 ，设内切球的半径为r，则4× r×S△ABC= S△ABC×2 ，∴r= ，∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4 =3π． 考点四  空间角与距离的求法 8.如图，四棱柱 面ABCD，AB∥DC， （1）证明： ； （2）求二面角 的正弦值； （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面 所成角的正弦值为 ，求线段AM的长． 【思路点拨】（1）建立空间直角坐标系，得，由它们的数量积为零的结论； （2）求得二面角两半平面的法向量，由此求得二面角的余弦值，进而求得此二面角的正弦值；（3）利用直线AM与平面所成角的正弦值为,求得点M的坐标即可的结果. 【答案】 解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0) , B(0,0,2) ,C(1,0,1) , . (1) 证明：易得, 于是，∴-----2分 （2）. 设平面的法向量， 则 ， 消去x得y+2z=0,不妨取z=1，可得一个法向量 ----4分 由（1） ，又 ,可得 平面 ,故 为平面 的一个法向量，于是 ， 从而 ，------5分