关于夫琅禾费环孔衍射的讨论

关于夫琅禾费环孔衍射的讨论 1998 年 9 月 西北建筑工程学院学报 Sep . 1998 第 3 期 J . of N W Inst . of Arch . Eng . No . 3 关于夫琅禾费环孔衍射的讨论 赵锡平李永平 (() ) 济南大学物理系 济南 250002德州教育学院教务处 德州 253064摘要 从衍射积分 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 出发 ,利用贝塞尔函数 ,求得夫琅禾费环孔衍射积分的精确 解 ,并对衍射图样进行了 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 . 关键词 Bessel 函数 ,夫朗禾费衍射 ;衍射积分 ;衍射图样 中国图书资料分类号 O43611 ( )( )U p I p 1 求解 和 ( ) 设环孔周界是两个同心圆 , 半径分别为 r, rr> r, 衍射图样上以点源几何象为原 1 2 2 1 [ 1 ] ( ) 点时对任一点 P p , q的光振动可写成如下形式 ξη) ( - ik p+ q( ) ξη( )U p , q= Ce dd1 κ A λ积分前的常数 C 可用入射到环孔上的总能量 E 、入射波长及开孔面积 D 来确定. Bo r n 根据 文献 [ 2 , 计算得到 1 E ( )C = 2 λ D () (ρθ) 为了对式 1严格求解 ,选取极坐标系 . 设 ,是环孔上某点 Q 以环孔中心为原点时 的极坐标 , 则 ( )ξ ρθη ρθ3 = co s,= sin ( φ) 并设 r ,是衍射图样上以点源几何象为原点时 P 点的极坐标 , 则 ( )φφ4 p = rco s, q = rsin 2 2 [ 1 ] ( 由 p 和 q 的定义可知 , r = φ) p+ q,是 p , q方向与中心方向 p = q = 0 夹角的正弦.( ) ( ) ( ) 将式 3和式 4代入式 1, πr2 2 ( φ) ρ(θ φ) θρρU r ,= C{ exp [ - i krco s - ]d}d( )5 ? ? 0 r1 3 根据贝塞尔函数的积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 - n π2 i α αi x co si n α ( )( )= J x e d6 e n π? 20 收稿日期 :1998205207 第一作者 :男 ,1962 年生 ,讲师 当 n = 0 时 ,有 π2 1 αi x co s α ( )( )d= J x 7 e 0 π?20 r 2π( ρρρ( )( ) )( ) ( ( ) ) U r= 2CJ krd8 考虑到 J x = J - x , 式 5化为 0 0 0 ? r 1 d n +1 [ 4 ]n +1 ( ) ( ) ( )x ] = x 此外 , 由熟知的递推关系[ x Jx J9 n +1 n d x 取 n = 0 , 进行积分 , 有 x( ) ( ) )( xJ x = yJ y d y10 1 0 ? 0 () () 由式 8, 10得 rr ( ( ))2 J k rr2 J k rr21 1 2 1 1 2 2 ( ) π( ρ)ρρ ( ρ)ρρ ππU r= 2C [J krd- J krd= Cr[] - Cr[ ] 1 0 o 2 ?? k r r k r r 0 0 2 1 ( )11 2 2 π( ) 注意到 D = r- r得2 1 ( )( )2 J k rr2 J k rr 1 2 1 1 1 2 2 )( ( ) 12 { r[ ] - r[ U r= } CD 2 1 2 2 r k rr k r( )r- r 2 1 2 1 ( ) 因此 ,强度 I r可写作 ( )( )2 J k rr 2 J k rr 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) CD ( )I r= | U r| = { r[ ] - r[ 13 } 2 1 2 2 2 ) k rr k rr ( rr- 2 1 1 2 5 2 2 并根据 Airy 的著名公式,中心强度 I = CD , 有 0 ( )( )2 J k rr2 J k rr 1 1 2 1 1 2 2 2 ( ) ( )I r= { r[ ] - r[ } I14 2 1 02 2 2 ) k rrk rr( r- r2 1 2 1 () () () 式 11[ 或式 12, 式 14即为所求出的精确解. 2 衍射图样分析 211 两种极限情况 ( ) 当 r= 0 时 , 即为无遮挡的圆孔. 式 14化为1 ( )2 J k rr 1 2 2 ( )( ) I r= | 15| I 0k r r 2 () 式 15即大家熟知的夫琅禾费圆孔衍射的结果. 当 r一定 , r? r时 , 2 1 2 ( ) ( ) 将式 14中 I 移至式左边 , 式 14化为0 ( )( )2 J k rr2 J k rr 1 2 1 1 2 2 2 { r[ ] - r[ } 2 1 k rr k rr ( )2 1 I r ( )=16 2 2 2 I) ( 0r- r2 1 ( ) 当 r一定 , r? r时 , 式 16中分子 、分母均趋于零 , 以 r为变量 , 根据洛比达法则 2 1 2 1 ( ( )) 2 J k rr 2 J k rr d 1 2 1 1 2 2 2 { r[ ] - r[ } 2 1 d rk rr k rr ( )12 1 I r 2() ( ) = J k r r] 17 = lim 0 2 2 2 2 r?r I ( ) d [ r- r]0 1 22 1 d r 1 西北建筑工程学院学报 1998 年 78 212 一般情形 6 由贝塞尔函数的递推公式 ( )( ) ( )( )J x = 0 18 - 2 nJ x / x + J x n +1 n n - 1 () 式 14化为2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( )( ( ) ( ( ) ) I r= { r[ J k rr + J k rr] - r[ J k rr+ J k rr} I/ r- r2 2 2 0 2 1 2 1 0 1 0 2 1 ( ) 19 () ( ) ( ) 点源几何象p = q = 0 处 , r = 0 , 因 J 0= 1 , J 0= 0 , 故 I在图样中心 = I为中央 0 2 0 极大 , 是一亮斑. 当 r 满足2 2 ( ( ) ) ( )r[ 2 J k rr/ k rr ] - r[ 2 J k rr/ k rr ] = 0 , r ?0 2 1 2 2 1 1 1 1 即 r 满足 ( ) ( ) ( ) ( )20 rJ k rr- rJ k rr= 0 , r ?0时 2 1 2 1 1 1 ) ( ) ( 强度 I r= 0 为极小 零点. 次极大的位置由方程 ( ) d I r/ d r = 0 的 r 值来确定 , 即由下式 2 2 ( ) ( ) ( )rJ k rr- rJ k rr= 0 21 2 2 2 1 2 1 的根来确定. 衍射图样是在中央主极大周围 , 一系列 共 轴 的 明 暗 相 同 的 同 心 圆 环. 原 则 上 根 据 式() () 20,式 21可求解任一环孔的零点及各极大值的位置 ,并进一步确定各次极大与主极大强 度的相对值 I / I . 作为例子 , 讨论 r一定 , r= r/ 2 的情况. 0 2 1 2 213 r= 2 r时的衍射图样 2 1 ( ) 当 r= 2 r时 , 式 20化为 2 1 ( ) ( ) ( )( )2 J 2 k rr- J k rr= 0 , r ?0 22 1 1 1 1 [ 7 ] ( ) 取 k rr = 2 k rr 为某值 , 查贝塞尔函数表, 对式 223 个极小位 试探求根 , 得最近的 2 1 ( ) 置为 k rr = 2 k rr = 3 . 144 , 7 . 183 , 10 . 965 表 1. 其它 k rr 取值求根过程略.2 1 2 表 1r= 2 r时的极小值试探求根 1 1 ( ( ( ( ) ) ) ) k rr J k rrJ k rr2 J k rr- J k rr 备注2 1 2 1 1 1 2 1 1 3 . 14 + 0 . 285 2 + 0 . 566 7 + 0 . 003 7 可取 k rr = 3 . 144 2 3115 + 0 . 281 3 + 0 . 567 3 - 0 . 004 7 7 . 18 + 0 . 048 6 + 0 . 099 6 - 0 . 002 4 可取 k rr = 7 . 183 2 7 . 19 + 0 . 051 4 + 0 . 097 6 + 0 . 005 3 10 . 96 - 0 . 170 4 - 0 . 342 5 + 0 . 001 7 可取 k rr = 10 . 965 2 10 . 97 - 0 . 172 0 - 0 . 342 3 - 0 . 001 8 ( ) 当 r= 2 r时 , 式 21化为 2 1 ( )4 J 2 k rr ( ) ( )23 2 1 - J k rr= 0 2 1 () () 由式 18,式 23化为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )24 [ 4 J 2 k rr- 2 J k rr/ k rr - 4 J 2 k rr- J k rr] = 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 ( ) 同理 ,取 k rr = 2 k rr 为某值 , 查贝塞尔函数表 , 对式 24试探求根 , 得最近的 3 个极大位 2 1 置为 k rr = 2 k rr = 4 . 823 , 8 . 672 , 11 . 872 . 其它 k rr 取值试探求根过程略 , 只把 3 个次极 2 1 2 大位置附近试探求根列入表 2 . 表 2= 2 r时的极大值试探求根 r 1 2 ( ) 4 J k rr- 2 2 ( ( ( ( ))))k rr k rr J k rr J k rr J k rr J 备注 2 1 2 1 1 0 2 0 1 ( )J k rr 2 1 - - 4 . 82 - 0 . 302 0 + 0 . 518 0 . 234 4 . 002 7 + 0 . 003 8 0 0 可取 k rr = 4 . 823 2 4 . 83 - 0 . 303 7 + 0 . 516 9 - 0 . 231 4 - 0 . 005 3 - 0 . 010 8 8 . 67 + 0 . 270 9 - - 0 . 004 4 - 0 . 354 8 - 0 . 002 8 0 . 183 0 可取 k rr = 8 . 672 2 8 . 68 + 0 . 270 5 - 0 . 184 5 + 0 . 008 8 0 . 007 1 0 . 253 9 - - 11 . 87 - 0 . 230 2 - 0 . 289 0 + 0 . 018 2 + 0 . 132 5 + 0 . 001 7 可取 k rr = 11 . 872 2 11 . 88 - 0 . 229 8 0 . 288 1 - 0 . 006 0 - + 0 . 020 5 + 0 . 133 7 2 . 4 r= 0 , r= 2 r, r? r三种情形的比较 12 1 12 ( ) 当 r= 0 时 , 由式 15得 1 2( ) ( ) ( ) ( )I r/ I = | 2 J k rr/ k rr| 25 0 1 2 2 ( ) 当 r= 2 r时 , 由式 14得2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )I r/ I = 4/ 3 k rr][ 2 J k rr- J k rr/ 2] 26 0 2 1 2 1 2 2( ( ) ) 当 r? r时 , I r/ I ?| J k rr| 1 2 0 0 2 ( ) ( ) ( ) 由式 25, 26, 17可计算出 3 种情况对应任一 k rr 取值的衍射强度的相对分布. 作 2 为比较 , 表 3 列出了 3 种情况前 3 个零点和次极大的位置及衍射强度的相对分布. 由表 3 可 见 , 当 r一定 , r由零逐渐增大时 , 第一暗环的位置越来越趋于中心 , 因此遮住孔的中心部 2 1 分时 , 分辨本领将得到提高. 但同时次极大变得越来越显著 , 而且象的亮度将要下降 , 以致反 差降低. 表 3r= 0 , r= 2 r, r? r时的极值位置和强度分布比较 1 2 1 1 2 k rr 2 0 . 000 3 . 833 5 . 136 7 . 016 8 . 417 10 . 174 11 . 620 r= 0 1 I/ I1 . 000 0 . 000 0 . 017 0 . 000 0 . 004 0 . 000 0 . 002 0 k rr 2 0 . 000 3 . 144 4 . 823 7 . 183 8 . 672 10 . 965 11 . 872 r= 2 r 2 1 I/ I1 . 000 0 . 000 0 . 096 0 . 000 0 . 012 0 . 000 0 . 004 0 k rr 2 0 . 000 2 . 405 3 . 833 5 . 520 7 . 016 8 . 654 10 . 174 r? r 1 2 I/ I1 . 000 0 . 000 0 . 162 0 . 000 0 . 090 0 . 000 0 . 062 0 参 考 文 献 1 Born M , Wolf E. Principles of Op tics. Oxford : Pergamo n Press ,1975 . 612 2 Snedden N . Fourier Transforms . New Yor k : Mc Graw Hill , 1951 . 2544 Wat so n G N . A Treatise o n t he Theory of Bessel Functio ns. Cambridge : Cambridge U niversity Press ,1922 . 3 20 J ahnke E , Emde F. Loc ,cit . 145 4 Airy G B . Trans Camb Phil Soc ,5 :283 5 梁昆淼 . 数学物理方法 1 北京 :人民教育出版社 ,1978 . 366 6 数学手册编写组 1 数学手册 . 北京 :人民教育出版社 ,197911 326,1 333 7 西北建筑工程学院学报 1998 年 80 Discuss About the Fra un hof er Ring Aperture Diff ract ion Zhao Xiping ()Depart ment of p hysics , J inan U niversity , J inan L i Yongping ()Dean’s office ,Dezhou Instit ute of Educatio n ,Dezhou Abstract :Diff racto n integral equatio ns and Bessel Functio ns are used to get perfect solutio n of Fraunhofer ring apert ure diff ractio n , and t he diff ractio n pat ter n is analysed. Key words :Bessel f unctio n , Fraunhofer diff ractio n ; diff ractio n ingral ; diff racto n pat ter n ()上接第 70 页 Several Problems of Wavelet on Image Processing Wang L ing ()Dep t . of Co mp uter Science ,Sichuan Normal U niv. Ying Yirong ()Dep t . of Basic Science , N W. Inst . of Arch. Eng. Abstract :On image p rocessing of wavelet t ransf ro m , t he co ding effect will be of great in2 fluence wit h t he differences of selectio n wavelet basis. So me impo rtant p roperties of wavelet o n image p rocessing are discussed . It is help to cho se t he bet ter wavelet basis wit h co nsidering t hese p roperties. In t he end , several so rt s of wavelet s wit h bet ter p roperties are given , and it needs mo re researched. Key words :pict ure co ding ; image p rocessing ; wavelet t ransfo r m ; bio rt hogo nal wavelet bases ; co ding gain ; wavelet of several scaling f unctio ns