第四章 抽样分布与参数估计
7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
(1)假定总体
标准
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差为15元，求样本均值的抽样标准误差。
=2.143
(2)在95％的置信水平下，求边际误差。
，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=
因此，
=1.96×2.143=4.2
(3)如果样本均值为120元，求总体均值 的95％的置信区间。
置信区间为：
=
=（115.8，124.2）
7.4 从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到
=81，s=12。
要求
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：
大样本，样本均值服从正态分布：
或
置信区间为：
，
=
=1.2
(1)构建
的90％的置信区间。
=
=1.645，置信区间为：
=（79.03，82.97）
(2)构建
的95％的置信区间。
=
=1.96，置信区间为：
=（78.65，83.35）
(3)构建
的99％的置信区间。
=
=2.576，置信区间为：
=（77.91，84.09）
7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)：
3.3
3.1
6.2
5.8
2.3
4.1
5.4
4.5
3.2
4.4
2.0
5.4
2.6
6.4
1.8
3.5
5.7
2.3
2.1
1.9
1.2
5.1
4.3
4.2
3.6
0.8
1.5
4.7
1.4
1.2
2.9
3.5
2.4
0.5
3.6
2.5
求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90％，95％和99％。
解：
（1）样本均值
=3.32，样本标准差s=1.61；
（2）抽样平均误差：
重复抽样：
=
=1.61/6=0.268
不重复抽样：
=
=
=0.268×
=0.268×0.998=0.267
（3）置信水平下的概率度：
=0.9，t=
=
=1.645
=0.95，t=
=
=1.96
=0.99，t=
=
=2.576
（4）边际误差（极限误差）：
=0.9，
=
重复抽样：
=
=1.645×0.268=0.441
不重复抽样：
=
=1.645×0.267=0.439
=0.95，
=
重复抽样：
=
=1.96×0.268=0.525
不重复抽样：
=
=1.96×0.267=0.523
=0.99，
=
重复抽样：
=
=2.576×0.268=0.69
不重复抽样：
=
=2.576×0.267=0.688
（5）置信区间：
=0.9，
重复抽样：
=
=（2.88，3.76）
不重复抽样：
=
=（2.88，3.76）
=0.95，
重复抽样：
=
=（2.79，3.85）
不重复抽样：
=
=（2.80，3.84）
=0.99，
重复抽样：
=
=（2.63，4.01）
不重复抽样：
=
=（2.63，4.01）
7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离(单位：km)分别是：
10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2
假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95％的置信区间。
解：小样本，总体方差未知，用t统计量
均值=9.375，样本标准差s=4.11
置信区间：
=0.95，n=16，
=
=2.13
=
=（7.18，11.57）
7．11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为l00g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量(单位：g)如下：
每包重量（g）
包数
96~98
98~100
100~102
102~104
104~106
2
3
34
7
4
合计
50
已知食品包重量服从正态分布，要求：
(1)确定该种食品平均重量的95％的置信区间。
解：大样本，总体方差未知，用z统计量
样本均值=101.4，样本标准差s=1.829
置信区间：
=0.95，
=
=1.96
=
=（100.89，101.91）
(2)如果规定食品重量低于l00g属于不合格，确定该批食品合格率的95％的置信区间。
解：总体比率的估计
大样本，总体方差未知，用z统计量
样本比率=（50-5）/50=0.9
置信区间：
=0.95，
=
=1.96
=
=（0.8168，0.9832）
7．13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工。得到他们每周加班的时间数据如下(单位：小时)：
6
3
21
8
17
12
20
11
7
9
0
21
8
25
16
15
29
16
假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。
解：小样本，总体方差未知，用t统计量
均值=13.56，样本标准差s=7.801
置信区间：
=0.90，n=18，
=
=1.7369
=
=（10.36，16.75）
7．15 在一项家电市场调查中．随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23％。求总体比例的置信区间，置信水平分别为90%和95%。
解：总体比率的估计
大样本，总体方差未知，用z统计量
样本比率=0.23
置信区间：
=0.90，
=
=1.645
=
=（0.1811，0.2789）
=0.95，
=
=1.96
=
=（0.1717，0.2883）
7．20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位：分钟)如下：
方式1
6.5
6.6
6.7
6.8
7.1
7.3
7.4
7.7
7.7
7.7
方式2
4.2
5.4
5.8
6.2
6.7
7.7
7.7
8.5
9.3
10
要求：
(1)构建第一种排队方式等待时间标准差的95％的置信区间。
解：估计统计量
经计算得样本标准差
=0.2272
置信区间：
=0.95，n=10，
=
=19.02，
=
=2.7
=
=（0.1075，0.7574）
因此，标准差的置信区间为（0.3279，0.8703）
(2)构建第二种排队方式等待时间标准差的95％的置信区间。
解：估计统计量
经计算得样本标准差
=3.318
置信区间：
=0.95，n=10，
=
=19.02，
=
=2.7
=
=（1.57，11.06）
因此，标准差的置信区间为（1.25，3.33）
(3)根据(1)和(2)的结果，你认为哪种排队方式更好?
第一种方式好，标准差小！
7．23 下表是由4对观察值组成的随机样本。
配对号
来自总体A的样本
来自总体B的样本
1
2
3
4
2
5
10
8
0
7
6
5
(1)计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算
和
。
=1.75，
=2.62996
(2)设
分别为总体A和总体B的均值，构造
的95％的置信区间。
解：小样本，配对样本，总体方差未知，用t统计量
均值=1.75，样本标准差s=2.62996
置信区间：
=0.95，n=4，
=
=3.182
=
=（-2.43，5.93）
7．25 从两个总体中各抽取一个
＝250的独立随机样本，来自总体1的样本比例为
＝40％，来自总体2的样本比例为
＝30％。要求：
(1)构造
的90％的置信区间。
(2)构造
的95％的置信区间。
解：总体比率差的估计
大样本，总体方差未知，用z统计量
样本比率p1=0.4，p2=0.3
置信区间：
=0.90，
=
=1.645
=
=（3.02%，16.98%）
=0.95，
=
=1.96
=
=（1.68%，18.32%）
7.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对序进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量(单位：g)的数据：
机器1
机器2
3.45
3.22
3.9
3.22
3.28
3.35
3.2
2.98
3.7
3.38
3.19
3.3
3.22
3.75
3.28
3.3
3.2
3.05
3.5
3.38
3.35
3.3
3.29
3.33
2.95
3.45
3.2
3.34
3.35
3.27
3.16
3.48
3.12
3.28
3.16
3.28
3.2
3.18
3.25
3.3
3.34
3.25
要求：构造两个总体方差比
/
的95％的置信区间。
解：统计量：
置信区间：
=0.058，
=0.006
n1=n2=21
=0.95，
=
=2.4645，
=
=
=
=0.4058
=（4.05，24.6）
7．27 根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2％。如果要求95％的置信区间，若要求边际误差不超过4％，应抽取多大的样本?
解：
=0.95，
=
=1.96
=
=47.06，取n=48或者50。
7．28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95％的置信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本?
解：
，
=0.95，
=
=1.96，
=138.3，取n=139或者140，或者150。
7．29 假定两个总体的标准差分别为：
，
，若要求误差范围不超过5，相应的置信水平为95％，假定
，估计两个总体均值之差
时所需的样本量为多大?
解：n1=n2=
，
=0.95，
=
=1.96，
n1=n2=
=
=56.7，取n=58，或者60。
7．30 假定
，边际误差E＝0．05，相应的置信水平为95％，估计两个总体比例之差
时所需的样本量为多大?
解：n1=n2=
，
=0.95，
=
=1.96，取p1=p2=0.5，
n1=n2=
=
=768.3，取n=769，或者780或800。
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