泛函分析试题B评分标准

泛函 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 试题B评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ptu期末考试试卷参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 及评分标准 2010—2011学年 第 1学期 (B)卷 课程名称: 泛函分析 适用年级/专业 07数学 试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科 考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》 (((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) lim(,)0dxx,xX,1、 如果存在，使 n,,n 2、 是X上连续泛函 f xX,TY3、 对所有，有Txx,成立，且是映射到上的 122 4、xyxyxy,,，,,，，4 ffn,,,,0()5、 存在 fX,'n 二、计算题(20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, p,,,,,plxRi(,,),,(1,2)LL,,,,答:(1),,,,,,, ,,,12ii1,i,,,, x,(,,,),,,LLy,(,,),,,LL(2)对于任意，，定义运算 12n12n xy，,，，，(,),,,,,,Laxaaa,(,),,,L， 1122nn12n pl按上述加法与数乘运算成为线性空间 1,p,,px,(3), ,i,,p,,,i1 pl按上述定义的范数构为Banach空间 ………….6分 试卷第 1 页 共 5 页 nen,,(0,01,0),1,2LLL， 令xxe,,(,,0,0,),,,,,LLn,12nnniin,1i 'ppxx,lim则,,,xl(,),,,LL能被 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为，对任意给定， fl,，，n12nn,,n nn 令则. fen(),1,2,,,Lfxfxfxfe()(lim)lim()lim(),,,,,,,,,nnnniiii,,,,,,nnn11,,ii 1,q,,q若则所以不等式自然成立， ,,,0,1,2,,kL,ff,0,,,ki,,,,,i1 ()()()nnn若则不全为0，对任何自然数，令其中 ,x,,,,,,,,Lnf,0,，，kn123 q,,,,/,,0kn,,,()nkkk ,,,30,,0kn,,或,,k, nnqp()n显然因为，另一方面又有 xl,,fx(),,,,,,,niiin,,11ii 11,,ppp,,,,qn() fxfxff(),,,,,,,,nnii,,,,,,,,ii,,11 1,p,,q因为不全为0，所以当足够大时，在上面不等式两边同除以,,0,n,,ki,,i,,,111,,pq,,,,qq，得到。 ,,f,,,ii,,,,i,1,,,,,i1 q因此。 ………….7分 (,),,,LL,l12n pql反之，对，作上泛函如下: fx(),,,bl(,),,,LL12n npp&&Holderl，显然是上线性泛函，并且由不等式，ffxxl(),(,),,,,,,,,,LL,12iin,1i 11,,,,pq,,,,pqfxbx(),,,,,,,可得 ,,,,,,,,iiiiii,,,,qpiiii,,,,,,,,1111 p'pq'fb,,sup.,因此，并且有综上 …………7分 fl,(),().ll,iqi 试卷第 2 页 共 5 页 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), 11pq证:Holder不等式:设则 pxlyl,，,,,,,,,,,,,LLLL1,1,(,),(,),1212nnpq 11,,,pq,,,,pq1 zl(,),,,,,,,,,,,LL且满足不等式,,,,,,nniiii1122,,,,iii,,,,,,,111 11ABpqAB及由于对任何正数，有不等式成立。 …………………………….4分 AB,，pq 11,,pq,,,,pq当，命题显然成立; ,,00或,,,,ii,,,,ii,,,,,,11 11,,pq,,,,pq当，记 ,,00且,,,,ii,,,,ii,,,,,,11 ,,，，，，ii ,,,.,,,,，，，，ii11,,pq,,,,pq,,,,ii,,,,,,11ii,,,, pq,,,,，，，，pqii,，令可得即 AB,,,,,,,,,,,,，，，，，，，，iiiipq pq,,,,,,,，，，，ii,， ,,,,，，，，,,,iipqiii111,,, 11,,,pq,,,,pq1zl,,(,),,,,,,LL因此,,,,成立，。 ,nn,,,1122iiii,,,,,,,,,,,iii111 ………….8分 ,,MXMM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 ,,,,,,xM,MM,MM,证:由正交补的定义，易证，只要证明即可。设， ,,,由投影定理，存在 ……………7分 yMMzMxyz,,,,,及使,. 试卷第 3 页 共 5 页 ,,,,,,因为，并且是线性空间，所以，因此 xM,MxyM,, ,,,命题得证。 ……………………8分 zxyMMzxyM,,,,,,,,0,0,.即所以,, 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX spanxX,,证: 由于Hilbert空间是可分的，则存在有限或可数个向量 使 Xx,,,,,ii 不妨设为中的线性无关子集，否则可取中的线性无关子集。 ………….5分 Xxx,,,,ii 由Gram-Schmidt正交化，存在有限或可数的规范正交系，使对任何自然数 成立en,,,i 所以由张成的线性空间包含，因此spaneespanxx,,,LL,ex,,,,,,,,11nnii spanespanxX,,,X 即e是中完全规范正交系 ………….9分 ,,,,,,iii XX4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 ,,,,XXX证:若是Banach空间，则存在一个从到的自然的等距同构映射 若JXX:，,X ,,,X 则称是自反的。其中是这样定义的，若 为方JXX()，,JxXfXJxffx,,,,,()()().XX ,,,,,,XXXX便起见，记到的自然的等距同构映射 到的自然的等距同构映射 J，J.01 ,,,,,,要证明JXX()=的充要条件为JXX()=。 01 ,,,,,,FX,若JXX()=，对任意，定义fXxXfxFJx,,,:,()(()).若对任意00 ,,xXJfJxJxffxFJxJXX,,,,,,()()()()()().()因JfF().,，因此这就证明，，，，，，100001,,,,JXX()=了。 ……………………7分 1 ,,,,,,,,,F在FX,F,1.JXX()=JXX(),JX()反之，若，而。则存在，使上恒为零，而100,,,,,JXXfXJfF()=,,.必有使,()=但 11 xX,fxJxfJfJxFJx()()()()()()0,,,,,对任意，这样f,0.但，，，，，，0100 ,,JfF()=,1,JXX()=矛盾，因此必有。 ……………………5分 10 试卷第 4 页 共 5 页 ,,空间的定义，并证明空间是不可分的。 5、(12分)叙述ll ,,证:表示有界实数列全体，对中任意两点， xy,,(,),(,),,,,,,LLLLll1212nn ,定义，易证按成为度量空间 ………………….4分 ldxy(,)sup,,,,dxy(,)iii ,令表示中坐标取值为0或1的点全体，则与二进位小数一一对x,(,),,,LLMMl,12ni ,,应，所以的基数为。对中任意两个不同的点如果可分，则中存在MMllcxydxy,,(,)1,有, 11,,可数稠密子集，设为，对M中每一点，作球是一族两两不相yxUxUxxM(,),(,)|则,,,,,i33,, 1,交的球，总数有不可数个。但由于在中稠密，所以每个中至少含有中一点，这yUx(,)yl,,,,ii3 与y是可数集矛盾。 …………………….8分 ,,i 试卷第 5 页 共 5 页