柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数模型

柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数模型 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型 齐微 辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新 (123000) E-mail: qiwei1119@163.com 摘 要:柯布-道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数.本 文对大量的生产数据进行处理，建立多项式拟合模型和线性规划模型对数据进行处理完成问 题，对生产数据分析我们建立了多项式拟合，通过误差分析，多项式拟合模型是完全符合数 据的.但通过使用线性回归方法求得的柯布-道格拉斯生产函数，通过对其进行误差分析我们 知道柯布-道格拉斯生产函数与原始数据的误差比多项式拟合模型下的误差小的多. 关键词:柯布-道格拉斯生产函数;多项式拟合;线性回归 柯布- 道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb) 和经济学家道格拉斯 (P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作 了改进，引入了技术资源这一因素.他们根据有关历史资料，研究了从 1899,1922 年美国的 资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本 的关系可以表示为: α βY = AK L 其中: Y —— 产量; A —— 技术水平; K —— 投入的资本量; L —— 投入的劳动量; , β —— K 和 L 的产出弹性. α 经济学中著名的柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数的一般形式为 α β Q(K , L) = aK L, 0 < α , β < 1(1-1) 其中 Q, K , L 分别表示产值、资金、劳动力，式中α , β , a 要由经济统计数据确定.现有 《中国统计年鉴(2003)》给出的统计数据如表(其中总产值取自“国内生产总值”，资金 [3]取自“固定资产投资”，劳动力取自“就业人员”). 问题 1:运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并做出模型的分析与 检验. 问题 2:建立 Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数α , β 的解释. 问题 3:将几个模型做出比较与分析. 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 表 0-1 经济统计数据 年份总产值/万亿元资金/万亿元劳动力/亿人 1984 0.7171 0.0910 4.8179 1985 0.8964 0.2543 4.9873 1986 1.0202 0.3121 5.1282 1987 1.1962 0.3792 5.2783 1988 1.4928 0.4754 5.4334 1989 1.6909 0.4410 5.5329 1990 1.8548 0.4517 6.4749 1991 2.1618 0.5595 6.5491 1992 2.6638 0.8080 6.6152 1993 3.4634 1.3072 6.6808 1994 4.6759 1.7042 6.7455 1995 5.8478 2.0019 6.8065 1996 6.7885 2.2914 6.8950 1997 7.4463 2.4941 6.9820 1998 7.8345 2.8406 7.0637 1999 8.2068 2.9854 7.1394 2000 9.9468 3.2918 7.2085 2001 9.7315 3.7314 7.3025 2002 10.4791 4.3500 7.3740 1.问题一求解 1.1 模型建立 假设:有 Q(t ), K (t ), L(t ) 分别表示产值，资金和劳动力，并假设 Q(t )仅与 K (t ), L(t ) 有 [1] 关.. 由表 0-1 中的数据拟合出 Q(t ), K (t ), L(t ) 的关系:用 Matlab 画出表 1-1 中数据的关系图， 应用 Matlab 中的 plot 画出图形如图 1-1. 图 1-1 产值、资金和劳动力数据关系图 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 由图 1-1 可知:选定 Q(t ) 看作是 K (t ) + L(t ) 的一元多项式的优化模型.从而建立模型 Q(t ) = G(K (t ) + L(t )) . 1.2 模型的求解 数据之间拟合误差如表 1-1. 通过 Matlab 计算出 Q(t )和 K (t ) + L(t ) 表 1-1 数据拟合次数误差 1 2 3 4 5 6 拟合次数 3.0313 2.4294 1.5141 1.2366 1.0898 1.0887 误差 由上表得知五次拟合和六次拟合误差已经达到很接近，和四次拟合误差相差很大，所以本文选择五次拟合来求解模型 Q(t ) = G(K (t ) + L(t )) . 中的 plotfit 来五次拟合数据求解模型并用 rcoplot 来误差分析. 本文选用的是 Matlab 得到的拟合多项式系数 p 如表 1-2. 表 1-2 多项式系数 5 4 3 2 1 0 多项式次数 0.0062 -0.2711 4.6074 -37.6090 148.3464 -226.4984 相应系数 这样就知道了模型多项式为: 5 4 3 Q = 0.0062 + 4.6074 × K t + L t ? 0.2711× K t + L t × K t + L t () ()() ()() ()( )( )( )(1-1) 2 ? 37.6090 × K t + L t + 148.3464 × K t + L t ? 226.4984 () ()() ()( )( ) 多项式模型下，新的产值预测值如表 1-3. 表 1-3 多项式模型的产值预测值 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 年份 0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773 预测值 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 年份 4.7428 5.6358 6.5850 7.2859 8.2304 8.6585 9.2790 9.9208 10.4620 预测值 程序运行所得到的残差图如图 1-2. 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 图 1-2 模型数据的残差图 由图 1-2 可以看到除了第十七个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近.继而得出 模型: 5 4 Q = 0.0062 × K t + L t ? 0.2711× K t + L t + 4.6074 × () ()() ()( )( ) 3 2 K t + L t ? 37.6090 × K t + L t + 148.3464 × (1-2) () ()() ()( )( ) K t + L t ? 226.4984 () ()( ) 1.3 模型的误差分析 本文在假设的前提下，确定 K (t ), L(t )与Q(t ) 的关系，即 Q(t ) 可看作是 K (t ) + L(t ) 的 一元多项式，从而本文做分析得到，做五次的多项式拟合达到最佳拟合.能从 S 的值知道拟 合误差， S 中有 R 类似于回归中的判别系数、df自由度、normr拟合算法中用到的范德孟系 数.本文通过预测值Y 值可以看到和原始值 y 存在着误差，但是这些误差都是在可接受范围 [2]之内的误差. 2 问题二的线性回归模型 2.1 模型的建立 本文假设的是在α + β = 1 的情况下，用 Q(t ) ， K (t ) ， L(t) 分别表示某一地区或部门 在时刻 t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作 Q(t) = F (K (t ), L(t )) (2-1) 其中 F 为待定函数.对于固定的时刻 t ，上述关系可写作 Q = F (K , L) (2-2) 为寻找 F 的函数形式，引入记号 (2-3) z = QL ， y = K L z 是每个劳动力的产值， y 是每个劳动力的投资.如下的假设是合理的: z 随着 y 的增 加而增长，但增长速度递减.进而简化地把这个假设表示为 α z = ag ( y) ， g ( y) = y， 0 < α < 1 (2-4) 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 显然函数 g ( y) 满足上面的假设，常数 a > 0 可看成技术的作用.由(2-3)，(2-4)即可得到 (2-2)式中 F 的具体形式为 α 1?α Q = aK L， 0 < α < 1 (2-5) 由(2-5)式容易知道 Q 有如下性质 2 2 Q ?Q ?Q ?Q ? (2-6)< 0, > 0 ， , 22?K ?L ?K ?L ?Q?Q 记 Q= ， Q表示单位资金创造的产值; Q= ， Q表示单位劳动力创造的KK L L ?L ?L 产值，则从(2-5)式可得 KQ LQKL = 1 ? α ， KQ + LQ= Q (2-7) = α ， KL QQ (2-7)式可解释为:α 是资金在产值中占有的份额，1 ? α 是劳动力在产值中占有的份额. 于是α 的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系. 2.2 模型的求解 α 1?α 本文求解得出 Q = aK L中的 b(1) 和α 值为:0.7784 和 0.7833，这样能求得 a 的值 为:2.1780， β 的值为:1-0.7833，即为:0.2167. 这样得到模型如下: 0.7833 0.2167Q(t ) = 2.1780 × K (t )L(t ) (2-8) 利用以上模型求解出一组新的预测值如表 2-1. 表 2-1 多项式模型的产值预测值 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 年份 0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773 预测 值 年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 4.7428 5.6358 6.5850 7.2859 8.2304 8.6585 9.2790 9.9208 10.4620 预测 值 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 程序运行所得的残差图如图 2-1 所示: 图 2-1 模型数据残差图 由图 2-1 可以看到除了第一个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近，这样可以得 到线性回归模型是符合题目的.继而模型可得: 0.7833 0.2167Q t = 2.1780 × K t L t (2-9) () ()() 程序计算得到的 r 和 rint 值见表 2-2. 表 2-2 r 和 rint 值 r rint 0.4259 0.2705 0.5814 -0.1634 -0.4602 0.1334 -0.2005 -0.4950 0.0940 -0.2001 -0.4979 0.0976 -0.1620 -0.4691 0.1451 0.0175 -0.2999 0.3349 0.0572 -0.2568 0.3712 0.0402 -0.2775 0.3580 -0.0410 -0.3620 0.2799 -0.1575 -0.4687 0.1537 -0.0672 -0.3857 0.2513 0.0284 -0.2901 0.3469 0.0690 -0.2462 0.3841 0.0923 -0.2200 0.4047 0.0387 -0.2747 0.3521 0.0439 -0.2686 0.3564 0.1576 -0.1427 0.4578 0.0347 -0.2737 0.3431 -0.0136 -0.3188 0.2917 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 2.3 模型α 和 β 的解释 通过对柯布-道格拉斯生产函数传递变形后，进行求解得出 , β 的值，同样也进行预测 α 数据和原始数据比较.从图上可以知道模型中参数 , β 的解释:α 是劳动力产出的弹性系 α 数， β 是资本产出的弹性系数，从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投 入的劳动力数、固定资产和综合技术水平(包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术 等).根据α 和 β 的组合情况，它有三种类型:?α + β > 1 称为递增报酬型，表明按现有 技术用扩大生产规模来增加产出是有利的.?α + β < 1 称为递减报酬型，表明按现有技术用 扩大生产规模来增加产出是得不偿失的.?α + β = 1 称为不变报酬型，表明生产效率并不会 随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益. 3 问题三:模型比较分析 模型一是通过假设后进行拟合得到模型关系式，模型二是通过变形后线性回归运算得到 模型.他们与实际之间都存在误差. 五次多项式拟合模型的数据误差数是:1.0898. 线性回归模型数据误差: r =[0.4259 -0.1634 -0.2005 -0.2001 -0.1620 0.0175 0.0572 0.0402 -0.0410 -0.1575 -0.0672 0.0284 0.0690 0.0923 0.0387 0.0439 0.1576 0.0347 -0.0136]; m=sum(r) 得到这个模型的误差数:m=1.0000e-004. 可以看出 1.0000e-004<1.0898,很明显柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数比假设的 多项式拟合函数更接近实际数据，更加准确. 在生产产值上的预测，柯布- 道格拉斯 [4](Cobb-Douglas)生产函数预测的结果近似就是准确生产值. 4 评价和结论 4.1 模型缺点 一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.只有明确一定历史阶段的社 会生产力特征才能构造出最能反映当时生产力发展水平的生产函数.在工业时代，生产力水 平是以单位量的资本和劳动力的投入所能获得的产成品的数量来衡量的.也就是说工业时代 的生产力是以产量、能耗、劳动生产率等针对物质、能量的生产和利用等概念构成的.而对 工业时代生产力水平的衡量是以投入产出的数量为依据的，表现在: (1)工业时代的生产是在一个较为稳定的生产技术条件下形成的，是针对某一生产和 MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713901275037_0都很成熟的产品进行物质性生产. (2)工业时代衡量生产技术水平的标志是在一定的时间范围内，单位量的资本和劳动 力的投人所能获得的产成品的数量. (3)工业时代的生产力水平体现为以某一生产技术组织资本和劳动力的投入，从而获 得最接近于该生产技术所能达到的产出极限. 柯布—道格拉斯生产函数正是在工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特 征的函数模型. 当人类进入到信息经济时代，由于信息资源的加入、技术的不断进步，导致生产力发展 的特征和性能发生了变化，信息时代的经济发展特征是以性能、质量、产品的差异性组合， 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 客户服务和信息管理等为主要竞争手段的.这样也就决定了信息时代这种以非物质，非能量的信息经济的生产力的概念与工业时代截然不同. 如果仍然以工业时代测算生产力的方法去考察信息时代中信息技术对生产力的作用的 话，肯定无法对其做出准确的判断.同样，原有的柯布——道格拉斯生产函数已经不能再适 应新的经济发展形态，在工业时代用以衡量生产力水平的产量，资本投入量和劳动力投入量 已经不能完全适应信息时代的生产力发展水平了;在信息经济时代，所投入的生产要素的核 心成分从资本、劳动力逐渐转变为以信息技术为代表的高新技术.当信息资源应用于生产中 、 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 等形成革命性的影响作用，极大地提高了生产要素生产率，促 时，对生产人员、资本 进了经济发展.综合上述原因，需要对柯布——道格拉斯生产函数做出了一定的修正，使之 适用于信息时代的生产力发展水平. 4.2 模型改进 4.2.1 对投入量的计量 对投入的计量应包含: 信息技术设备的资本投入，如电脑、数控设 备、信息化管理设备、网络设备和其他软件 等等; 信息技术的劳动力投入，如电脑软件编制人员、硬件安装维护人员、信息化管理人 员等 等; 非信息技术设备的资本投入，如传统的工业技术装备、生产设备、厂房等其他在工业时 代类似的资本投入; 非信息技术的劳动力投入，比如生产线上的操作工、一般管理人员等，这里需要指出的 是“非信息技术的劳动力”既包括一般意义上的蓝领工人，也包括其他一些白领管理人员. 4.2.2 对产出量的计量 对产出量的计量则不应仅包含单位生产成品数量，而是应该考虑到 生产者的盈利水平 是否提高.因为从工业时代过渡到信息时代，企业的竞争手段已经从“低成本生产”转向了“全方位的优质服务”.这其实也是竞争发展到一定阶段的必然结果.所以，考察信息技术对生产力 具有怎样的影响务必要从一个新的视角出发，不能仅仅衡量其对产成品数量的影响，更应从 信息技术是否对提高整体赢利水平，扩大市场份额和增强竞争实力等方面进行综合考察. 4.2.3 改进后的模型 改进后的柯布—道格拉斯生产函数 的表现形式为: a b c dY = K LK L 0 0 1 1 式中: Y —— 产量; K—— 非信息技术设备的资本投入; 0 L—— 非信息技术的劳动力投入; 0 K—— 信息技术设备的资本投入; 1 L—— 信息技术的劳动力投入; 1 a, b, c, d —— 产出弹性. 此模型较原来的模型增加了信息技术设备的资本投入 K和信息技术的劳动力投入 L， 1 1 使得模型成为更贴近时代的生产模型，改进后的柯布—道格拉斯生产函数Y = KLKLa b c d 0 0 1 1 是 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读 在现代信息工业经济时代构造出的反映了现代信息工业经济时代生产力特征的函数模型.改 进后的柯布—道格拉斯生产函数模型更具有时代特色，适用性更广、更具时代感. 参考文献 [1]唐 焕文,贺明峰.《数学模型引论》[M],北京:教育出版社,2005. [2]雷功 炎.《数学模型讲义》[M],北京:京大学出版社,2002. [3]白其峰.《数 学建模案例分析》[M],京:洋出版社,2000. [4]李庆杨,王能超,易大意. 数值分析》[M],京:华大学出版社,2005. 《 Cobb-Douglas production function model Qiwei College of Science,Liaoning Technology University,Fuxin (123000) Abstract Cobb-Douglas production function used to predict national and regional systems or large industrial enterprises in production and development of the means of production of an economic model, called the production function. In this paper, a large number of production data Process, the establishment of polynomial fitting model and the linear programming model for data processing is complete problems, the production data analysis We have established a polynomial fitting, through error analysis, polynomial fitting model is fully consistent with the data . But through the use of linear regression obtained O'Brien - Douglas production function, through its error analysis we know that O'Brien - Douglas production function with the raw data of error than polynomial fitting model of the small number of errors . Keywords: Cobb-Douglas production function; polynomial fitting; linear regression 如果您需要更多论文可以到网站www.docin.com/week114进行搜索您所需资料后即可免费阅读