[中学]高数小论文-浅谈二重积分

[中学]高数小论文-浅谈二重积分[中学]高数小论文-浅谈二重积分高等数学论文 ——浅谈二重积分听了肖老师整个大一的数学课，让我深刻的感觉到数学的世界是多姿多彩的，数学的语言的优雅完美的;正如老师所说的一样，他的数学课就像是一篇散文。原来，数学还可以这么学。用几个简单的数学方程，在空间中组合成一个个灵动的图形，这便是二重积分，这也是我想和大家一起分享的解题心得。 f(x,y)首先让我们明确定义:有界函数在有界闭区域D上的二重 n f(x,y)d,,f(,,y),,,iiilim,,,,,,0,1ii,D积分为。其中，为(i=1,2,......

[中学]高数小论文-浅谈二重积分高等数学论文 ——浅谈二重积分听了肖老师整个大一的数学课，让我深刻的感觉到数学的世界是多姿多彩的，数学的语言的优雅完美的;正如老师所说的一样，他的数学课就像是一篇散文。原来，数学还可以这么学。用几个简单的数学方程，在空间中组合成一个个灵动的图形，这便是二重积分，这也是我想和大家一起分享的解题心得。 f(x,y)首先让我们明确定义:有界函数在有界闭区域D上的二重 n f(x,y)d,,f(,,y),,,iiilim,,,,,,0,1ii,D积分为。其中，为(i=1,2,...,n)的 f(x,y)d,,,f(x,y),0D直径的最大者，即分割的细度，几何意义:若，则 z,f(x,y)表示以D为底，以为顶的曲顶柱体体积。接着分享一下按区域类型化为二次积分的方法: 第一种:在直角坐标系下，要将原积分化为二次积分，首先需画出积分区域的图形，然后再根据积分区域的类型，化为二次积分。 f(x,y)dxdy,,,D例如其中，D有 x，y,1直线围成。经分析，该区域D是由 x，y,1,x,y,1,x，y,,1,,x，y,1 四条直线共同围成的正方形区域，该区域不是X型积分区域，也不是Y型积分区域，但以x轴或者y轴来分割，可将其划分为两个Y型区域或X型区域，如上图 D,{(x,y)|0,y,1,y,1,x,1,y},1 D,{(x,y)|,1,y,0,,y,1,x,1，y},2 f(x,y)dxdy,f(x,y)dxdy，f(x,y)dxdy,,,,,,DDD12从而 11,y0y，1,dyf(x,y)dx，dyf(x,y)dx,,,,0y,1,1,y,1 二重积分化为二次积分时，不管选择哪一种积分次序，内层和外层的积分都必须上限大于下限，外层的积分限必须是确定的常数，决不能依赖于内层积分限、一般情况下，内层积分的积分限可以依赖于外层积分的积分变量。如果是Y型区域，射线从左向右穿过区域D， x,x(y),11左侧的穿入点满足的曲线方程右侧的穿出点满足的曲线方 x,x(y)22程分别是内层积分的积分下限，积分上限;如果积分区域为X型区域，则按从下向上穿线的方法来寻找内层积分的积分下限与上限。第二种:某些时候，按给定的二次积分次序积分时，无法积分或者积分比较困难时，则可以通过交换积分次序进行积分，一般地，先由给出的二次积分恢复出二重积分的积分区域，然后再按二重积分化为二次积分的方法化为另一次序的二次积分。 1ysinxsinxI,dydx,,0yxx例如二次积分,由于的原函数不能用初等函数表示，故内层积分不可行，必须交换积分次序才能求值，注意到内层积 x,y,x,yy,0,y,1分限分别是,外层积分限是从而积分区域是由直 x,yy,0,y,1,x,y线及抛物线围成，如右图所示: 改成X型积分区域，先对y积分，再对x积分，则 1xxsinI,dxdy2,,0xx 1sinx2,(x,x)dx,0x 1,(sinx,xsinx)dx,0 ,1,sin1 但这里还应该注意，有时候给出的二次积分的积分限不一定是上限大于下限，例如外层积分的上限大于下限，但是内层积分的下限大于上限时，需将得到的二重积分在化为另一个二次积分时， 21y1xxxsinsinI,dydx,dxdy,,,,0y0xxx将内层积分限做一调换，如。通过这一个学期的学习，让我对自己的数学水平有了进一步的提高，对数学的认识有了很大的改观。在以后的学习中我会更加努力，更加认真细致的做好每一步。土木工程学院 1103306 彭新 2012.5.27

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