关于矩阵特征根与特征向量的一个简捷求法

关于矩阵特征根与特征向量的一个简捷求法 关于矩阵特征根与特征向量的一个简捷求 法 第18卷第4插 1999年12月 铝报一 }向重l}l钎4,4筒侄j 浙江海洋学院(自然科学版)i注vI.18N.4 JournalofZhejiangOceanUniversity(NaturalScienceJDec1999 关于矩阵特征根与特征向量的一个简捷求法 ASimpleandDirectMethodaboutMatrix——Featured RootandVector 周雪娟 ZhouXuejuan (舟山广播电视大学.舟山316004) (ZhoushanRadio—TVUniversity,Zhoushan316004) 对于求解矩阵^的特征根与特征向量,一般教材上都是这样求得的:先求出矩阵d的特征根, 然后对每一个特征根^,求解齐次线性方程组r^一JX=0的一个基础解系?,l11…--,则 ^的属于^的全部特征向量是-可-+b可+……+,r其中,:……,是不全为零的任意 数). 在具体地求解的特征根时,先求出行列式lhE—Al的值,然后就求得了的特征根.在求 l旭一l的值时,一般的方法是把lhE—Al化成上三角形行列式ldl,如果把旭一d看成与 lAE—Al相对应的矩阵,则是对hE—d施行三种初等行变换和列变换化成相应的上三角形矩阵 A.在求得了d的特征根^,…,f?为矩阵4的阶)后,再对每一个^i=l,2,……, k),求解齐次线性方程组r^一d/=0的一个基础解系,这就需要对^E—A施行初等行变换, 当把^一A化成了阶梯形或行简化阶梯形矩阵后,也就求得了r九,一4=0的一个基础解系, 则的属于^的特征向量就求得了. 所以,无论是求特征根还是特征向量,都需要对hE—A施行初等行变换.如果特征根无重根. 为n阶矩阵时,则需 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 +1次对形如r旭一AJ的矩阵施行初等行变换化成阶梯形矩阵.那 么,这样去求特征根和特征向量,其计算量是大而繁杂的 本文提出并论证了一个计算矩阵特征根,特征向量的简捷求法,就是直接对带有^参数的矩 阵fhE—Aj施行初等行变换,把它化成上三角形矩阵,因为初等行变换不改变矩阵的特征根.所 以,求^的特征根,就是求A的对角线元素之积等于零的根.求得特征根后,对每一个九直接代人 d中相应的^值,而已经是上三角形矩阵r郎阶梯形矩阵j所以就很容易地得到了对应于^的 特征向量. 这种求法的合理性可由下面定理论证. 收稿日期:I999—09—29 一研一 浙江海洋学院(自然科学版j第18卷 定理设J4是n阶方阵,则 (^)?1 址—A=垂到鲍翅笠短变搀1正t^『 【0(^)』 其中f^j,……,r^,中元都是^的多项式. 证明:设d:l t0n】 考察一 个??O,【2? 行,第2行,???? dI 02''^一口 若=…?….一0则第1列元素就不用化了.若至少有一 元素分别乘以一虬,,……,生,羞,等分别加到第1 十1行,……,第行上去,然后再交换第行与第1行,则: A—A翅笠缸变基 令:. (^) 0 ?一??2 0z(^) 一 . 正() 0(^)…(^) 一n: ^!(^) 一. 正() 其中,f^都是^的多项式c (^)???正()] 再考察c(^)=I……l的第1列元素. 【,(^)??一(^)J 取第l列元素的次数最低的一个非零多项式,不妨设zf^1,再对cf^J施行初等行变 换,可使 第1列的其余元素都化成零多项式或次数低于:f^j的多项式,在这些次数低于』f^j 的^多项 式中,再任取一个次数最低的非零多项式,继续施行初等行变换,由于f^j的次数有 限,一系列的 初等行变换,可使cr^j最终化为 ,=) 同理,经过一系列的初等行变换,,f^J又可化为,(^)=' 』()),直至最后,经过一系 /7,(^)?, 列的初等行变换,旭一A可化为上三角形矩阵.J4(^)=1正(A)} l0…(^)J 显然,f^j,r^,……,f^J,中元素都是^的多项式c 推论l矩阵k的特征根是r^jr^)|l…'(^J=o的根c 一一.一丁一一卜.衙 ?一‰ 一[二=自 第4期周雪娟:关于矩阵特征根与特征向量的一个筒捷求洼 证明:由定理知:AE一_4=歪到笠,丘变拯1正(^)l由定理的证明过程知,初等行变(^) ?, lo(^)J 换只用到变换(I)与变换(3)至多相差一个符号. (^) 故f一Af与f l0 五(A) ??,??? (A) = (A(A)?(^)至多相差一个符号 所以l^E一I:0与(AJ正(^)…fd^)=0是同解方程,故A的特征根是(A)五(Aj一^(^J = 0的根 推论2若^是A的特征根,则是A的对应于A.的特征向量的充要条件是是齐次线 性 方程组^r^=0的非零解 证明:是J4的对应于九的特征向量的充要条件是 是fA./7"一AJX=0的非零解 由定理知:A,A=丕到煎翅笠短变拯(^) 所以,f^一4):0与A(^J 条件是:X是A():0的非零解 (A:)?, f^(^)fl …()J o 0是同解方程组,故是4的对应于九的特征r~Iil的充要 例1求矩:f一43of的特征根与特征向量.l o2j. f^+1一lo1f一10A一21 解特征矩阵^E一4l-一030一J{4+,:jJ一1o^一2]f—lo^一21- + t0^一34A一8}一0—1(A一2)(^+1)I 【0—1(^一2)(A+1)Jl00(A一1):(A一2)】 f一10^一2, 令(^)=J0—1(^一2)(^+1)} loo(^一2)(A—1):) I^E—AI:O,则有fA一1)(A一2):0,故特征根为^:2,::1对于^2,代人中 =.,得 [;]:.,]是一个基础解系,故属于A-::的全部特征向量为fo1J oJ(^?ojc 对于^^==1,代人r=.中,得 [;0]=.,[]为它的一个基础解系, 352浙江海洋学院(自然科学版)第18卷 故属于==-的全部特征向量为 [三]c?. 例z求矩阵一= [::'.?:]的特征根与特征向量. 一 一 [ 解:特征矩阵 f^一1 I—l A=I f—l I—l — lA—l O2一A OO O0 lAE—Al=0, Af1X= 一 1一l ^一l1 1A—l 1l l ^一2 A一A一2 2一A 则有(A l ^一2 A一2 O l ^一2 2一 l\ 『 ^一2 0l A一2J 11 0f ^一2l A+2)(^一2)J 2对于== l.所以,属于2 k,也不全为O)对于=一2,代人ArA)=0,得 基础解系为 4(A) = 2,代人 的特征向量为 a,=-2N@ffNRNk / 献 1丘维声.高等代数讲义.Jtg.:ate,,太学出版杜.1983212,218 2武汉大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 系.线性代数北京:人民教育出版社.1977.104,112.174—180 (一】OO1 llrl 0 r??I AAn_==_ A22一一0O=为,^2系 一一解 一0oo1oo0... , ???????????? ,????????/一 1,,?????????????/ . . o A^ ) O 2= + ^,,????????/ (1OO0 ) 2100O O ? ,????,??????/ } 属文 考 , 一?? , 参 ?... 一O00,,????J , 』001,??,J .00 中1J4O )01O. 4O0 . 00O