含参量反常积分

含参量反常积分 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 第十九章 含参量积分 黔西南民族师专数学 系 ：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分 的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反 常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔 斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与 可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方 面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 设函数定义在无界区域=上，若对内每一个固定的，x,,，，x,ya,x,b,c,y,，,，，,,fx,ya,bR ，, 反常积分都收敛，则它的值定义了上一个的函数，记 x，，fx,ydy,,a,b,c ，, =， （1） x,，，fx,ydy，，,,Ixa,b,c 称（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分. x,,a,b 若含参量的反常积分（1）与函数对任给的正数，总存在某个实数，使,，，IxN,c 得当时，对一切，都有 x,,,a,bM,N M ，，，，fx,ydy,Ix,,,c 即 ，, ，，fx,ydy,,,M 则称含参量的反常积分（1）在上一致收敛于 ,,，，a,bIx 含参量的反常积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总,,,a,b 存在某个实数，使得当时，对一切，都有 x,,,A,A,Ma,bM,c12 A2 ，，，，fx,ydy,Ix,,,1A 证明参量的反常积分 ，,sinxy dy,y0 1 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版下册教案 第十九章 含参量积分 黔西南民族师专数学 系 在上一致收敛（其中），但在上不一致收敛． ,，，，,,，,0,，,,,0 令 u,xy ，,，,sinusinxy= dudy,,uyAxA ，,sinu其中，由于收敛，故对任给的，总存在正数，使当时就du,A,0,,0MA,M,u0 ，,sinu有 du,,,u,A M取，则当时，对一切，有 A,A,,Mx,,,0, ，,sinxy dy,,,yA ，,sinxy所以在上一致收敛． dyx,,,0,y0 ，,sinxy再证在上不一致收敛．按定义只要证明：存在某一正数，使对任何,dy，，0,，,0,y0 实数，总相应地存在某个及某个，使得 ，，,，M,cx,0,，,A,M ，,sinxy dy,,0,yA ，,sinu因收敛，故对任何正数与，总相应地存在某个，使得,du，，M,cx,00,u0 ，,，,sinusinu du,du,,0,,uuMx0 ，,，,，,sinsinuusinu即有 du,,,du,du，,00,,,uuu0Mx0 ，,sinu1令>0,则可得 du,,0,u20 ，,，,，,sinusinusinxy du,du,,,2,,,,,dy,0000,,,uuyMx0M ，,sinxy所以在上不一致收敛． dy，，0,，,,y0 含参量的反常积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递，,,,a,b增数列（其中），函数项级数 ,,AA,cn1An，1,, = ，，fx,ydy，，uxn,,,n,1,n1An在上一致收敛． ,,a,b [必要性]由（1）在上一致收敛，故对任给的正数，必存在，使当,,,a,bM,c 2 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版下册教案 第十九章 含参量积分 黔西南民族师专数学 系 时，对一切总有 x,,,a,b,,,A,A,M ,,A （8） ，，fx,ydy,,,,A 又由，所以对正数，存在正整数，只要时，就有A,，,，，n,,Nm,n,NMn ．由（8）对一切，就有 x,A,A,M,,a,bmn AAm，，11n ，，，，，，，，ux，？，ux,fx,ydy，？，fx,ydy,,nm,,mnAA这就证明了级数(7)在上一致收敛. [充分性]略 M 设有函数，使得，， c,y,，,，，，，fx,y,gx，，gya,x,b，,，, 若收敛，则在上一致收敛． ，，，，gydyfx,ydy,,a,b,,cc N（?）对一切实数，含参量的反常积分 ，，fx,ydyN,c,c 对参量在上一致有界，即存在正数，对一切，及一切，都有xx,,,,,a,ba,bN,cM N ； ，，fx,ydy,M,c （?）对每一个，函数关于是单调递减且当时，对参量，yyxx,,，,,,，，，，a,bgx,ygx,y 一致地收敛于0， ，, 则含参量的反常积分在上一致收敛． ，，，，fx,ygx,ydy,,a,b,c ，, （?）设在上一致收敛 ，，fx,ydy,,a,b,c （?）对每一个，函数关于是单调函数，且对参量，在上一yxx,,,，，，，,,a,bgx,ygx,ya,b 致有界， ，, 则含参量的反常积分，在上一致收敛． ，，，，fx,ygx,ydy,,a,b,c ，,cosx证明含参量的反常积分在上一致收敛． dy，，,,,，,,21，x0 ，,1cosx1 由，因收敛和一致收敛的判别法即可得． dy,M22,21，x1，x1，x0 ，,sinx,xy证明含参量的反常积分在上一致收敛． edy,,0,d,x0 ，,sinx,xy,xy` 由收敛从而一致收敛，，及对每一dxe,e,1，，,，,,,,x,y,0,，,，0,dy,0,d,x0 3 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版下册教案 第十九章 含参量积分 黔西南民族师专数学 系 单调，据阿贝尔判别法即得． ，, 证明：若在上连续，又在上一致收敛，但在，，fx,ydy，，,,,，,，fx,ya,b，c,，,a,bx,b,c ，, 处发散，则在上不一致收敛． ，，fx,ydy,，a,b,c ，, 反证法．假若积分在上一致收敛．则对于任给的，总存在，，，fx,ydy,，a,b,,0M,c,c 当时对一切恒有， x,,A,A,M,，a,b ,A ，，fx,ydy,,,A ，, 由假设在上连续，所以在上是的连续函数．在上面不等x，，fx,ydy，，,,,，,，fx,ya,b，c,，,a,b,c 式中令，得到当时， ,x,bA,A,M ,A ，，fb,ydy,,,A ，,，,而是任给的，因此在处收敛，这与假设矛盾．所以在上不一,，，，，fx,ydyfx,ydy,，a,bx,b,,cc致收敛． ，, 设在上连续，若含参量反常积分=在上，，fx,ydy，，,,,，，，,,fx,ya,b，c,，,Ixa,b,c一致收敛，则在上连续． ，，,,Ixa,b 由定理19．8，对任一递增且趋于的数列，函数项级数,,A(A,c)，,n1 An，1,, 在上连续．又由于在上连续，故每个，，，，，，Ix,fx,ydy,ux,,，，,,,，a,bfx,ya,b，c,，,,,n,,,n1n1An 都在上连续．由函数项级数的连续性定理，函数在上连续． ，，ux,,，，,,a,bIxa,bn 设和在上连续，若含参量反常积分，，fx,y，，,,,，fx,ya,b，c,，,x ，,，, =在上收敛，在上一致收敛，则在上可微，且，，，，fx,ydyfx,ydy，，,,,,，，,,Ixa,ba,bIxa,bx,,cc ，, = ,，，fx,ydy，，Ixx,c An，1 对任一递增且趋于的数列，令 ，，，，ux,fx,ydy,,A(A,c)，,nn1,AnAn，1 由定理19．3 ,，，，，ux,fx,ydynx,An 4 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版下册教案 第十九章 含参量积分 黔西南民族师专数学 系 ，, 由在上一致收敛，及定理19．8，可得 ，，fx,ydy,,a,bx,c An，1,, 在上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即可得 ,，，，，ux,fx,ydy,,a,b,,nx,,,n1n1AnA，,n，1,, = ,，，，，ux,fx,ydy,，，fx,ydy，，Ix,,,nxx,,,,n1n1Acn ，,，,d即= ，，，，fx,ydyfx,ydyx,,dxcc ，, 设在上连续，若=在上一致收敛，则，，fx,ydy，，,,,，，，,,fx,ya,b，c,，,Ixa,b,c 在上可积，且 ，，,,Ixa,b b，,，,b = ，，，，dxfx,ydydyfx,ydx,,,,caca 由定理19．9知上连续从而可积，又由定理19．9的证明函数项级数，，,,Ixa,b An，1,, 在上一致收敛，由逐项求积定理，即有 ，，，，，，Ix,fx,ydy,ux,,a,b,,n,,,n1n1AnAAbbb，,b，,bbn，1n，1,,, ===== ，，，，dxfx,ydydyfx,ydx，，，，，，，，dxfx,ydyIxdxuxdxdyfx,ydx,,,n,,,,,,,,,,n,,n11n,1AaaAcaaacann 设在上连续，若 ，，,,,，fx,ya,b，c,，, ，,，,（?）关于在任何闭区间上一致收敛，于在任何闭区间上yx，，，，fx,ydxfx,ydy,,,,c,da,b,,ac一致收敛， （?）积分 ，,，,，,，, 与 （18） ，，，，dxfx,ydydyfx,ydx,,,,acca 中有一个收敛，则（18）中的另一个也收敛，且 ，,，,，,，, = ，，，，dxfx,ydydyfx,ydx,,,,acca 不妨设（18）中第一个积分收敛，由此得 ，,，, ，，dxfx,ydy,,ac 也收敛．当时， d,c d，,，,，, = I，，，，dyfx,ydx,dxfx,ydyd,,,,caac d，,，,，,，,d = ，，，，，，dyfx,ydx,dxfx,ydy,dxfx,ydy,,,,,,caaadc 根据条件（?）及定理19．11，可推得 5 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版下册教案 第十九章 含参量积分 黔西南民族师专数学 系 A，,，,，,，,，,= I，，，，，，dxfx,ydydxfx,ydy，dxfx,ydy,d,,,,,,adadAdA，,，,，, （20） ，，，，dxfx,ydy，dxfx,ydy,,,,,adAd 由条件（?），对任给的，有，使当时，有 ,,0G,0A,G ，,，, ,,，，dxfx,ydy,,Ad ，, 选定后，由的一致收敛性，存在，使得当时有 ，，fx,ydyM,0d,MA,c ，,, f，，x,ydy,,，，2A,dd 这两个结果应用到（20）式得到 ,, I,，,,d22 即，这就证明了（19）式． limI,0dd,，, 三 应用的例 ，,sinbx,sinax,px计算 =（） edxp,0,b,aI,x0 bsinbx,sinax = cosxydy,xa ，,，,bb，,sinbx,sinax,,px,pxpx=== edxe(cosxydy)dxdyecosxydxI,,,,,x0aa00bbap== arctan,arctandy22,pppy，a ，,sinax计算 dx,x0 ，,sinaxa,px = edxarctan，，，，Fp,p,0,px0 ，,，,sinaxsinax,a,pxlimlimlim由连续性=== dxedxarctan，，，，F0,Fp,sgna，，，,,p,0p,0p,0pxx200 ，,2,x计算 = ecosrxdx，，,r,0 ，,，,2222,x,x,,xx 由 和收敛，一致收敛，类似 ecosrx,eedxecosrxdx,,00 ，,，,22,,,xx=也一致收敛， (ecosrx)dx,xesinrxdx,,r,00 6 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版下册教案 第十九章 含参量积分 黔西南民族师专数学 系 ，,，,，,，,222211r,,,,xxxx=== ,,xesinrxdxesinrx,recosrxdx,ecosrxdx，，,r,,,0222000 r= ，，,r,2 22rr,于是 =， = ，，，，ln,r,r,，lnc4ce4 2，,r2,,,x,由 ==， 得= 4edx，，，，,0,re,220 设在区域=上有定义，若对某些的值，为函数的瑕点，则称xy,d，，,,,,，，fx,ya,b，c,dfx,yR d 为参量的无界函数反常积分． x，，fx,ydy,c 对任给正数，总存在某正数，使得当时，对一切，都,x,0,,,,,,a,b,,d,c 有 d ，，fx,ydy,,,d,, d 则称含参量反常积分在上一致收敛． ，，fx,ydy,,a,b,c 注：从例子中可体会到含参量的反常积分的分析性质对一些困难的反常积分的求出提供了方便. 但这里只是零散的例. 教材 P189 1;2;3;4. 7