数列知识点

数列知识点 重点列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf : 重点 名称 重要指数 重点1 等差、等比数列的基本运算 ???? 重点2 等差、等比数列的判定 ??? 重点3 有关数列求和的考查 ???? 重点4 有关数列与不等式的综合考查 ??? 重点5 数列中的最大项或最小项问题 ??? 重点详解: 【考向】等差、等比数列的通项公式及前n项和公式( =3=9，=，=. 【例题】)已知{a}是等差数列，{b}是等差数列，且b，babab2311144nn (?)求{a}的通项公式; n (?)设c= a+ b，求数列{c}的前n项和. nnnn n31,2n，【答案】(?)(II) an,,21n2 n,1(II)由(I)知，，( an,,21b,3nn n,1因此( cabn,，,,，213nnn c从而数列的前项和 ,,n n,1Sn,，，,,,，,，，，,,,，1321133 ，，n nnn121，,，，13,,， 213, n31,2,，n( 2 【名师点睛】 解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法:?基本量法，即运用条件转化成关于a和d的方程1 (组);?巧妙运用等差、等比数列的性质( 问题进行解答，之后再还原成实际问题. 重点2:等差、等比数列的判定 【要点解读】 1、等差数列的判断方法: ,,?定义法:为等差数列。 ,,d(常数),aan，1nan ab，?中项法:等差中项:若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 A,aAb,,2 ,, 为等差数列。 2a,a，a,ann，2n，1n a,an，b?通项公式法:等差数列的通项:或。公式变形为:. 其中a=d, b= aand,，,(1)aanmd,，,()nn1nm a,d. 1 ,,a,an，b(a,b为常数)为等差数列。 ,nan naa()，nn(1),21n?前n项和公式法:等差数列的前和:，。公式变形为Sn=An+Bn其S,Snad,，n1n22 dd2,中A=，B=. a12 2,,(A,B为常数)为等差数列。 ,An，Bn,asnn 2、等比数列的判断方法: an，1,,,?定义法:，其中为等比数列。 qa,,0,0,(为常数)aqqnnan ,ab?中项法:如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=.提醒:不是任何 两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项。 *222,,,a=aa(nN，n2)为等比数列。 nn-1n+1an n,1nm,aaq,aaq,?通项公式法:等比数列的通项:或 n1nm n,, an=Aq为等差数列。 ,an naaq,aq(1),n1n1Sna,?前n项和法:等比数列的前和:当时，;当时，,=Aq-A q,1q,1S,n1n,q11,q n,, Sn=Aq-A,为等差数列。 an 【考向】证明满足一定条件的数列为等差或等比数列 35,n,2a,a,an,,a,1S【例题】设数列的前项和为，(已知，，，且当 ,,23n1n24 458SSSS，,，时，( nnnn，，,211 a(1)求的值; 4 1,,(2)证明:为等比数列; aa,,,nn，12,, (3)求数列的通项公式( a,,n n,171,,【答案】(1);(2)证明见解析;(3)( an,,，21，，,,n82,, 【解析】 n,2n,2 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 分析:(1)令可得的值;(2)先将()转化为，a458SSSS，,，44aaa，,nnnn，，,211nnn，，214 11,,,,再利用等比数列的定义可证是等比数列;(3)先由(2)可得数列的通项公式，aaaa,,,,,,nn，1nn，122,,,, ,, ,,a1,,,,n再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列a的通项公式(aa,,,,,,,nnn，1n21,,,,,,,,,,2,,,, 35335,,,,,,n,2试题解析:(1)当时，，即，458SSSS，,，4151811，，，，，,，，，a42314,,,,,,24224,,,,,, 7a,解得: 48 n,2n,2(2)因为458SSSS，,，()，所以4444SSSSSS,，,,,()，即 nnnn，，,211nnnnnn，，,，2111 5n,244164aaa，,，，,,44aaa，,()，因为，所以44aaa，,，因为 312nnn，，21nnn，，214 1aa,nn，，21aaaaaaa,,,,4242211,,nnnnnnn，，，，，211112，所以数列是以,,,,aa,,,nn，11aaaaaa,,,42422222，，,,nnnnnn，，，111aa,nn，12 11aa,,1为首项，公比为的等比数列 2122 【名师点睛】 1、等差、等比数列的判定通常作为解答题的第1问来考查，一般用下面的基本方法来判定:?利用定义: an，12a,a,常数，或,常数;?利用中项的性质:2a,a，a(n?2)或a,aa(n?2)(问题进行n，1nnn,1n，1nn,1n，1an 解答，之后再还原成实际问题. 2、等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。 q,1q,1 重点3: 有关数列求和的考查 【要点解读】数列的求和是高考重点考查的内容，也是考纲明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即问题的解答常用的方法可以归纳为几种(因此，考生有效地化归问题是正确解题的前提，合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝，这部分内容在高考中既有以选择题、填空题形式的简单考查，也有以解答题重点考查的情况出现(数列求和主要是分析通项，然后根据通项选择相应的求和方法. 【考向1】错位相减法求数列的和. 2ababb,，【例题】(2016年山东高考)已知数列的前n项和，是等差数列，且. Snn,，38,,,,nnnnn，1n b(I)求数列的通项公式; ,,n n，1(1)a，ncT(II)令.求数列的前n项和. c,,,nnnn(2)b，n n，2b,3n，1【答案】(?)(?) T,3n,2nn n,1(6n，6)n,1(?)由(?)知，又，即T,c，c，c，,,,，cc,,3(n，1),2n123nnn(3n，3) 234n，1 T,3[2，2，3，2，4，2，,,,，(n，1)2]n 345n，2，所以，以上两式两边相减得2T,3[2，2，3，2，4，2，,,,，(n，1)2]n n4(2,1)234n，1n，2n，2n，2,T,3[2，2，2，2，,,,，2,(n，1)2],3[4，,(n，1)2],,3n,2。 n2,1 n，2所以 T,3n,2n 【考向1】裂项相消法求数列的和. dnN,,,baa【例题】【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是,,nnn a和的等差中项. n，1 22*ccbbnN,,,,(?)设，求证:是等差数列; ,,nnnn，1 2nnn112*adTbnN,,,,,1,(?)设，求证: ,.，，,,1nn2Td 2,,k11kk【答案】(?)详见解析(?)详见解析 222222Tbbbbbb,,，，,，，,，(II)证明: ，，，，，，nnn1234212, naa，，，22n22221 ,，，，,,,，daaaddnn？，，，，242n2 nnn111111111,,,,所以. ,,,,,,,1,,,,,,,2222Tdkkdkkdnd2121212，，，，，,,,,,,,111kkkk 考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【名师点睛】 数列求和的常用方法: 1、利用常用求和公式求和: ()(1)naann，,1nSnad,,，1)等差数列求和公式: 1n22 (,1)naq,1,n,(1,)aaqaq2)等比数列求和公式: ,S,1n1n,(,1)q,1,1,qq, 、错位相减法求和:这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列2 {a? b}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. nn 3、倒序相加法求和:这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)， 再把它与原数列相加，就可以得到n个. 4、分组法求和:有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等 差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 5、裂项法求和:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项) 分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 6、合并法求和:针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n 重点4:有关数列与不等式的综合考查 【要点解读】数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题(主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养( 【考向1】常常证明数列的和的大小关系. 【例题】(2016年四川高考)已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，SqS,，1aSann，1nnn *其中q>0， . nN, (I)若 成等差数列，求a的通项公式; 2,,2aaa，n232 nn243,5y2e,eee(ii)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明:，，,,,，, e1x,,212nn,1n233a.n n-1【答案】(?);(?)详见解析. aq=n n-1aq=(?)由(?)可知，. n 2y22(1)n-2所以双曲线的离心率 eaq=+=+11 . 1x-=nn2an 542由解得. q=qq=+=133 2(1)1*kk--2(1)2(1)kk--因为，所以. 1+qq>1+qqk> ()N nq-1n-1eeeqq++鬃?>+1+鬃?=于是， 12nq-1 nn43-故. eee++鬃?>123-1n3 【名师点睛】数列与不等式均是 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 中的重要内容，所以在高考中占有重要的地位. 高考对这两部分的考查比较全面，在近年来的全国各地高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 中，常常综合在一起考查这两部分知识，尤其是在解答题中较为明显. 在高考试题中，数列与不等式这部分知识所占分值大约是20分. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题有较好的区分度. 有关数列的综合题，经常把数列知识与不等式的知识综合起来，其中还蕴含着丰富的数学思想，通常要用到放缩法以及函数思想(求函数的最值等). 这就要求考生能够灵活地运用相关数列的性质与不等式的方法去解决相关问题. 【考向1】新概念中的数列不等关系. 【例题】【2016年高考北京理数】(本小题13分) N,k2,,nN 设数列A: ， ,„ ().如果对小于()的每个正整数都有 , ，则称是aaaaann1N2kn数列A的一个“G时刻”.记“G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合. (1)对数列A:-2，2，-1，1，3，写出G(A)的所有元素; (2)证明:若数列A中存在G(A),,使得>，则 ; aaa1nn G(A)(3)证明:若数列A满足- ?1(n=2,3, „,N),则的元素个数不小于 -. aaaan,1N1n 2GA()【答案】(1)的元素为和;(2)详见解析;(3)详见解析. 2G(A)试题解析:(1)的元素为和. ,aa,a,,i,N2,i,N,a,a,,(2)因为存在使得，所以. nn1i1 ,,,m,mini,N2,i,N,a,a记， i1 则，且对任意正整数. m,2k,m,a,a,ak1m 因此，从而. m,G(A)G(A),, (3)当时，结论成立. a,aN1 以下设. a,aN1 由(?)知. G(A),, ,,G(A),n,n,,,,,n,n,n,,,,,n设，记. n,112p12p0 则. a,a,a,,,,,annnn012p ,,,G,k,Nn,k,N,a,a对，记. i,0,1,,,,,piikni 1,k,m,a,a,a如果，取，则对任何. G,,m,minGiknmiiiii 从而且. m,G(A)m,niii，1 nG,,又因为是G(A)中的最大元素，所以. pp n,k,n从而对任意，，特别地，. a,aa,apknNnpp i,0,1,,,,,p,1,a,a对. n,1ni，1i a,a，(a,a),a，1因此. nn,1nn,1ni，1i，1i，1i，1i p 所以. a,a,a,a,(a,a),p11,Nnnnpii,1,1i 考点:数列、对新定义的理解. 【点评】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想:函数与方程思想(如:求最值或基本量)、转化与化归思想(如:求和或应用)、特殊到一般思 q,1q,1想(如:求通项公式)、分类讨论思想(如:等比数列求和，或)等. 重点5:数列中的最大项或最小项问题 【要点解读】在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点， 【考向】求数列中的最大项或最小项 2【例题】已知函数 ，S是数列的前n项和，点(n，S)(n?N*)在曲线{a}y,f(x)f(x),,3x，6xnnn a,b1n,1nn上.(?)求数列的通项公式;(?)若，c,，且T是数列的前n项和. 试b,(){a}{c}nnnnn62问是否存在最大值,若存在，请求出的最大值;若不存在，请说明理由. TTnn 1【答案】(?)(?)T存在最大值 T,•.a,9,6nn1n2 1n,1(9,6n)()111n2(?)因为 ?所以 b,()n,1•,c•••,ab,,(3,2n)()•,••nnnn2662 111123nT,，(,1)()，(,3)()，？，(3,2n)()•, ? n2222 11111234n，1T,()，(,1)，()，(,3)()，？，(3,2n)()•, ? n22222 11111123nn，1T,，(,2)()，(,2)()，？，(,2)(),(3,2n)()?,?得 n222222 112n,1()[1,()]11n，122,，(,2),,(3,2n)(). 1221,2 1nT,(2n，1)(),1整理得， ? n2 策略一 利用差值比较法 1n，1T,(2n，3)(),1由?式得，所以 n，12 11nn，1,,(2，3)(),(2，1)()TTnnnn，122 n11 ,[(2，3)(),(2，1)]()••••••••nn22 3111nn••••••••,[n，,(2n，1)](),(,n)()•.2222 1n,1因为，所以. ,n,02 1n又，所以所以， (),0T,T,0T,Tn，1nn，1n2 1所以. 所以T存在最大值 T,•.T,T,T,？,T,T,？n1123nn，12 策略二 利用商值比较法 1nT，1,(2n，1)(),0由?式得. n2 1n，1n，(23)()T，1n，n，，23(21)2n2，1因为 ,,,•,1T，n，n，12(21)2(21)nnn，(21)()2 12125,(1，),(1，),,1 22n，122，16 所以，即. 所以/ T，1,T，1T,TT,T,T,？,T,T,？n，1nn，1n123nn，1 1T,所以T存在最大值. n12 策略四 利用导数江 1xg(x),(2x，1)(),1(x,1)考查函数的单调性. 2 111xx,(),2()，(2，1)(),lngxx222 11x•••••,2()[2，(2x，1)ln]•,22 111x,12x，1,3因为，所以，而，所以 ln,0(2x，1)ln,3ln•.222 11113又， 3ln,ln(),ln,ln,,22228e 11所以，所以. (2x，1)ln,,22，(2x，1)ln,022 111xx又，所以， (),0()[2，(2x，1)ln],0222,即，所以在上是单调递减函数，所以当x=1时， ,，1•,•，,g(x),0g(x) 11()(1)(21)1. gx,g,，,,,max22 11xn因为g(x),(2x，1)(),1(x,1)，所以T,g(n),(2n，1)(),1， n22 1所以存在最大值T,. T1n2 策略五 先猜后证 1T,通过分析，推测数列的第一项最在. {T}1n2 . 下面证明:T,T(n,2且n,N*)n1 方法1 分析法 111nn(2，1)(),1,T,(2n，1)(),1n因为，所以只要证明. n222 13nn(2，1)(),n3,2,4n，2即只要证明. 只需要证明. 22 n3,2,4n,2,0即只要证明 n,2n,Ν*由二项式定理得且时， 2(1)2nn,n，n，nn0122(11)1,，,C，C，C,，n，,，所以 nnn22 2，，2nnn3,2,4,2,3,,4,2nn2 23,5，2nn,•••••••••••• 2 (n,1)(3n,2)••••••••••••,,0•.2 n3,2,4n,2,0T,T(n,2)所以成立. 所以成立. n1 1T,T所以存在最大值. 1n2 【名师点睛】 给出数列的通项公式的最大项或最小项，有以下解题策略: {a}a,f(n)nn 策略一 利用差值比较法 若有，则，则，即数列是单 a,a,f(n，1),f(n),0a,aa,a,？,a,a,？{a}n，1nn，1n12nn，1n调递增数列，所以数列的最小项为; {a}a,f(1)n1 若有，则，则，即数列是单 a,a,f(n，1),f(n),0a,aa,a,？,a,a,？{a}n，1n12nn，1nn，1n 调递减数列，所以数列{a}的最大项为. a,f(1)n1 策略二 利用商值比较法 afn(，1)n，1,,1a,f(n),0a,a若有对于一切n?N*成立，且，则，则 nn，1nafn()n a,a,？,a,a,？{a}{a}即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为a,f(1); 12nn，1nn1 afn(，1)n，1,,1a,f(n),0a,a若有对于一切n?N*成立，且，则，则 nn，1nafn()n a,a,？,a,a,？{a}{a}a,f(1)即数列是单调递减数列，所以数列的最小项为. 12nn，1nn1策略三 利用放缩法 a,f(n，1),f(n),aa,a,？,a,a,？{a}若进行适当放缩，有，则，即数列是单调nn，1n12nn，1 递增数列，所以数列的最小项为; {a}a,f(1)n1 若进行适当放缩，有，则，即数列是单调a,f(n，1),f(n),aa,a,？,a,a,？{a}n，1n12nn，1n 递减数列，所以数列的最大项为. {a}a,f(1)n1 策略四 利用导数法 为求出的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数的导数，进而求出该函数a,f(n)y,f(x)(x,1)n 的单调区间，从而可知数列的单调性，最后求出数列的最大项或最小项. {a}{a}nn策略五 先猜后证 通过分析，推测数列的某项(k?N*)最大(或最小)，再证明对于一切n?N*都{a}aa,a(或a,a)nnknkk 成立即可. 这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题. 【趁热打铁】 一、选择题 limS,S1、(2016年上海高考)已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使,,aSnnn,,n ,得恒成立的是( ) ，，2S,Sn,Nn (A) (B) a,0,0.6,q,0.7a,0,,0.7,q,,0.611 (C) (D) a,0,0.7,q,0.8a,0,,0.8,q,,0.711 {}aa=a=82、(2016年全国I高考)已知等差数列前9项的和为27，，则 n10010(A)100 (B)99 (C)98 (D)97 3、(2016年全国III高考)定义“ 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 01数列”{a}如下:{a}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且nn km,2aaa,,,？对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 12k (A)18个 (B)16个 (C)14个 (D)12个 二、填空题 {}aSa,6aa，,0S=4、(2016年北京高考)已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.. nn1356 ,n,N,,,,aaS5、(2016年上海高考)无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，nnn ,,S,2,3，则k的最大值为________. n 6、(2016年全国I高考)设等比数列满足a+a=10，a+a=5，则aaa的最大值为 . {}a学科网鬃 132412nn *7、(2016年浙江高考)设数列{a}的前n项和为S.若S=4，a=2S+1，n?N，则a= ，S= . nn2n+1n15 三、解答题 a,n，18、【2016高考浙江理数】设数列满足，( n,,,,1aa,,nn2 ,n,1aa,,22(n,,I)证明:，; ，，n1 n3,,,,n,,n,,(II)若，，证明:，( a,2a,nn,,2,, *aa,9、(2016年上海高考)若无穷数列满足:只要，必有，则称具有{}a{}aaapqN,,(,)pq，，11nnpq性质. P (1)若具有性质，且，，求; {}aaaaa,,,,1,2,3,2aaa，，,21aP12456783n (2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，{}b{}cbc,,1bc,,81nn1551 判断是否具有性质，并说明理由; abc,，{}aPnnnn *(3)设是无穷数列，已知abanN,，,sin().求证:“对任意都具有性质”的充要{}baa,{}Pn1nnnn，1 条件为“是常数列”. {}bn d10、在公差为的等差数列{a}中,已知,且a,2a，2,5a成等比数列. a,10123n1 d,0(1)求d,a; (2)若,求|a|，|a|，|a|，？，|a|.n123n 第二章 1. 【答案】B 【解析】 n11,q1n由题意得:对一切正整数恒成立，当时不恒成立，舍去;当a,0a,02,(0|q|1)aa,,,q,111111,,qq2 11n2时，因此选B qq,,,22 2. 【答案】 3. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意，得必有，，则具体的排法列表如下: a,0a,181 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 4. 【答案】6 【解析】 d,,2{}aaaa，,,20a,0aad,,,,36?是等差数列，?，，，， 441n354 ?，故填:6( Sad,，,，，，,,6156615(2)661 5. 【答案】4 6. 【答案】64 a,8,21aa，,10,aq(1)10，,,,,131设等比数列的公比为,由得,,解得.所以 ,,,12aa，,5q,aqq(1)5，,,24,,,1,2 nn(1)17,2,，nn1？6nnn12(1)，，，,222n,3,于是当或时,取得最大值. aaaaq？,,，,264,8()2aaa？12n121n2 1217【答案】 ， aaaaaa，,,，,,,4,211,3122112 ，又， 再由aSaSnaaaaan,，,，,,,,,,,21,21(2)23(2)aa,3nnnnnnnnn，,，，111121 513,aan所以 ,,,,3(1),S121.nn，1513, 8. 【答案】(I)证明见解析;(II)证明见解析( 【解析】 aa11nn，1aa,,1,,试题分析:(I)先利用三角形不等式得，变形为，再用累加法可得 nn，1nnn，12222aaaa11nn,1nmaa,,22,,1,,，进而可证;(II)由(I)可得，进而可得 ，，n1n,1nmn22222 m3,,n，再利用的任意性可证a,2( a,，,22mn,,n4,, 1an，1aa,,1,,1a试题解析:(I)由得，故 nn，1n22 aa1,nn，1n,,,,，， nnn，1222 所以 aaaaaaaa,,,,,,112231nnn, ,,,，,，,,,，,,,,,,,112231nnn,22222222,,,,,,111,，，,,,， 121n,222 ,1， 因此 n,1aa,,22( ，，n1 ,n,,(II)任取，由(I)知，对于任意， mn, aaaaaaaa,,,,,,nmnnnnmm，，，,1121 ,,,，,，,,,，,,,,,,,nmnnnnmm，，，,112122222222,,,,,,111,，，,,,， nnm，,11222 1,， n,12 故 ,,a1mn2a,，, ,,n,1nm22,, m，，113,,n,，,,2 ,,,,nm,1222,,,,，， m3,,n( ,，,22,,4,, 从而对于任意，均有 mn, m3,,n( a,，,22,,n4,, 由a,2的任意性得( ? mn a,2n0,m,loga,2n,,mn,否则，存在，有，取正整数且，则 03n000n0024 a,2n0mlog03n0233,,,,4mn00， a222,,,,,,,,,n044,,,, 与?式矛盾( ,综上，对于任意n,,，均有( a,2n 考点:1、数列;2、累加法;3、证明不等式( aaaa1nn，11n【思路点睛】(I)先利用三角形不等式及变形得，再用累加法可得，进而可,,,,1nnnn，122222 m3,,n,1naa,,22证;(II)由(I)的结论及已知条件可得，再利用的任意性可证a,，,22m，，n1,,n4,, ( a,2n 9、【解析】 (3)从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明( 试题解析:(1)因为aa,，所以aa,，aa,,3，aa,,2( 52637485于是aaaa，，,，，32，又因为aaa，，,21，解得a,16( 67836783 120bc(2)的公差为，的公比为， ,,,,nn3 n,11,,5,nbnn,，,,,12012019所以，( c，，,,,813n,,n3,, 5,n( abcn,，,,，20193nnn 304a,aa,,82a,48aa,，但，，， 6152263 a所以不具有性质( ,,n (3)证]充分性: baba,，sin当为常数列时，( ,,nnn，11 对任意给定的，只要，则由，必有( aa,baba，,，sinsinaa,apq11pqpq，，111 充分性得证( 必要性: ,用反证法证明(假设不是常数列，则存在， bk,,,,n 使得，而( bbbb,,,,,,,bb,12kk，1 下面证明存在满足的，使得，但( aaba,，sinaaa,,,,,,aa,,,nnnn，1121k，kk，，21 ,设，取，使得，则 fxxxb,,,sinm,,mb,,，， ，，故存在使得( fmmb,,,,,0fmmb,,,,,,,0fc,0，，，，，， 1,,nk取，因为()，所以， ac,aba,，sinabcca,，,,sinnn，1211 依此类推，得( aaac,,,,,,,121k， 但，即( ababcbc,，,，,，sinsinsinaa,kkkk，，，，2111kk，，21 a所以不具有性质，矛盾( ,,n 必要性得证( ab综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”( a,,,,nn1 10. 【解析】 (?)由已知得到: 222(22)54(1)50(2)(11)25(5)aaaadaddd，,,，，,，,，,， 21311 dd,,,41,,22; ,，，,，,,,,,1212212525340ddddd或,,anan,，,,4611nn,, d,0(?)由(1)知,当时,, an,,11n 111,,n?当时, nnnn(1011)(21)，,,aaaaaaaaa,？，，，，,，，，,,,,,,,，,,0||||||||gggnnn12312322 12,n ?当时, aaaaaaaaaaaa,？，，，,,,,,,，,，，，,,,,,,，,，，,,,,,,，0||||||||()nnn123123111213 211(2111)(21)21220,,,，nnnn,，，，，,，，，，,，,,2()()2aaaaaaaagggggg12311123n222 nn(21),,,(111),,n,2,所以,综上所述:; |||||| ?????||aaaa，，，，,,123n2nn,，21220,,(12)n,,,2