投影 平行投影 正投影 学案 1
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【实践与探索】
投影 平行投影 正投影
我们已经知道，用一组光线将物体的形象投射到一个面上得到的图形，叫做投影. 这个面叫做投影面;光线叫做投影线. 投影线从一点出发的投影叫做中心投影，该点叫投影中心(如图4-12);投影线互相平行的投影叫平行投影.在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，这样在投影面上得到的图形叫做正投影或正射影(如图4-13(甲))，视图就是根据正投影的原理画出来的. 投射线倾斜于投射面的叫斜投影(如图4-13(乙)).因此，正投影一定是平行投影，但平行投影不一定是正投影.
由于太阳
离地球十分遥
远，所以我们
把太阳发
出的光线看
成是平行光
线. 在太阳光下，物(甲)(乙)
图4-12体在地面上产生的影子图4-13
通常都是斜投影(如图4-14), 只有当正午太阳光直射地面时, 物体在地面上形成的影子才被看作是正投影(图4-15).
随着物体与地面(投影面)位置关系的改变，物体在太阳光下形成的影子也随之改变. 图4-16所示的就是线段AB在不同位置条件下的正投影.
AAB点点 评评 A BB
( ) A'B'A'A' B'图4-14B'
在Rt
?ABC中，图4-16
?C =
90?，CD?AB，垂足为D. 则AD可看作是直角边AC的正投影，BD可看作是直角边BC的正投影. C? ? +? = 90?，? +? = 90?， ABAACD
? ?B =?ACD.
在Rt?ACD与Rt?ABC中，
? ?B =?ACD， ?ACB =?ADC = 90?， BAD? Rt?ABC ?Rt?ACD. 图4-17ABAC2,? . 即AC = AD?AB. ACAD
类似地，可证Rt?ABC ?Rt?CBD，Rt?ACD ?Rt?CBD. 22于是有AB = BD?AB，CD = AD?BD.
这就是著名的射影定理:在直角三角形中，
?每一条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项;
?斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项.
利用射影定理，可以很轻易地证明我们熟知的勾股定理.
已知:?ABC中，?C = 90?，设BC = a，AC = b，AB = c. 222求证:a +b = c.
C证明 如图4-18，过C作CD?AB，垂足为D.
? ?ACB = 90?，则由射影定理，得 22 BC = BD?AB，AC = AD?AB. 22? + = ? +?BCACBDAB ADAB BAD = AB (BD +AD) 图4-18= AB?AB 2= AB. 222即a +b = c.
【阅读与欣赏】
无影灯为什么没有影子
在我们生活的这个世界里，到处都可以见到影子，而且与我们的生活息息相关. 它有时能为我们带来好处，有时却会给我们惹出麻烦.
古时候，影子是人类的时钟，人们根据木杆在阳光下影子的位置来确定时间;现代，我们看到的皮影戏、幻灯、电影…… 都是影子的功劳;医生利用荧光造影发现隐藏在人体内的病灶，科学工作者利用不同角度、不同亮度、不同距离所投下的影子进行科学研究.
但是，当医生在手术台前为病人做手术时，影子不仅会妨碍医生看清病人体内的情况，而且影子的晃动还会干扰医生的视线，造成手术困难. 对于外科手术来说，是千万不能有影子的. 为此，人们制成了一种没有影子的无影灯.
无影灯为什么没有影子呢,
晴天，人在太阳下行走，地上会出现人的影子. 可是在阴天，人走在路上却不会留下影子. 这是为什么呢,原来，影子是由于物体四周各方向的光线亮度不平衡而造成的. 如果物体某一面射来的光线特别强，那末在光线较弱的一面就会留下影子. 当物体四周各方向的亮度相同时，这个物体就不会留下影子.
无影灯就是根据这一原理制成的. 在无影灯的灯罩里，有几个或十几个灯球，每个灯球里装着一个内壁涂有反光层的镜面灯泡. 这样，当灯泡点亮时，灯泡内的反光镜把光反射到灯球上. 灯球按环形排列，灯光从不同位置的各个灯球集中到一点，再通过滤色镜照射下来，就好象有许多亮度相同的灯泡，从各个不同的角度照射到手术台上一般，形成一种既柔和又不眩目的光线. 在无影灯下，任何物体都不会留下阴影，从而为手术的顺利进行创造了良好的条件.
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