利用模糊等价关系对按指标顺序排队的样本分类法

利用模糊等价关系对按指标顺序排队的样本分类法 利用模糊等价关系 对按综合指标顺序排队的样本进行分类的方法 运城学院计算机科学与技术系 解建国 摘 要 利用聚类分析的方法对样本进行分类，主要是依据样本的指标特性的。通过对具有按综合指标顺序排队的样本之间相似关系的定义，导出了这种样本分类的方法及特性，与实际非常吻合。 关键词 样本 综合指标 相似关系 模糊等价关系 分类 一、实际中一个明显的问题 对样本进行聚类分析问题的一般模型是:设有n个待分类的样本集合X={x,x,……,x}，12n每个样本均有s种特性，将这些特性量化，于是对于每一个样本就对应着一组描述它的各种特性的一组数:y,y,……,y(其中y是描述样本的第j个特性的数)，我们称这组数为样本12sj 的s个指标。不同的样本x所对应的s个指标可能是不同的。若用x表示第i个样本的第jiij 个指标，则可得到下表: 表1 指标y j 样本x y y ……… y i12s x x x ……… x 1s11112 x x x ……… x 2s22122 ? ? ? ? ? x x x ……… x nsnn1n2 我们的问题是:设有集合X={x,x,……,x}，x均有一个指标y，叫综合指标，且有y12nii1?y?y?……?y。对于该问题，一般地认为是不必要再分类了，因为集合X已按综合指23n 标的顺序进行了排队。其实不然，X虽然按综合指标顺序进行了排队，但只可能认为它分成了1个类或者n个类等，而绝不是不超过n的可能的任意个类。那么，对X如何进行分类呢,这个问题实际上是上述问题的一种特殊而重要的情况，它可认为是把x的s个指标归并i成一个综合指标y而已。比如把对一些单位进行评估的若干个指标根据权重归并为一个指i 标，把学生的各科成绩根据加权系数合并为一个成绩等。为了解决这个问题，需要对几种模糊关系进行分析。 二、关于三种模糊关系及相应的模糊矩阵 设X={x,x,……,x}为一模糊集合，,上的模糊关系?有三种情况: 12n 第一，具有自返性的模糊关系:若?满足对于任意的x?X，必有μ(x,x)=1，即每一?iii个元素x与自身从属于模糊关系?的程度为1。 i 第二，具有对称性的模糊关系:若?满足对于任意的x,x?X，都有μ(x,x)= μ(x,x)，??ijijji即x与x从属于模糊关系?的程度与x与x从属于模糊关系?的程度相等。 ijji 第三，具有传递性的模糊关系:若?满足对于任意的x,x,x?X，都有μ(x,x)? min[μ?ijkik(x,x)，μ(x,x)]，即x与x从属于模糊关系?的程度不小于x与x从属于模糊关系?的??ijjkikij 程度与x与x从属于模糊关系?的程度中较小的那一个。 jk 作者简介:解建国，男(1956年———)，山西运城市人，现任运城学院计算机系高级实验师。 当模糊关系?既具有自返性又具有对称性时，称?具有模糊相容关系;当模糊关系?具有传递性时，称?具有模糊等价关系。 对于只有有限个元素的模糊集合X上的模糊关系? ，我们能够用模糊矩阵表达为: 1xx......x，，12131n,,x1x......x21232n,, ,,?= (1) xx1......x31323n,,..................,, ,,xxx......1n1n2n3，， 在?中，x为X中元素x与x的相似系数。由于各元素自身与自身是完全相似的，所ijij 以有x=μ(x,x)=1，这样?具有自返性。若再设x=μ(x,x)=μ(x,x) =x，则?具有对称???iiiiijijjiji性，这时?就具有了模糊相容关系。这样得到?是一个n阶的对称矩阵，其不同元素个数 2最多为(n-n)/2+1。 事实上，利用模糊相容关系仍然不能对X进行分类，而必须要将?转化为模糊等价关系。过程是根据模糊矩阵的乘法运算，通过求下面的模糊矩阵列: ?= ? ，?= ???，?= ???，……，?= ???(2) 1211321n-1n-21 在这个矩阵列中，?是X上的n-1级模糊关系，而且?是具有传递性的，它不仅体现了n-1n-1 X中两元素的直接关系，而且体现了两元素的间接关系。即当?是一个模糊相容关系时，?不仅具有模糊相容关系，而且具有模糊等价关系，因而可利用?来对X进行分类。以n-1n-1 下对此问题进行实际应用的讨论。 三、对按指标顺序排队的样本集合进行分类的方法 首先，我们提出利用模糊等价关系进行分类的问题是:设有模糊集合X={x,x,……,x}，12n若在X的各元素间建立了模糊等价关系? ，如果取λ?[0,1]为定值，并规定对X中的任意两元素x与x，若μ(x,x)?λ，则x与x属于同一类，否则不属于同一类。 ?ijijij 由?的传递性，我们能够得到对X中的任意一个元素，它属于且仅属于某一个类，而不可能属于两个以上的类。 对于前面提出的问题，若能在X的元素间建立起模糊相容关系或者模糊等价关系即可解决。那么，确定X中元素间的相似关系，是解决此问题的关键。事实上，如果利用X中元素x的综合指标y，取: ii yymin(,)ijy=y, i,j=1,2, ………n, (3) ,ijjiyymax(,)ij 就能得到形式如式(1)的模糊相容关系矩阵，从而对其按式(2)进行转化后，得到模糊等价关系矩阵?，实现对X进行分类。下面我们从一个具体的例子出发，加以说明。设集合n-1 X及其指标如下表: 表2 样本x x x x x x x i123456 指标y 99 92 88 83 78 75 i 由式(3)可得到X中元素间的一个6阶的模糊相容关系矩阵: 10.9290.8890.8380.7880.758，， ,,0.92910.9570.9020.8480.815,, ,,0.8890.95710.9430.8860.852? = ,,0.8380.9020.94310.9400.904,, ,,0.7880.8480.8860.94010.962,,0.7580.8150.8520.9040.9621,,，， ?中的元素保留3位小数，是为了使分类的结果更确切。根据式(2)，可得到一个6阶的模糊等价关系矩阵: 10.9290.9290.9290.9290.929，， ,,0.92910.9570.9430.9400.940,, ,,0.9290.95710.9430.9400.940?= 5,,0.9290.9430.94310.9400.940,, ,,0.9290.9400.9400.94010.962,,0.9290.9400.9400.9400.9621,,，， ?中不同的元素有6个:1、0.962、0.957、0.943、0.940、0.929。由?可得到如下55的分类结果: 当λ=1时，分6类:{x}、{x}、{x}、{x}、{x}、{x},各类的类指标分别为:99、123456 92、88、83、78、75。即类指标取类中元素的算术平均值，以下同。 当λ=0.962时，分5类: {x}、{x}、{x}、{x}、{x,x}，各类的类指标分别为:99、123456 92、88、83、76.5。 当λ=0.957时，分4类: {x}、{x,x}、{x}、{x,x}，各类的类指标分别为:99、90、123456 83、76.5。 当λ=0.943时，分3类: {x}、{x,x,x}、{x,x}，各类的类指标分别为:99、87.667、123456 76.5。 当λ=0.940时，分2类: {x}、{x,x,x,x,x}，各类的类指标分别为:99、83.2。 123456 当λ=0.929时，分1类: {x,x,x,x,x,x}，各类的类指标分别为:85.833。 123456 需要说明的是，第一，以上的主要过程是通过编程，由计算机完成的，因为随着X中元素的增多，计算量将大幅度增加。第二，?中的元素保留3位小数，是为了尽量使最后得到的模糊等价矩阵?能够保持有6个不同元素，从而能够实现6种分类。若保留的小数位5 数少了，?中的不同元素个数可能少于6个，从而分类的种数可能少于6种。这就是说，5 为了保证能够实现对X中n 个样本进行不超过n种的任意种分类，必须使?中有n个不n-1同的元素，这就要求?中必须有n个不同的元素，从而要求综合指标y满足:y>y>……>y。i12n当X中的样本指标有相等的情况时，分类的种数一定少于n种。第三，当λ由大到小取值时，所分成的类的类序总能与X中元素的顺序相应。第四，分类后，类指标取类中元素指标的算术平均值，与实际吻合，因而是恰当的。 参考书: 楼世博、孙章、陈化成〖模糊数学〗，科学出版社，1985年6月。