初中数学《一元二次方程》单元
教学设计
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以及思维导图2
一元二次方程
适用年级 九年级
所需时间 课内6课时,课外6课时
主题单元学习概述
“一元二次方程” 主题单元结构包括一元二次方程的概念、解法和一元二次方程的应用。第一节研究一元二次方程的概念及一般形式;第二节研究用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。第三节研究一元二次方程的应用。一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程组等的基础上进一步学习,是对以前实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固,它也是一种数学建模的方法,同时又是以后学习一元二次不等式、二次函数等知识的基础,是学好
高中
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数学的基础。此外,学习一元二次方程对其他学科有重要意义,因此,它在初中数学中占有重要的地位。结合学生的实际水平,采用探索学习方式,以类比发现法为主,讨论法、练习法为辅的教学方法,教学中力求体现“问题情境——数学模型——求解——解释应用“的模式,借助多媒体辅助教学指导学生通过观察直观形象的演示,从具体的问题情境中抽象出数学问题,经过自主探索和合作交流的学习过程,产生积极的情感体验,进而创造性的解决问题,有效的发挥学生的思维能力。 主题单元
规划
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思维导图(说明:将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后,粘贴在这里;如果提交到平台,则需要使用图片导入的功能,具体操作见《2013学员教师远程研修手册》。)
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主题单元学习目标
(知识与技能
了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次??解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题(
(过程与方法
(1)通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型(•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念(
(2)结合整式中的有关概念介绍一元二次方程的概念,如二次项等(
(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法??直接开方法,•导入用配方法解一元二次方程,又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程(
(4)通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0(a?0)导出解一元二次方程的求根公式,接着讨论求根公式的条件:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0(
(5)通过复习《整式》这一章中的因式分解进行知识迁移,解决用因式分解法解一元二次方程,并用练习巩固它(
(6)提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,•并用该模型解决实际问题(
(情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型;经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想;经历设置丰富的问题情景,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣(
对应课标
1、 通过生活现实和数学现实,了解一元二次方程的概念;
2、 经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程,发展估算意识和能力;
3、 理解配方法,能用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 4、 能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理;
5、 会列出一元二次方程解决相关的实际问题,进一步体会方程式刻画现实世界中数量关系的有效模型,增强应用意识,培养分析和解决问题的能力。
1、 什么是一元二次方程,一元二次方程的一般形式
是什么,并指出它的二次项、一次项和常数项
2、 配方法的一般形式是什么,配方法的一般步骤
3、 公式法的公式是什么,b2-4ac>0,b2-4ac=0,主题单元问题设计
b2-4ac<0的解的情况,
4、 因式分解法的一般思路是什么?
5、 一元二次方程如何选择方程的解法,
6、 如何列一元二次方程解简单的实际问题,
专题一:一元二次方程 ( 2 课时)
专题二:用多种方法解一元二次方程 ( 8课时) 专题划分
专题三:列一元二次方程解应用题 ( 2 课时)
专题一 一元二次方程
所需课时 课内1课时,课外1课时
专题学习目标
知识与技能目标:
1、理解一元二次方程的概念.
2、掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项. 过程与方法目标:
1、通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力. 2、 通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性. 3、由知识来源于实际,树立转化的思想,由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一
步提高学生分析问题、解决问题的能力.
情感态度与价值观目标:
1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.
2、激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.
1、引入一元二次方程
2、一元二次方程的定义
专题问题设计 3、一元二次方程的一般形式是什么,
4、指出一元二次方程的二次项、一次项和常数项
所需教学材料和资源
信息化资源
课件
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教学支撑环境 学生每人一台计算机的网络教室或多媒体教室 其 他 纸笔等
学习活动设计
【活动一:引入一元二次方程】
问题1:学校要用80米长的篱笆在墙边围一个矩形的草坪,当矩形面积是750平方米时,它的长
和宽应是多少米,
解:设矩形的宽是x米,长是(80-2x)米
根据题意,得:x(80-2x)=750
整理后,得: x2-40x+375=0
问题2:从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门
框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知
道竹竿有多长吗,
解:设竹竿为x尺,门框宽为(x-4)尺,高为(x-2)尺
根据题意,得:(x-2)2+(x-4)2=x2
整理后,得: x2-12x+20=0
问题3:一个正方形的面积的2倍等于50米,这个正方形的边长是多少, 解:设正方形的边长为x米
根据题意,得:2x2=50
整理后,得: 2x2-50=0
问题4:一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数。 解:设一个数是x,则另一个数是(x-3)
根据题意,得:x (x-3)=0
整理后,得: x2-3x=0
【活动步骤】通过多媒体播放视频短片,引入情境,提出问题.在第(1)问中,通过教师引导,学生列出方
程,解决问题.
在第(2)(3)(4)问中,遵循刚才解决问题的思路,由学生思考,列出方程. 【活动二:一元二次方程的定义】
想一想:在解决实际问题的过程中,得出了这样几个方程:
x2-40x+375=0 x2-12x+20=0
2x2-50=0 x2-3x=0
(1)它们是一元一次方程吗,
(2)这些方程和一元一次方程有什么共同点和不同点,
共同点:?它们都是整式方程;?都含有一个未知数.
不同点:方程中未知数的最高次数是2;而一元一次方程的未知数最高次数是1。
问题: 1)你能给这种不同于一元一次方程的新方程起个名字吗,
2)你能类比一元一次方程的概念给出一元二次方程的概念吗,
1.一元二次方程的概念:
等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。 课本上练习
【活动三:一元二次方程的一般形式】
观察、思考:
1.上述一元二次方程还有哪些相同点和不同点,你能类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式吗,
2.一元二次方程的一般形式:
我们把一元二次方程按未知数的降幂排列有:ax2+bx+c=0(a?0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.
想一想:为什么要限制a?0 , b、c可以为零吗,
强调:一元二次方程的一般形式中“,”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现,但二次项必须存在,而且左边通常按未知数的次数从高到低排列,特别注意的是“,”的右边必须整理成0。二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
课堂检测
课本A组1 、2课后拓展
1.正确理解一元二次方程意义,并能判断一个方程是否是一
元二次方程;
评价要点
2 知道一元二次方程的一般形式是是常数,),
能说出二次项及其系数,一次项及其系数和常数项 专题二 用多种方法解一元二次方程
所需课时 课内4课时,课外4课时
专题学习目标
知识与技能目标:
知道什么叫开平方法
知道配方法与开平方法的 关系。
掌握一元二次方程的求根公式。
了解分解因式法的概念;会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。 过程与方法目标:
学会利用开平方的方法解一元二次方程
学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
归纳配方法解一元二次方程的一般步骤,并熟练解方程
会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程
情感态度与价值观目标:
体验解决问题的方法的多样性,灵活选择方程的解法。
在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的信心。
1、 配方法的一般形式是什么,配方法的一般步骤
2、 公式法的公式是什么,b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0
专题问题设计 的解的情况,
3、 因式分解法的一般思路是什么?
4、 一元二次方程如何选择方程的解法, 所需教学材料和资
源
信息化资源 课件
教学支撑环境 学生每人一台计算机的网络教室或多媒体教室
其 他 纸笔等
学习活动设计
直接开平方法
活动一:
自主---快乐预习:
1.平方根的定义____________________________。 2.求下列各数的平方根4 ,6 ,0 ,12.
3.负数有没有平方根,
活动二:
合作探究、拓展提高
(一)、阳光展示
同学们思考,怎样解这个方程,自学课本80页内容,再根据平方根的意义,解下列方程
?x2=9 ?x2=6 ?(x+3)2=1 ?(x-2)2=2 方法总结
1.如果一个一元二次方程一边是__________另一边是________________就可以用开平方法求解。
2.利用开平方解一元二次方程,一定注意方程有__________个解。 二)、导学点拨
例1.解方程4x2-7=0
对应练习解方程
?49x2=25 ? 0.5x2-32=0 ?2x2=3 ?9x2-8=0 例2. 9(x-1)2=25
对应练习(1)(x+1)2=16 (2)(6x-1)2=81
课堂检测:1.下列方程,能用开平方法求解的是( ) A.2x2=1 B.3x2+1=0 C.9(x-2)2=25 D.x2-4x+4=9 2.利用开平方法解方程
(1)4x2=9 (2)2(x-3)2=8
3.解方程(x+)(x-)=2
拓展延伸:
1..方程的解是 ( )
A( B(
C( D(
2.(原创)对形如的方程,下列叙述错误的是( ) A.b?0时,可用平方根的定义来解得
B.b=0时,
C.无论b取何值,方程都可用平方根的定义解
D.b,0时,方程无解
4.若方程可用直接开平方法求解,则的取值范围是__________.
因式分解法
活动一:
为了达到本节课的学习目标,下面请同学们按照学案上的自学导航,认真自学。请同学们仔细阅读
课本的内容,注意:
根据第95页的观察与思考,理解什么是因式分解法,什么情况下可以用因式分解法来解一元二次
方程,
注意例题1、2 的解题过程,同时思考有没有其它的解法。 仔细思考96页的挑战自我,明确问题出现在哪儿, 8分钟后找同学板演检测问题。
活动二:
1、如果两个因式的积为0,那么这两个因式中 。
2、写出下列方程的根:
(1)(x+3)(x-7)=0,x1= ,x2= .
(2)5x(x-4)=0, x1= ,x2= .
(3)(x-2)2=x-2, x1= ,x2= .
(4)ax2-bx=0(a?0), x1= ,x2= .
3、用因式分解法解下列一元二次方程:
(1)2(y-1)2+y=1 (2)9(2x+3)2=25(1-3x)2 (3)(x+3)(x+1)=6x+6 (4)2t(t+4)=t2-16
活动三:
用因式分解法解一元二次方程的前提:先把方程化成ab=0的形式。 其一般步骤是:
?使方程的一边为0(通常是右边);
?把方程的左边利用因式分解的各种方法,化成两个一次因式的乘积;
?使方程左边的两个因式都等于0,得两个一元一次方程; ?解这两个一元一次方程,得原方程的根。
五、拓展延伸
解方程(4 x-1)2=3(1-4x),你找到了几种方法,那种方法最简便, 六、达标训练
1、一元二次方程y2+2y=0的解是 。
2、解方程(4 x-1)2=3(4x-1),较简便的方法是( ) A、公式法 B、配方法 C、因式分解法 D、开平方法
3、用因式分解法解下列方程。
(1)y2-6y=0
(2)4x2-9=0
(3)16x2+8x+1=0
(4)3( x-5)2=2(5-x)
(5)( x-2)2-9(x+1)2=0
配方法
活动一:
拓通准备:
1.回顾开平方法解方程,方程具备的特点:__________________.
2.添加适当的数,使下列等式成立。
(1)x2+6x+_______=(x+3)2 (2) x2+18x+______=(x+____)2 3、解下列方程:
(x-1)2=4 4-(x-1)2=0
(x-1)2-4=0 x2-2x-1=4
活动二
1.观察方程:x2+10x+25=26,左边可以变成______________,原方程变成__________,用开平方法解
这个方程。
2.观察方程x2+10x=1,它与上述方程有哪些相同和不同?怎样变化就可以得到方程一的形式
3.总结上述方程解法中,关键是哪一步,具体做法是什么, _____________________________________________________________________. 4.什么是配方法,______________________________________. 活动三:典型例题:
(1)x2-3x=-2 (2)x2-6x+8=0
方法总结:
1. 用配方法解一元二次方程时,常数项和一次项系数有什么关系, 2.用配方法解一元二次方程的具体步骤: __________ _________________________.
对应练习:
(1)x2+12x+25=0 (2)x2+4x=10 (3)x2-6x=11 (4)x2-2x-4=0 四.拓展延伸:
用配方法解方程:(x+1)2+2(x+1)=8
五、当堂检测:
1.关于x的方程x2+a+1=2x有解得条件是( )
A .a,0 B . a,0 C . a 为非负数 D. a 为非正数 2.填空:(1)x2-7x+_____=(x-____) 2 (2)x2+20x+_____=(x+____)2 3.利用配方法解下列方程:
(1)x2-3x+2=0 (2)x2-5x=6
公式法
活动一:
1.一元二次方程的一般形式____________________________. 2.一元二次方程的求根公式_____________________________. 3.解下列方程(1)x2-2x-3=0 (2)x2-x+1=0
活动二:
(一)、阳光展示
把下列方程化为一般形式,然后用公式法解下列方程。
(1)(x+1)(3x-1)=0 (2)4-(2-Y)2=0
(二)、导学点拨
1)(2x+1)2=2x+1 (2)(x+1)(x-1)=2x
自我训练解下列方程
(1)2x2+1=32x (2)3x2+5(2x+1)=0 (3)(x+2)2-2x=3 (4)x-2-x(x-2)=0 三、拓展延伸
1.已知方程x2+kx-6=0的一个根式2,求k及另一个根。
2.如果三角形的两边分别为1和2,第三边式方程2x2-5x+3=0的根,求这个三角形的周长。
四、当堂达标
1.方程x(2x-1) =3(2x-1)的根是( ) A.; B.3; C. 和3; D.和-3. 2.三角形的两边长分别是8和6,第三边是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根,求解这个三
角形的面积
3.两数的和是-12,积是35,求这两个数。
4.公式法解方程(1)2x2+7x=4 (2)(x-2)(3x-5)=1
5.已知方程的两个根是一个直角三角形的两条直角边,求这个直角三角形的面积.
因式分解法
活动一:
为了达到本节课的学习目标,下面请同学们按照学案上的自学导航,认真自学。请同学们仔细阅
读课本的内容,注意:
根据第95页的观察与思考,理解什么是因式分解法,什么情况下可以用因式分解法来解一元二
次方程,
注意例题1、2 的解题过程,同时思考有没有其它的解法。 仔细思考96页的挑战自我,明确问题出现在哪儿, 8分钟后找同学板演检测问题。
活动二:
1、如果两个因式的积为0,那么这两个因式中 。
2、写出下列方程的根:
(1)(x+3)(x-7)=0,x1= ,x2= .
(2)5x(x-4)=0, x1= ,x2= .
3)(x-2)2=x-2, x1= ,x2= .
(4)ax2-bx=0(a?0), x1= ,x2= .
3、用因式分解法解下列一元二次方程:
(1)2(y-1)2+y=1 (2)9(2x+3)2=25(1-3x)2
(3)(x+3)(x+1)=6x+6 (4)2t(t+4)=t2-16
活动三:
用因式分解法解一元二次方程的前提:先把方程化成ab=0的形式。 其一般步骤是:
?使方程的一边为0(通常是右边);
?把方程的左边利用因式分解的各种方法,化成两个一次因式的乘积; ?使方程左边的两个因式都等于0,得两个一元一次方程; ?解这两个一元一次方程,得原方程的根。
五、拓展延伸
解方程(4 x-1)2=3(1-4x),你找到了几种方法,那种方法最简便, 六、达标训练
1、一元二次方程y2+2y=0的解是 。
2、解方程(4 x-1)2=3(4x-1),较简便的方法是( ) A、公式法 B、配方法 C、因式分解法 D、开平方法
3、用因式分解法解下列方程。
(1)y2-6y=0
(2)4x2-9=0
(3)16x2+8x+1=0
(4)3( x-5)2=2(5-x)
(5)( x-2)2-9(x+1)2=0
1,学会利用开平方的方法解一元二次方程
2、学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 评价要
3、归纳配方法解一元二次方程的一般步骤,并熟练解方程 点
4、会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程
专题三 列一元二次方程解应用题
所需课
课内1课时,课外1课时
时
专题学习目标
知识与技能目标:
会用列一元二次方程的方法解有关百分比及数与数字之间关系的应用题。
过程与方法目标:
通过列方程解应用问题,进一步提高分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标:
能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。经历把实际问题中的等量关系抽象为一元二次方
程的过程,体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系中有效地数学模型。 专题问
如何列一元二次方程解简单的实际问题, 题设计
所需教学材料和资源
信息化
课件
资源
教学支
学生每人一台计算机的网络教室或多媒体教室 撑环境
其 他 纸笔等
学习活动设计
活动一、
教师出示教材中的问题1,由学生尝试解答:
x(x+10)=900;x2+10x-900=1;x1=-5+5,x2=-5-5, (交流讨论:这两个根都符合题意吗,为什么,)
这两个都是所列方程的解,但x2为负根应舍去,
所以符合题意的解是x1=-5+•5?25.4,x+10?35.4,
因此绿地的宽和长应分别为25.4米和35.4米(
活动二:
用22cm长的铁丝,折成一个面积为30cm2的矩形,求这个矩形的长及宽。(学生分析交流) 根据题意可知,所折成的矩形周长为22cm,由矩形的对边相等,可得长+宽=22/2cm=11cm,若设这个矩形长为xcm,则宽为(22/2-x)cm,根据相等关系,长宽的积=长方形的面积,列出方程。(小组展示各组的解答过程)
解:设这个矩形的长为xcm,则宽为(22/2-x)cm,根据题意,得:
x(22/2-x)=30
整理得x2-11x+30=0,解得x1=5,x2=6,检验,由x1=5得,22/2-5=6与题设不符,舍去;由x2=6,得22/2-x=5。
答:这个矩形的长是6cm,宽是5cm。
三、小结:
(小组交流:解一元二次方程的一般步骤是怎样的,)
列一元二次方程解应用题的步骤:
审:审题要弄清已知量和未知量,问题中的等量关系;
?设:设未知数,有直接和间接两种设法,因题而异;
?列:列方程,一般先找出能够
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达应用题全部含义的一个相等关系,列代数式表示相等关系中的各个量,即方程;
?解:求出所列方程的解;
?检验:检验方程的解是否正确,是否符合题意;
?答:写出答案(
四、巩固练习
1、以墙为一边,再用长为13m的铁丝为另外三边,围成面积为20m2的长方形(已知长大于宽,则长方形的长、宽分别是()
A(5m、4m或9m、2m B(9m、2m C(10m、1.5m D(8m、2.5m或5m、4m 2、若等腰直角三角形的面积为8,则斜边长为()
3、两个正方形的边长之和为25dm,面积之和为325dm2,•设一个小正方形的边长为x,则关于x的一元二次方程是( )大正方形的边长为( )
五、课堂小结:
(1)引导学生作知识总结:本节课我们学习了列一元二次方程解应用题,•要注意解题步骤,特别地,检验解的结果是否正确和符合题意,并要注意题型的积累(
(2)教师扩展:(方法归纳)解应用题的步骤:审、设、列、解、检验、答(•关键是寻找等量关系,可以采用列式法、线段图示法、列表法等来帮助寻找,并注重检验( 六、达标反馈
1.用16cm长的铁丝弯成一个矩形,用18cm•长的铁丝弯成一个有一条边长为5cm的等腰三角形,如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等,求矩形的边长(
2.为了培养孩子从小热爱动物的良好品德,学校决定一边靠校园20m的院墙,•另外三边用55m长的篱笆,围起一块面积为300m2的矩形场地,•组织生物小组学生喂养鸟、兔子等小动物(问这个场地的各边长是多少,
评
.会列一元二次方程解相关的应用题,
价
并能检查所得的结果是否正确、合理
要
点