第二讲 三相交流感应发电机的数学模型
三相交流异步发电机是一种通过定、转子绕组间的电磁耦合来实现机械能-电能的能量转换装置。研究三相交流异步发电机的电磁关系是了解三相交流发电机运行问
题
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的理论基础,为风电机组联网运行
分析
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奠定理论基础,对解决风电机组联网运行问题具有重要的意义。
2.1
坐标下的有名值方程
2.1.1理想电机
为了便于定量分析三相交流电机的能量转换过程,本节基于理想电机假设,建立了三相交流异步电机的数学模型,即假设:
1) 电机铁心的导磁系数为常数,即忽略铁心磁饱和、磁滞的影响,也不计涡流及集肤作用等的影响;
2) 对纵轴及横轴而言,电机转子在结构上是完全对称的,即电机磁路在空间上完全对称;
3) 定(转)子三个绕组的位置在空间上互相相差120°电角度,三个绕组在结构上完全相同;
4) 定子绕组和转子绕组均在气隙空间中产生正弦分布的磁动势;
5) 只考虑气隙基波磁场的作用;
6) 电机定、转子表面光滑。
在此基础上,对定、转子绕组回路电压电流正方向、定、转子电流与磁链正方向等做如下规定:
1) 定子绕组电压、电流正方向遵循发电机惯例;
2) 转子绕组电压、电流正方向遵循电动机惯例;
3) 定子负值电流产生正值磁链;转子正值电流产生正值磁链。
三相绕组在空间对称分布,沿逆时针方向各绕组轴线互差120度电角度,转子按逆时针方向旋转,在以上规定下,三相交流电机定、转子绕组的空间分布纵向剖面图如图2-1所示:
图2-1 三相交流电机定、转子绕组空间分布纵向剖面示意图
图中:sA和sA’、sB和sB’、sC和sC’分别表示A、B、C三相定子绕组;ra和ra’、rb和rb’、rc和rc’分别表示a、b、c三相转子绕组;定子A相绕组轴线正方向为空间位置参考方向即sD轴,转子绕组a相轴线即r轴超前sD轴r电角度。
2.1.2电压方程
根据上述正方向规定,可以得到如图2-2所示的三相交流感应发电机绕组电路模型,据此可以得到如式(2-1)-(2-2)所示的定、转子电压方程。
(a)定子绕组等值电路 (b)转子绕组等值电路
图2-2三相交流发电机定转子绕组电路模型(单相)
定子电压方程:
(2-1)
转子电压方程:
(2-2)
式中,
、
分别为定、转子绕组电阻;usx、urx,isx、irx,ψsx、ψrx(x=a,b,c)分别为定、转子绕组电压、电流和磁链。
2.1.3磁链方程
定、转子绕组磁链与电流的关系为:
(2-3)
Lss、Lrr、Lsr=LrsT均为3行×3列的电感子矩阵,分别表示定子绕组电感矩阵、转子绕组电感矩阵和定、转子绕组之间的互感矩阵,各电感子矩阵表达式为:
,
(2-4)
(2-5)
式中:r=rt+r0为转子绕组a轴与定子绕组A轴之间的空间相位角,r0为初始相位角,r为转子转速(电角速度)。
并且:
(2-6)
(2-7)
(2-8)
各物理量含义:
根据公共磁通假设,与电机绕组交链的磁通主要有主磁通和漏磁通。
分别为主磁通与定、转子绕组交链的最大互感;
分别为定、转子漏感;
为定子间互感,各相间差
电角度,因此
;同理,
为转子间互感,
;
为定、转子之间互感的最大值。
2.1.4转子运动方程
电机转子运动方程为
(2-9)
式中:Ωr为转子旋转角速度(rad/s), TJ为发电机组的转动惯量(kgm2),Tm为机械力矩(Nm),Te为电磁力矩(Nm),且
式(2-1)-(2-9)构成了三相交流感应发电机组的数学模型,共有Ψsabc、Ψrabc、isabc、irabc、Ωr等13个未知数,却仅有7个方程,无法求解。因此,我们通过找出磁链和电流的关系,来减少未知数。便有如下方程:
(2-10)
式中:Np为极对数,
。
此时,可得到6个电压方程、6个磁链方程和一个转子运动方程,即可求得13个未知数。
2.2 Park变换
由上可知,abc坐标系下三相交流感应电机定转子绕组互感随时间变化,从而使得感应电机方程为时变系数的微分方程组,增加了电机动态过程分析难度。
根据交流电机双反应理论,定子abc三相绕组电流产生的合成磁场可用同步旋转的d、q两相绕组电流产生的合成磁场来等效,这就叫做Park变换。
我们通过分析定子空间磁动势矢量来确定从两种坐标下的变换。
d、q方向磁动势方程:
abc方向的磁动势方程:
因此:
为保证合成后d、q轴磁场幅值与abc轴磁场幅值相等,Park变换后的系数为:
2.3
坐标下的有名值方程
2.3.1电压方程
(2-9)
式中:usd、usq,isd、isq,sd、sq分别为d、q定子绕组电压、电流和磁链;
urd、urq,ird、irq,rd、rq分别为d、q转子绕组电压、电流和磁链;
ωs为转差角速度,ωs=ω1-ωr。
,
,
,
,
C1、C2为Park变换矩阵,本文选择:
(2-9)
(2-9)
式中:1=ω1t+10为同步旋转坐标系的d轴与三相静止坐标轴系的A相绕组轴线之间的夹角,ω1为同步旋转坐标系的旋转角速度,
为t=0时1的初值;
为同步旋转坐标系的d轴与三相转子坐标轴系的a相绕组轴线之间的夹角,ωs=ω1-ωr为转差角速度,s0为t=0时s的初值。
2.3.2磁链方程
同步旋转坐标系下的磁链方程为:
(2-9)
式中:
,
,
(2-9)
Lm为dq坐标系同轴定子与转子等效绕组间的互感,Lm=1.5 Lsm;
Ls为dq坐标系定子等效两相绕组的自感,Ls=1.5Lsm+Lsl=Lm+Lsl;
Lr为dq坐标系转子等效两相绕组的自感,Lr=1.5 Lrm+Lrl=Lm+Lrl。
2.3.3功率方程
忽略定、转子绕组磁链动态过程,则由发电机定转子电压方程,可以获得定子发出功率Ps为:
式中,前半部分为定子
的功率损耗,后半部分为通过气隙磁场传递得到的电磁功率。
转子吸收的功率Pr为:
式中,前半部分为转子
的功率损耗,后半部分为通过气隙磁场传递得到的电磁功率。
由转子功率方程可知,当转子转速小于同步速,即s=1-r>0时,Pr>0,此时转子绕组需要从外部电源吸收电功率;而当转子转速等于同步速,即s=0时,转子绕组从外部电源吸收的电功率全部转化为转子绕组损耗;当转子转速大于同步速,即s<0时,转子绕组则向外部电源传输电功率。
2.3.4转子运动方程
dq同步旋转坐标系下的转子运动方程为:
式中:Tm,Te,Np,TJ意义同前。只是Te应该按下式计算:
其中包含了4个电压方程、4个磁链方程和1个转子运动方程。以上共计9个方程,为5阶数学模型,含有变量usdq、rdq、isdq、rdq、sdq、rdq、Tm和r共14个,故还需要有5个约束(或已知)条件方程方可求解。这5个约束条件如下:Tm为原动机输出机械力矩,设为已知;定子绕组与电网连接,二相定子电压认为已知;二相转子电压由电机运行要求给定。因此,总的方程数与变量数平衡,可以求数值解。