用于积分方程解的广义逆函数值Pad_逼近的计算公式

用于积分方程解的广义逆函数值Pad_逼近的计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 用于积分方程解的广义逆函数值 Pa dé Ξ 逼近的计算公式 1 2 顾传青, 李春景 () 11 上海大学 数学系 ,上海 200436 ; 21 同济大学 数学系 ,上海 200331 ()刘宇陆推荐 摘要 : 首次建立了广义逆函数值 Padé逼近的完整的计算公式 :函数值分子多项式和数量分母多 项式的行列式公式?一个有用的存在条件借助于行列式形式得以给出? 关 键 词 : Padé逼近 ; 行列式公式 ; 存在性 ; 积分方程 中图分类号 : O241183 文献标识码 : A 引 言 文1 引入了解积分方程的广义逆函数值 Padé逼近方 ( λ) 法? 设 f x ,是一个给定的具有函数值系数的幂级数 2 n ( λ) ( ) ( )λ ( )λ( )λ() f x ,= cx+ cx+ cx+ + cx+ , 1其中 0 1 2 n ( ) ( ) ( λ) λλ cx是一个定义在区间 a , b上关于 x 的实函数或复函数 ? 假定 f x ,作为的函 数在j = 0 是解析的 ? () 长久以来 ,为了获得难于处理的积分方程的解 ,尤其当积分方程具有形如 1的发生函数 时 ,人们对 Padé逼近方法产生了兴趣?这是因为 Padé逼近方法易于计算 ,同时它对具有有限 秩的积分方程的逼近最终是精确的?事实上 ,Chishiolm 在文2 已经 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明具有秩为 n 核为 K 的 积分方程的精确解可以用关于扰动级数的 Padé逼近的前 2 n 项来表示? Graves-Morris 在文1 利用广 () 义逆函数值 Padé逼近方法来加速幂级数 1的收敛性和估计积分方程的特征值?本文 在第 1 节建立广义逆函数值 Padé逼近的计算公式 :函数值分子多项式和数量分母多项式的行 列式公式?一个有用的存在条件借助于行列式形式在第 2 节给出?最后讨论广义函数值 Padé 逼近对积分方程的解的应用? () ( ) 定义 1 关于给定幂级数 1,型为 [ n/ 2 k ] 的广义逆函数值 Padé逼近 GIPA是如下的有 理函数 ( λ) ( λ) (λ) ( )R x ,= P x ,/ Q , 2 ( λ) (λ) λ定义 P x ,是函数值多项式 , Q 是关于的数量多项式 , 满足下列条件 : ) ( λ) (λ) ( )?deg P x ,? n , deg Q = 2 k , 3 Ξ 收稿日期 : 2000- 08- 30 ; 修订日期 : 2001- 04- 08 ()基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 19871054 ( ) 作者简介 顾传青 —男 江苏江都人 教授 博士生导师 2 ) λ) λ) ) ) (( (?Q | ‖P x ,‖, 4? n +1λ) ( λ) ( λ) (λ) ( ) (λQ f x ,- P x ,= O , 5其中是实数 , b2 2 ( λ) ( λ) ( ) ‖P x ,‖= | P x ,| d x? 6 ?a () 下面用 [ n/ 2 k ] 表示关于给定幂级数 1, 型为[ n/ 2 k ] 的广义逆函数值 Padé逼近 ? f 1 GIPA 的行列式公式 ( λ) ( λ) (λ) 定理 1 设 R x ,= P x ,/ Q 是一个[ n/ 2 k ] , 则成立 f 0 L L L L 01 02 0 , 2 k - 1 0 , 2 k L 0 L L L 10 12 1 , 2 k - 1 1 , 2 k L L 0 L L 20 21 2 , 2 k - 1 2 , 2 k )(λ) (, 7Q = ω L L L 0 L 2 k - 1 , 0 2 k - 1 , 1 2 k - 1 , 2 2 k - 1 , 2 k 2 k 2 k - 1 2 k - 2 λλλλ 1 和 ( λ) P x ,= 0 L L L L 01 02 0 , n - 1 0 , n L 0 L L L 10 12 1 , n - 1 1 , n L L 0 L L 20 21 2 , n - 1 2 , n )(, 8 ω L L L 0 L n - 1 , 0 n - 1 , 1 n - 1 , 2 n - 1 , n 1 2 n - 1 n n i + n - 1 i + n - 2 i +1 i( )λ( )λ( )λ( )λ( )λcxcxcxcxcx 0 i i i i ????= 0 i = 0 i = 0 i = 0 i 其中 j - i - 1 b 3( ) ( ) ( ) ()xc L = cxd x L = - L , j < i , 9 j - l + n - 2 k ij l + i + n - 2 k +1ijij? ?ai = 0 3 ( ) ( ) 这里 c xc x?是关于 的共轭复函数 l l ) ( λ) λ) ) ( (证明 ?设 n = 2 k? 将 P x ,, Q 分别表示为 2 k (λ) λ λ() Q = Q+ Q+ + Q, 100 12 knλ) ( ) ( λ ( )λ()( )P x ,= Px+ Px+ + Px? 11 0 1 n λ) ( 定义 f x ,的 Maclaurin 截断部分为 n ( λ) ( λ) Gx ,= f x ,] , n 0 () 则定义 1 的条件 5意味着 nnλ) (λ) ()( λ) (λ) ( λ) ( = G x ,Q ] ? 12P x ,= Q f x ,] 0 n 0 2() () ( λ) (λ) 定义 1 的条件 3和 4意味着 ‖P x ,‖/ Q 是一个阶数至多为 2 n - 2 k 的多项式 , 那么 , 成立22 n +1( λ) (λ) [ ‖P x ,‖]/ Q ] ()= 0? 132 n - 2 k +1 () (λ) λ根据范数公式 6,定义关于的数量多项式 F 如下 b 3 3 λ) ( λ) ( λ) (λ) ) ( ( λ) ( λ) (λ) ) (( F = [ P x ,- G x ,Q P x ,- G x ,Q ]d x =n n ?a 2 2 2 ( λ) (λ) ( λ) ‖P x ,‖+ Q‖Gx ,‖-n b 3 3 (λ)( λ) ( λ) ( λ) ( λ) ()Q [ P x ,Gx ,+ G x ,P x ,]d x? 14n n ?a 2 n +2 () () λ) (λ) (λ) (由 4和 5,可推出 F Q = O / , 从而得出 2 n +1= 0? (λ) (λ) [ F / Q ] 2 n - 2 k +1 () () 由 14和 13,得到 b 3 3 (- [ Pλ)λ)λ)( λ)((x , x , x , P x , ]d x + G + G n n ?a n +1 2 2(λ) ( λ) ()Q ‖Gx ,‖ = 0? 15 n 2 n - 2 k +1 () () ( ) 根据 12,经过推导可以发现公式 15实际上代表关于 10中的系数 Q, Q, , Q的 2 k + 0 1 2 k ( ) 1 n = 2 k个线性方程 , 它可以表示为 2 k ( ) ()L Q= 0 i = 0 , 1 , , 2 k - 1, 16ij2 k - j ?j = 0 2 k )(L Q= 0 , 172 k , j2 k - j ?j = 0 () ( ) 其中 16中的系数 Q是 L , 由公式 9给出 ? 2 k - j ij () () 方程 16和 10形成了关于 Q, Q, , Q的 2 k + 1 个非齐次线性方程组 , 它可以表示为 0 1 2 k 0 L L L L Q01 02 0 , 2 k - 1 0 , 2 k 2 k 0 L 0 L L L Q 01 12 1 , 2 k - 1 1 , 2 k 2 k - 1 0 L L 0 L L 20 21 2 , 2 k - 1 2 , 2 k Q0 2 k - 2()? 18 = ω 0 L L L 0 L Q 2 k - 1 , 0 2 k - 1 , 1 2 k - 1 , 2 2 k - 1 , 2 k 1 2 k 2 k - 1 2 k - 2 λ)(Q Q zzzz 10 () 求解线性方程组 18,从而获得公式 () () () 7? 由 11, 12并注意到 n = 2 k , 可推出 n n λ) ( ) ( ) ( ) )λ ( ) λ( ( P x ,= cxQ+ cxQ+ cxQ+ + cxQ=0 0 1 0 0 1n - j j ?j = 0 n n i i +1 ( )λ( )λcxQ+ cxQ+ + i 0 i 1 ??i = 0 i = 0 n - 1 nn( ( ) λ( ) λ) ( ) λ) ()( cx+ cxQ+ CxQ? 190 1 n - 1 0 n() () 在 19中利用 18,从而在 n = 2 k 情形下获得公式 ( ) ) 8? ?设 n ?2 k? 定义 ( ) D= 0 i = 0 , 1 , , 2 k - n - 1; i ( ) ( ) D= cxi = 2 k - n , 2 k - n + 1 , , 2 k?i i - 2 k + n [2 k/ 2 k ] D| i = 0 , 1 , , 2 k λ) () ( λ) (借助于系数 , 构造 Q 由 7表出和[ 2 k/ 2 k ] 型 Px ,由i () 8表出 ? 那么 , 分子多项式由 n - 2 k [2 k/ 2 k ] ( λ) λ( λ)P x ,= Px , ( λ) (λ) ) 所定义 ,则 P x ,/ Q 就是所求的[ n/ 2 k ] ? ?f n > 2 k? 记 设 ? i +2 k - nλ) ( )λ( f x ,= cx`i ?i = n - 2 k ( ) cx(λ) ( ) ( λ) 借助于系数 , i = 0 , 1 , , 2 k , 构造 Q 由 7表出和[ 2 k/ 2 k ] 型 Px ,n - 2 k + i [2 k/ 2 k ] () 由 8表出 ? 那么 , 分子多项式由 n - 2 k - 1 n - 2 k iλ) λ( λ) (λ) ( ) λ( P x ,= Px ,+ Q cx?[2 k/ 2 k ] i ?i = 0 λ) λ) ( ( 所定义 ,则 P x ,/ Q 就是所求的[ n/ 2 k ] ?f ( ) 注意在向量和矩阵的情形 ,分母多项式的行列式公式 7已分别被 Graves-Mooris 的3 和 () 顾传青的4 所获得 ,但是 ,分子多项式的行列式公式 8由本文首次证明?定理 1 的证明方法 不同于3 或4 , 它的结果可以推广到向量和矩阵的情形?有理插值的行列式公式已由文5 建立? 2 GIPA 的存在性 为了给出 GIPA 的存在性条件 ,引入下列辅助矩阵 : L L L L L 00 01 02 0 , 2 k - 1 0 , 2 k L 0 L L L 10 11 1 , 2 k - 1 1 , 2 k L L 0 L L ?20 21 2 , 2 k - 1 2 , 2 k () H 0 , 2 k , 2 k - 1= ω L L L 0 L 2 k - 1 , 0 2 k - 1 , 1 2 k - 1 , 2 2 k - 1 , 2 k ) ) () () (( ) ( ( ) ( ) 定理 2 存在性设 [ n/ 2 k ] = P z/ Q z, 其中 P z和 Q z分别由 8和 7给出 ,f 并且 n = 2 k? 则[ n/ 2 k ] 存在当且仅当f ) ) ( ( Q 0= det H 0 , 2 k - 1 , 2 k - 1?0? ( ) () 证明 根据 O z的构造 , 从 18推出 Q2 k Q 2 k - 1 )(H 0 , 2 k , 2 k - 1 = 0 , Q 1 Q 0 从而得出 L 0 , 2 k Q 2 k L 1 , 2 k)Q()(H 0 , 2 k - 1 , 2 k - 1 = - Q? 20 2 k - 1 0 L 2 k - 1 , 2 k - 1 () () ) ( 如果 Q 0= Q= det H 0 , 2 k - 1 , 2 k - 1?0 , 就意味着非齐次方程 20存在一个关于0 ( ) () () ( ) Q zQ, Q, , Q? 按照 1920P z的唯一的解 , 它也意味着公式 存在一个关于 的唯0 1 2 k ( ) ( ) 一的解 P, P, , P, 其中 n = 2 k? 因此 , n/ 2 k ] = P z/ Q z存0 1 n f ( ) ( ) ( ) 在 ? 假设 [ n/ 2 k ] = P z/ Q z存在 , 那么 , 从 20得出 f () () () rank H 0 , 2 k - 1 , 2 k - 1= rank H 0 , 2 k , 2 k - 1? 21 ) ) ( ) ) ( ( ( 如果 Q 0= det H 0 , 2 k - 1 , 2 k - 1= 0 , 从 21成立 rank H 0 , 2 k , 2 k - 1< 2 k , 由此 , () () ( ) 7可推出 Q z?0 , 它与 GIPA 的定义 2相矛盾?从 3 对积分方程的应用 本节讨论 GIPA 对积分方程的 Neumann 级数的收敛性?考虑下列具有已知解的积分方程 1( λ ( ) () )