二次根式的定义
16.1二次根式
知识点一:二次根式的定义
一般地，形如(a?0)的式子叫做二次根式 a
对于二次根式的理解:
(1)二次根式的定义是从形式上界定的必须含有二次根号“”，尽管的结果为3，但99是二次根式。
(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数是
2非负数，如就不是二次根式。 ,x,1
3(3)根子数是2，2可以省略，如7不是二次根式
baa(4)形如(a?0)的式子也是二次根式，它
表
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示b与的乘积，当b是带分数或小数时，
13515要写成假分数形式，如不能写成的形式。 22
例1:下列各式中，哪些是二次根式,哪些不是二次根式,
22327,9(1) (2) (3) (4) x，13a
122(,8)x,2x,1 (6)() (7) (5)a，2a，12
12,3x(8)(x?0) (9) (10),x，8x,16 2(x，1)
知识点二:次根式有意义的条件(重点)
aaa总体上来说，在二次根式中，当a?0时，有意义;当a<0时，无意义。 从具体的情况总结如下:
A(1)单个二次根式如有意义的条件是:A?0;
A,0,
,B,0,A，B，？，N(2)多个二次根式相加，如有意义的条件是: ,？,
,N,0,
B(3)二次根式作为分式的分母，如有意义的条件是:A>0;
A
A,0,1A，(4)二次根式与分式的和，如的条件是: ,BB,0,
例2:当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义 ,
1x,1(1) (2) (3) (4)2x，3， 3x,1,1,xx，1x，2
1222(5) (6) (7) (8) x，5,x,2x,33,x，
1,x2x,1
课堂小练习:
2x,11、代数式有意义的x的取值范围是 3,x
12、若在实数范围内有意义，则x的取值范围是
x，1
x3、如果代数式有意义，那么x的取值范围是 x,1
34、代数式在实数范围内有意义的x的范围是 2x,1
x0(,2),15、若等式成立，则x的取值范围是 3
知识点三:二次根式的性质(重点、难点)
a性质1: 式子(a?0)具有双重非负性:它既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根。
aaa(1)?0，的最小值是0; (2)的被开方数a?0 注意:几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0
2性质2:(a?0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 (a),a
2注意:不要忽略a?0这一限制条件，导致类似的错误。 (,4),,4
(,0)aa,2,,aa性质3: 即当一个数为非负数时，它的平方根等于它本身，可记为,,a(a,0),
22;当个数为负非数时，它的平方和算术平方根等于它的相反数， a,a(a,0)a,,a(a,0)
2(,2),,2注意:不要认为a一定是非负数，从而出现的错误。
例3:计算:
,222(1)(,6) (2) (3) (4) 10(,22)(2332)(2332)，,
22a,4ab，4b，a，b例4:(1)实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简
a 0 b
2222(a，b，c)，(a,b,c)，(b,a,c),c,b,a)(2)设?ABC的三边长为a、b、c，试化简
x例4:(1)已知，求的值。 x，y,3，2x,y，6,0y
x，求的值。 (2)已知y,2,x，x,2，5y
232，52，32例5:比较大小:(1) -与-3; (2)与
例6:在实数范围内分解因式:
44224a,b(1) (2) 3x,6y
24224,x，26x,6(3) (4) x,3xy，2y
1222a，,b,a,3a，1，b,2b，1,0例7:(1)若，则 2a
ba,5，210,2a,b，4a(2)已知a、b为实数，且，则的值为
课时训练
一、选择题
1.下列式子中，是二次根式的是( )
3 A(- B( C( D(x 77x
11222(的值是( )( (2)(2)，,33
22 A(0 B( C(4 D(以上都不对 33
222(),a 3(a?0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是( )( aa
222222(),a(),a A(=?- B(>>- aaaa
222222(),a(),a C(<<- D(->= aaaa
3,a 4(化简a,0得( ) ()a
,aa,aa(A) (B), (C), (D)
1122(x,)，4(x，),4 5(若0,x,1，则,等于( ) xx
22(A) (B), (C),2x (D)2x xx
2,,(5)x6.使式子有意义的未知数x有( )个(
A(0 B(1 C(2 D(无数
二、填空题
23x，21(当x是多少时，+x在实数范围内有意义, x
,23,xx,3x2(若+有意义，则=_______( 三、综合提高题
2a,20001(若?1995-a?+=a，求a-1995的值(
22(3)x，xx,，10252. 若-3?x?2时，试化简?x-2?++。
浙公网安备 33021202002483