数值分析习题(含答案)

第一章 绪论 姓名            学号               班级                 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 主要考察点：有效数字的计算、计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为 ,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解： ， 故具有3位有效数字。 2 具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解： ，欲使其近似值 具有4位有效数字，必需 ， ，即 即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。 3 已知 ， 是经过四舍五入后得到的近似值，问 ， 有几位有效数字？（有效数字的计算） 解： ， ，而 ， 故 至少具有2位有效数字。 故 至少具有2位有效数字。 4 设 ， 的相对误差为 ，求 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 ，则误差为 则相对误差为 5测得某圆柱体高度 的值为 ，底面半径 的值为 ，已知 ， ，求圆柱体体积 的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算） 解： 绝对误差限为 相对误差限为 6 设 的相对误差为 ,求 的相对误差。（函数误差的计算） 解： ， 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为 ，问度量半径 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为 ， 欲使 ，必须 。 8 设 ，求证： （1） （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择） 解： 如果初始误差为 ，若是向前递推，有 可见，初始误差 的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推 ，其误差为 可见，初始误差 的绝对值被逐步减少了。 第二章 插值法 姓名            学号               班级                 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1  已知 ，求 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 解法一（待定系数法）：设 ，由插值条件，有 解得： 。 故 。 解法二（基函数法）：由插值条件，有 2 已知 ，用线性插值求 的近似值。（拉格朗日线性插值） 解：由插值节点与被插函数，可知， ， ，其线性插值函数为 的近似值为 。 3 若 为互异节点，且有 试证明 。（拉格朗日插值基函数的性质） 解：考虑辅助函数 ，其中， ， 。 是次数不超过 的多项式，在节点 （ ）处，有 这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明， 有n+1个互异实根。 故 ，从而 对于任意的 均成立。 4 已知 ，用抛物线插值计算 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，其抛物线插值函数为 将 代入，计算可得： 。 其余项为： 其中， 故误差的上界为： 。 5 用余弦函数 在 ， ， 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值） 解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为 绝对误差为： 相对误差为： 余项为： ，其中， 其余项的上界为： 比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。 6 已知函数值 ，求函数的四阶均差 和二阶均差 。（均差的计算） 解：采用列表法来计算各阶均差，有 x y 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 6         1 10 4       3 46 18 14/3     4 82 36 6 1/3   6 212 65 29/3 11/15 1/15             从表中可查得： 。 x y 一阶均差 二阶均差 4 82     1 10 72/3   3 46 18 6         故 。其实，根据均差的对称性， ，该值在第一个表中就可以查到。 7 设 求 之值，其中 ，而节点 互异。（均差的计算） 解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有 而 ，故 。 8 如下函数值表 0 1 2 4 1 9 23 3           建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 解： 先构造均差表 x f(x) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 0 1       1 9 8     2 23 14 3   4 3 -10 -8 -11/4           故 。 9求一个次数小于等于三次多项式 ，满足如下插值条件： ， ， ， 。（插值多项式的构造） 解法一（待定系数法）：设 ，则 ，由插值条件，有 解得： 。 故 解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 1 2       2 4 2     2 4 3 1   3 12 8 5 2           故 10 构造一个三次多项式 ，使它满足条件 （埃尔米特插值）。 解：设 ， 利用插值条件，有 解得： 。 11 设 。(1)试求 在 上的三次埃尔米特插值多项式 ，使得 ， 以升幂形式给出。(2)写出余项 的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 解： ， ， ， ， 设 ， 解得： ， ， ， 。 故 。 ，其中， 。 12 若 ，试证明： （插值余项的应用） 解：以 为插值条件，作线性插值多项式，有 其余项为 故 。 13  设 求 使 ； 又设 ，则估计余项 的大小。（插值误差的估计） 解：由插值条件，有 解得： 从而 其余项为 第三章 函数逼近 姓名            学号               班级                 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1 设 ，求 于 上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解： ， ， ， 法方程组为 解得： ， 线性最佳平方逼近多项式为： 。 2 令 ，且设 ,求 使得 为 于 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 解： ， ， ， 法方程组为 解得： ， 线性最佳平方逼近多项式为： 。 3证明：切比雪夫多项式序列 在区间 上带权 正交。（正交多项式的证明） 解：对于 ，有 对于 ，有 故，序列 在[-1，1]上带权 正交。 4求矛盾方程组： 的最小二乘解。（最小二乘法） 解法一：求 与 ，使得 达到最小。于是，令 即： ，其最小二乘解为： 。 解法二： ，记作 ，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组 ，即 解之，得 。 5 已知一组试验数据 2 2.5 3 4 5 5.5 4 4.5 6 8 8.5 9               试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 解：作矩阵 ， 法方程为 即 解得： ， 。 其直线拟合函数为 。 6 用最小二乘原理求一个形如 的经验公式,使与下列数据相拟合. 19 25 31 38 44 19 32.3 49 73.3 97.8             （最小二乘二次逼近） 解：等价于对数据表 361 625 961 1444 1936 19 32.3 49 73.3 97.8             作线性拟合。其法方程组为： 解得： ， 故经验公式为 。 第四章 数值积分 姓名            学号               班级                 习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式 试确定 使它的代数精度尽可能高。（代数精度的应用和计算） 解：分别取 ，使上述数值积分公式准确成立，有； 解得： 。 故求积公式为 。 再取 ，左边= ，右边= 再取 ，左边= ，右边= 此求积公式的最高代数精度为3。 2  求积公式 ，试确定系数 , 及 ，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 解：分别取 ，使求积公式准确成立，有 解得： 。 求积公式为 。 再取 ，左边= 右边 故该求积公式的最高代数精度为2。 3数值积分公式 ，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征） 解：令 ， ， ， 故代数精度为1。由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。 4如果 ，证明用梯形公式计算积分 所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。（梯形求积） 解：梯形求积公式 是由过点 ， 的线性插值函数 在[a,b]上的定积分。 注意到：在区间[a,b]上， ，而 ，有 从而 。 其几何意义可作以下解释： 在区间[a,b]上， ，故曲线 下凹，直线 位于曲线之上，因此，曲边梯形的面积 小于梯形面积 。 5用 的复化梯形公式计算积分 ，并估计误差。（复化梯形求积） 解： ，取求积节点为 因 ，则误差大约为： 。 6设 ,则用复化辛甫生公式计算 ，若有常数 使 ，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复化辛甫生公式） 解： 7已知高斯求积公式   将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分 的近似值。（高斯公式） 解： 对于 作变量换 ，有 对于 作变量换 ，有 8 试确定常数A，B，C和 ，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征） 解：分别取 ，使上述数值积分公式准确成立，有； 整理得： 解得： 。 数值求积公式为 再取 ，左边= ，右边= 再取 ，左边= ，右边= 可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达到了 次，故它是高斯型的。 9设 是[0,1]区间上带权 的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求 。 （2）构造如下的高斯型求积公式 。（高斯求积） 解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权 且在[0，1]上正交的多项式序列 取 ，设 ，且它与 在[0，1]上带权 正交，于是 ， 故 。 设 ，且它与 、 在[0，1]上带权 正交，于是 ， ， 解（2）： 的零点为： 。 设 分别取 ，使上述求积公式准确成立，有 ，即 解得： ， 。 高斯型求积公式为 第五章 非线性方程求根 姓名            学号               班级                 习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。 1用二分法求方程 的正根，要求误差小于0.05。（二分法） 解： ， ， ， 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。 （1）计算 ，故有根区间为[1，2]。 （2）计算 ，故有根区间为 。 （3）计算 ，故有根区间为 。 （4）计算 ，故有根区间为 。 （5）计算 ，故有根区间为 。 （6）计算 ，故有根区间为 。 （7）计算 ，故有根区间为 。 （8）若取中点 作为取根的近似值，其误差小于 取近似根 ，可满足精度要求。 2说明方程 在区间[1，2]内有惟一根 ，并选用适当的迭代法求 （精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法） 解： ， ， ，故函数单调增加，因此，该方程在（1，2）之间存在着惟一的实根。 取迭代函数 显然 ，且 故迭代 （ ）对任意初始值 收敛。 对于初值 ，其迭代值分别为 ， ， ， 由于 ，故 作为近似值，已精确到了3位有效数字。 3设有解方程 的迭代法 (1)证明 均有 （ 为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取 用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 ，列出各次迭代值。（和收敛性讨论） 解(1)： ， （ ），故该迭代对任意初值均收敛于方程的根 。 解(2)：由 ，故有 。 ，故该迭代的收敛速度是1阶的。 解(3):取 ，代入迭代式，可计算出以下结果： ， ， ， ， 由于 ，取 可满足精度要求。 4设 ， ，试证明：由 ，得到的序列 收敛于 。（收敛性证明） 证明：由 知，方程 有根。 由 ，当 时，有 ，即序列 收敛于 。 5 设方程 在[0,1]内的根为 ，若采用迭代公式 ，试证明： 均有 为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。（迭代法和收敛性讨论） 解：迭代函数 ，当 故迭代在区间 上整体收敛。 设 ，则 ，且 故 故该迭代的收敛速度为1阶的。 6 方程 在 附近有根，把方程写成3种不同的等价形式： (1) ，对应迭代格式： (2) ，对应迭代格式： (3) ，对应迭代格式： 讨论这些迭代格式在 时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出 附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较） 解： ， ，， ，故方程在 上有根 。 ，故方程在 上有根 。 ，故方程在 上有根 。 对于迭代式（1）： ， ， 而 ，故该迭代局部收敛，且收敛速度为1阶的。 对于迭代式（2）：在 上， ， ，又 ，故该迭代在 上整体收敛，且收敛速度为一阶的。 对于迭代式（3）： 在[1，2]上的值域为 ，该迭代式不收敛。 取迭代式 ， 进行计算，其结果如下： ， ， ， ， ， ， ，取 为近似值具有4位有效数字。 7设 (1) 写出解 的牛顿迭代格式； (2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度） 解：牛顿迭代式为 ， 方程的根为 ， ， ， 因 ，故迭代局部收敛。又因 ，故迭代收敛速度为1阶。 8 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一个计算 的牛顿迭代法，且不用除法（其中 ）。（牛顿迭代法） 解：考虑方程 ， ， 而 ，该迭代局部收敛。 9 用牛顿法求 的近似值，取 或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造） 解：考虑方程 ， ， 取 为初始值，计算其迭代值如下： ， ， 取 为初始值，计算其迭代值如下： ， ， 10设 是非线性方程 的m重根，试证明：迭代法 具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明） 解：设 是非线性方程 的m重根，则 ，且 及 ，其牛顿迭代函数为 牛顿迭代式 故该迭代的收敛速度至少是2阶的。 11设 是非线性方程 的m重根，证明：用牛顿迭代法求 只是线性收敛。（收敛速度证明） 解：设 是非线性方程 的m重根，则 ，且 及 ，其牛顿迭代函数为 牛顿迭代式 故收敛速度为1阶的。 12设 ， 在 附近有直到 阶的连续导数，且 ， ，试证：迭代法 在 附近是 阶收敛的。  （收敛速度证明） 解：将 在 点附近作泰勒展式，有 ，其中， 在 与 之间。 于是： ，其中， 在 与 之间。 由于 ，故 ，从而 。 因此，迭代的收敛速度为p。 第六章 常微分方程数值解 姓名            学号               班级                 习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。 1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程 的数值解（取步长 ），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用） 解：原方程可转化为 ，令 ，有 解此一阶线性微分方程，可得 。 利用以下公式 求在节点 处的数值解 ，其中，初值为 。 MATLAB程序如下： x(1)=0;%初值节点 y(1)=1;%初值 fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',1,x(1),1,y(1),1,y(1)); for i=1:5 yp=y(i)+0.2*(y(i)-2*x(i)/y(i));%预报值 yc=y(i)+0.2*(yp-2*x(i)/yp);%校正值 y(i+1)=(yp+yc)/2;%改进值 x(i+1)=x(i)+0.2;%节点值 yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1);%精确解 fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%f\n',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1)); end 程序运行的结果如下： x(1)=0.000000, y(1)=1.000000, yy(1)=1.000000 x(2)=0.200000, y(2)=1.220000, yy(2)=1.183216 x(3)=0.400000, y(3)=1.420452, yy(3)=1.341641 x(4)=0.600000, y(4)=1.615113, yy(4)=1.483240 x(5)=0.800000, y(5)=1.814224, yy(5)=1.612452 x(6)=1.000000, y(6)=2.027550, yy(6)=1.732051 2用四阶龙格－库塔法求解初值问题 ，取 , 求 时的数值解. 要求写出由 直接计算 的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用） 解：四阶龙格-库塔经典公式为 由于 ，在各点的斜率预报值分别为： 四阶经典公式可改写成以下直接的形式： 在 处，有 在 处，有 注：这两个近似值与精确解 在这两点的精确值十分接近。 3 用梯形方法解初值问题 证明其近似解为 并证明当 时，它收敛于原初值问题的准确解 。 解：显然， 是原初值问题的准确解。 求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为 对于该初值问题，其梯形公式的具体形式为 ， ， 于是： 亦即： 注意到： ， ，令 ， 有 从而 即：当 时， 收敛于原初值问题的准确解 。 4对于初值问题 ，证明当 时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公式的稳定性讨论） 证明：显式的欧拉公式为 从而 ，由于 ， ， 因此，显式欧拉公式绝对稳定。 隐式的欧拉公式为 ， 由于 ， ， 因此，隐式的欧拉公式也是绝对稳定的。 5证明：梯形公式 无条件稳定。（梯形公式的稳定性讨论） 解：对于微分方程初值问题 其隐式的梯形公式的具体形式可表示为 ， ， 从而 由 ， 可知， ，故隐式的梯形公式无条件稳定。 6设有常微分方程的初值问题 ，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式 ，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算） 解：假设 ， ，利用泰勒展式，有 又 欲使其具有尽可能高的局部截断误差，必须 ， ， 从而 ， ， 于是数值计算公式为 。 该数值计算公式的局部截断误差的主项为 7已知初值问题 取步长 ，利用阿当姆斯公式 ，求此微分方程在[0，10]上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用） 解：假设 ， ，利用泰勒展开，有 ， ， 而 该阿当姆斯两步公式具有2阶精度，其局部截断误差的主项为 。 取步长 ，节点 （ ），注意到 ，其计算公式可改写为 仅需取一个初值 ，可实现这一公式的实际计算。 其MATLAB下的程序如下： x0=0;%初值节点 y0=0;%初值 for n=0:99 y1=y0+0.02*n+0.01; x1=x0+0.1; fprintf('x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8f\n',n+1,x1,n+1,y1); x0=x1; y0=y1; end 运行结果如下： x(  1)=0.10000000,y( 1)=0.01000000 x(  2)=0.20000000,y( 2)=0.04000000 x(  3)=0.30000000,y( 3)=0.09000000 x(  4)=0.40000000,y( 4)=0.16000000 x(  5)=0.50000000,y( 5)=0.25000000 x(  6)=0.60000000,y( 6)=0.36000000 x(  7)=0.70000000,y( 7)=0.49000000 x(  8)=0.80000000,y( 8)=0.64000000 x(  9)=0.90000000,y( 9)=0.81000000 x( 10)=1.00000000,y( 10)=1.00000000 x( 11)=1.10000000,y( 11)=1.21000000 x( 12)=1.20000000,y( 12)=1.44000000 x( 13)=1.30000000,y( 13)=1.69000000 x( 14)=1.40000000,y( 14)=1.96000000 x( 15)=1.50000000,y( 15)=2.25000000 x( 16)=1.60000000,y( 16)=2.56000000 x( 17)=1.70000000,y( 17)=2.89000000 x( 18)=1.80000000,y( 18)=3.24000000 x( 19)=1.90000000,y( 19)=3.61000000 x( 20)=2.00000000,y( 20)=4.00000000 x( 21)=2.10000000,y( 21)=4.41000000 x( 22)=2.20000000,y( 22)=4.84000000 x( 23)=2.30000000,y( 23)=5.29000000 x( 24)=2.40000000,y( 24)=5.76000000 x( 25)=2.50000000,y( 25)=6.25000000 x( 26)=2.60000000,y( 26)=6.76000000 x( 27)=2.70000000,y( 27)=7.29000000 x( 28)=2.80000000,y( 28)=7.84000000 x( 29)=2.90000000,y( 29)=8.41000000 x( 30)=3.00000000,y( 30)=9.00000000 x( 31)=3.10000000,y( 31)=9.61000000 x( 32)=3.20000000,y( 32)=10.24000000 x( 33)=3.30000000,y( 33)=10.89000000 x( 34)=3.40000000,y( 34)=11.56000000 x( 35)=3.50000000,y( 35)=12.25000000 x( 36)=3.60000000,y( 36)=12.96000000 x( 37)=3.70000000,y( 37)=13.69000000 x( 38)=3.80000000,y( 38)=14.44000000 x( 39)=3.90000000,y( 39)=15.21000000 x( 40)=4.00000000,y( 40)=16.00000000 x( 41)=4.10000000,y( 41)=16.81000000 x( 42)=4.20000000,y( 42)=17.64000000 x( 43)=4.30000000,y( 43)=18.49000000 x( 44)=4.40000000,y( 44)=19.36000000 x( 45)=4.50000000,y( 45)=20.25000000 x( 46)=4.60000000,y( 46)=21.16000000 x( 47)=4.70000000,y( 47)=22.09000000 x( 48)=4.80000000,y( 48)=23.04000000 x( 49)=4.90000000,y( 49)=24.01000000 x( 50)=5.00000000,y( 50)=25.00000000 x( 51)=5.10000000,y( 51)=26.01000000 x( 52)=5.20000000,y( 52)=27.04000000 x( 53)=5.30000000,y( 53)=28.09000000 x( 54)=5.40000000,y( 54)=29.16000000 x( 55)=5.50000000,y( 55)=30.25000000 x( 56)=5.60000000,y( 56)=31.36000000 x( 57)=5.70000000,y( 57)=32.49000000 x( 58)=5.80000000,y( 58)=33.64000000 x( 59)=5.90000000,y( 59)=34.81000000 x( 60)=6.00000000,y( 60)=36.00000000 x( 61)=6.10000000,y( 61)=37.21000000 x( 62)=6.20000000,y( 62)=38.44000000 x( 63)=6.30000000,y( 63)=39.69000000 x( 64)=6.40000000,y( 64)=40.96000000 x( 65)=6.50000000,y( 65)=42.25000000 x( 66)=6.60000000,y( 66)=43.56000000 x( 67)=6.70000000,y( 67)=44.89000000 x( 68)=6.80000000,y( 68)=46.24000000 x( 69)=6.90000000,y( 69)=47.61000000 x( 70)=7.00000000,y( 70)=49.00000000 x( 71)=7.10000000,y( 71)=50.41000000 x( 72)=7.20000000,y( 72)=51.84000000 x( 73)=7.30000000,y( 73)=53.29000000 x( 74)=7.40000000,y( 74)=54.76000000 x( 75)=7.50000000,y( 75)=56.25000000 x( 76)=7.60000000,y( 76)=57.76000000 x( 77)=7.70000000,y( 77)=59.29000000 x( 78)=7.80000000,y( 78)=60.84000000 x( 79)=7.90000000,y( 79)=62.41000000 x( 80)=8.00000000,y( 80)=64.00000000 x( 81)=8.10000000,y( 81)=65.61000000 x( 82)=8.20000000,y( 82)=67.24000000 x( 83)=8.30000000,y( 83)=68.89000000 x( 84)=8.40000000,y( 84)=70.56000000 x( 85)=8.50000000,y( 85)=72.25000000 x( 86)=8.60000000,y( 86)=73.96000000 x( 87)=8.70000000,y( 87)=75.69000000 x( 88)=8.80000000,y( 88)=77.44000000 x( 89)=8.90000000,y( 89)=79.21000000 x( 90)=9.00000000,y( 90)=81.00000000 x( 91)=9.10000000,y( 91)=82.81000000 x( 92)=9.20000000,y( 92)=84.64000000 x( 93)=9.30000000,y( 93)=86.49000000 x( 94)=9.40000000,y( 94)=88.36000000 x( 95)=9.50000000,y( 95)=90.25000000 x( 96)=9.60000000,y( 96)=92.16000000 x( 97)=9.70000000,y( 97)=94.09000000 x( 98)=9.80000000,y( 98)=96.04000000 x( 99)=9.90000000,y( 99)=98.01000000 x(100)=10.00000000,y(100)=100.00000000 第七章 线性方程组的迭代解法 姓名            学号               班级                 习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。 1证明：迭代格式 收敛，其中 。（迭代法收敛性判断） 解： 因 ，故迭代收敛。 2若用雅可比迭代法求解方程组 迭代收敛的充要条件是 。（雅可比迭代法的收敛性） 解：原线性方程组的等价方程组为 其雅可比迭代式为 其收敛的充要条件是 ，即 。 3 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组 是否收敛？为什么？若将方程组改变成为 再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性） 解：雅可比迭代式为 其 ，故雅可比迭代发散。 高斯-塞德尔迭代式为 其 ，故高斯-塞德尔迭代发散。 对于线性方程组 ，即 ，其雅可比迭代为 ， 其 ，故雅可比迭代收敛。 ， 其 ，故高斯-塞德尔迭代收敛。 4证明解线性方程组 的雅可比迭代收敛，其中 。（雅可比迭代收敛性判断） 解：雅可比迭代为 ， ， 其 ，故雅可比迭代收敛。 5已知方程组 ，其中 ， (1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。 (2) 若有迭代公式 ，试确定 的取值范围，使该迭代公式收敛。（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论） 解：雅可比迭代式为 其 ，故雅可比迭代收敛。 高斯-塞德尔迭代式为 其 ，故高斯-塞德尔迭代收敛。 对于以下迭代式 故 的特征值为 ， 。 当 ， 同时满足，即 ， 同时满足时，亦即 ， 时，有 从而迭代收敛。 6给出矩阵 ，（ 为实数），试分别求出 的取值范围： (1) 使得用雅可比迭代法解方程组 时收敛； (2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组 时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论） 解：雅可比迭代为 当 时， ，使雅可比迭代收敛。 高斯-塞德尔迭代为 仍然是当 时， ，使高斯-塞德尔迭代收敛。 7设 ， (1) 设 是由雅可比迭代求解方程组 所产生的迭代向量，且 ，试写出计算 的精确表达式。 (2) 设 是 的精确解，写出误差 的精确表达式。 (3) 如构造如下的迭代公式 解方程组 ，试确定 的范围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断） 解：原线性方程组等价于 ，其雅可比迭代为 将上述迭代式记作 ，从而 而 ， ，若记 ，则 ， ，… 于是 ， ， ， ， ，… 当 为偶数时， 当 为奇数时， 总之， 。 的特征多项式为 ，故其特征值为1，3。 对于迭代 其迭代矩阵为 ，其特征值为 ， 。当 时， ，该迭代收敛。 8对于给定的线性方程组 （1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 （2）对收敛的方法，取初值 ，迭代两次，求出 。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较） 解： ， 雅可比迭代式为： ，取 计算迭代阵的特征值 故 ，雅可比迭代收敛。 高斯-塞德尔迭代式 ，取 计算迭代阵的特征值 故 ，高斯-塞德尔迭代发散。 对于雅可比迭代，取 ，可得 ， ， 进一步的计算可知， 。 9 证明对称矩阵 当 为正定矩阵，且只有当 时，用雅可比迭代法求解方程组 才收敛。（雅可比迭代法的收敛性） 解：矩阵A的各级顺序主子式分别为 ， ， 当 时，上述各级顺序主子式均大于零，故A正定。 其雅可比迭代式为 其迭代矩阵的特征多项式为 迭代矩阵的特征值为 和 。当 时， ，雅可比迭代收敛。 第八章 线性方程组的直接解法 姓名            学号               班级                 习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。 1用高斯消去法解方程组 。(高斯消去法的应用) 解：用 ， ， ， 依次左乘方程组两边（采用高斯消去法），有 解得： ， ， 。 2用LU分解法求解线性方程组 。（LU分解法的应用） 解：原线性方程组的系数矩阵，右端列向量分别为 ， ，其中， ， 解 ，可得： ，解 ，可得： 。 3设 ，求A的LU分解。（LU分解法的应用） 解： ， 4试用“追赶法”解方程组 ，其中： ， （追赶法的应用） 解：追的过程： 由第1个方程，有 代入第2个方程，解出 再代入第3个方程，解出 。 赶的过程： 将 代入 ，得到 。再将 代入 ，得 。 故原线性方程组的解为 。 5设 ，求 （条件数的计算） 解： 的特征值分别为2，7，故 。 从而 ，故 。 6求证： ， （范数的性质） 证明：设 和 为n阶方阵，对于任意给定n维向量 ，有 故 。 由 有： ，从而 。 7求证： 。（范数的性质） 证明： ，设 的最大特征值为 ，其特征向量为 ，且 从而 。 ， 故 。 8对矩阵 ，求 ， ， 和 。（范数，条件数的计算） 解：行范数 ，列范数 ，且 为实对称矩阵。 其特征值分别为 ， 。 的特值值分别为 ， 。 故 ， 。 9方程组 ，其中 ， 是对称的且非奇异。设 有误差 ，则原方程组变化为 ，其中 为解的误差向量，试证明： ，其中 和 分别为 的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析） 证明： 是对称的且非奇异，则 ， ， ，于是， 所证明的不等式等价于 ，亦即 由 ，有 ，从而 ，注意到 ，有 于是 10证明：若 为严格对角占优矩阵，则 非奇异。（严格对角占优矩阵的性质） 解：据 严格对角占优，有 用反证法，假设 为奇异阵，则存在着非零向量 ，使得 。 由于 ，不妨设 ，则 ，于是 ， 这显然与条件相矛盾，故 为非奇异阵。