导数的介值定理的八种证明方法
金玮,宋矞,张敏东
(宁夏大学数学与计算机学院,宁夏银川750021)
摘要:给出了导数的介值定理的内容,并用不同的方法对定理进行了严格的证明.内容丰富,方法多样,以利于对该定理的深入了解和更为广泛的应用.关键词:导数;介值定理;导数的介值定理中图分类号:O174.41文献标识码:A
众所周知,导数的介值定理在研究函数的性质方面起着重要的作用.连续函数有介值定理,一些不连续函数也有其介值定理,闭区间上任何可微函数的导函数(间断点处的左右导数存在)可能有间断点,但介值定理成立.导数的介值定理表明,若f(x)在[a,b]上可导,则f(x)在[a,b]上不会有第一类间断点,因此,如果f(a) f(b),那么f(x)在(a,b)内必要毫无遗漏的取遍f(a)与f(b)之间的一切值.即,在导函数于区间[a,b]上存在(未必连续)的条件下,导函数在区间[a,b]上可取两个导数值f(a)与f(b)之间任何值.本文给出了导数介值定理的八种证明方法,概括了导数介值定理证明的几种指导思想.前三种方法都与方法一类似,即先构造辅助函数利用连续函数的介值定理及零点存在定理,完成导数介值定理的证明,这种证明简单明了,但要用到连续函数的介值定理.第四种方法利用了定理的等价性,第五种和第六种方法给出了导数介值定理的两种新方法,第七和第八种方法独特,可以说是证明导数介值定理的指导思想.
1导数的介值定理
定理1若f(x)在[a,b]上可微,则对于f(a)与f(b)之间的任一数,必有一点c!(a,b),使得
f(c)=.
2定理的证明
2.1证法一
不妨设f(a)<
a),limx?a+(x)-(a)x-a
=(a)#0.而(a)=f(a)-#0,即f(a)#,这与f(a)<矛盾.因此不可能是a.
同理不可能是b.故只能在(a,b)内.定理1得证.2.2证法二
不妨设f(a)<B,
于是存在?>0,当0<|%x|B.因为A<0.
这说明(x)的导函数在[a,b]上变号.如果不存一点c!(a,b),使得
(c)=0,
即
(x) 0,x![a,b].
由定理可得(x)或恒大于0,或恒小于0.这和(a)<0,(b)>0矛盾.因此有一点c!(a,b),使得
(c)=0.
即
f(c)=.
(2)若导数的介值定理成立,证明定理2成立.
设在[a,b]上f(x) 0,而f(x)在c!(a,b)上不恒大于或不恒小于0.即f(x)在[a,b]上可变号.因此必有在两点x1,x2![a,b],使得f(x1)和f(x2)异号.对介于f(x1)和f(x2)中的数0,由导数的介值定理必存在一点c!(a,b),使得
f(c)=0.
这和在[a,b]上f(c) 0矛盾.因此如果在[a,b]上f(c) 0,则f(x)在[a,b]上恒大于0或恒小
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甘肃联合大学学报(自然科学版)第22卷
于0.
现在证明定理1.首先,注意到,由于
f(x) 0,x![a,b],
在x![a,b]中不可能有两点x1,x2使得
f(x1)=f(x2).
否则由Rolle定理,必有一点#!(a,b) [a,b],使得f(#)=0.这和f(x) 0矛盾,从而在[a,b]内任意两点f(x)的值不可能相等.
其次,在[a,b]内,不妨设f(a)>f(b),此时可证得f(x)<0,x![a,b],要不然,必有一点c,使得f(c)>0.因此lim%x?0+f(c+%x)-f(c)%x=f(c)>0,(可设c a),即有
f(c+%x)-f(c)>0,
故存在d>c,使得f(c)f(b),由于f(c)f(b)不可能,显然f(c)=f(b)也不可能.
这说明在[a,b]上f(a)>f(b),f(x) 0,不可能有一点c,使得f(c)>0,从而证明了在[a,b]上,f(x)<0.
若f(a)0,x!(a,b).定理1得证.2.5证法五
不妨设f(a)f(b)-?.
因为
f(a)+?
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