粗糙集
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题目 粗糙集综述
1 粗糙集属性约简
1.1 经典粗糙集属性约简
对于经典粗糙集我们可以用上下近似来描述。
给定知识库
,对于每个子集
和一个等价关系
,定义两个上下近似:
另外上下近似还可以用以下的等式
表
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达:
当利用区分矩阵来表达知识时有许多优点,特别是他能很容易计算约简和核。约简是满足能区别由整个属性集区别的所有对象的属性极小子集。如果A包含B是满足B交区别对象x和y的所有属性集合的极小子集不为空,且区别对象x和y的所有属性集合的极小子集不为空,则B是A的一个约简。核是区分矩阵中所有单个元素组成的集合。
对于决策表,C为条件属性集,D为决策属性集,决策表S的区分矩阵是一个
矩阵,其任一元素为
对于
,
或者
,
或者
如果
的极小子集(关于包含),则
是C的D约简(相对约简).
D核(相对核)是决策表S的区分矩阵中所有单个元素组成的集合,即
1.2 变精度粗糙集属性约简
变精度粗糙集是粗糙集的扩充,它是在基本粗糙集模型的基础上引入
,即允许一定程度的错误分类率存在。这一方面完善了近似空间的概念,另一方面也有利于粗糙集理论从认为不相关的数据中发现相关数据。当
=0时,经典粗糙集模型是变精度粗糙集模型的一个特例。
X和Y表示有限论域U的非空子集,且
。
令
多数包含关系定义为
。
约简是保持和决策属性Q的依赖性相同的最小条件属性子集。通过近似以来的定义来引入近似约简概念。
条件属性集P关于据测属性集Q的
约简是P的一个子集
,且满足:
.
引入
参数后,扩充了基本粗糙集理论,更好体现了数据分析中的数据相关性,从而为获取近似决策规则奠定了基础。
1.3 概率粗糙集属性约简
概率是对不确定的随机事件的一种客观的反映。经典粗糙集模型是基于可利用信息的完全性的,因而忽视了可利用信息的不完全性和可能存在的统计信息,从概率论的观点出发来研究粗糙集理论,为研究不确定信息系统提供了新的粗糙集模型。
设U是有限对象构成的论域,R是U上的等价关系,其构成的等价类为
。
令P为定义在U的子集类构成的
代数上的概率测度,三元组
称为概率近似空间。U中的每个自己称为概念,它代表一个随机事件。
定义X关于概率近似空间
依参数
概率
型下近似
和上近似
如下:
,
。
当
时,称X依参数
关于
是概率
型可定义,否则称X依参数
关于
是概率
型粗糙集。同样概率粗糙集模型还有很多其他形式如概率
型,概率
型,概率
型。
设
为一个信息系统,
为等价关系R在U上导出的划分,S为U上另一个等价关系,且
,则在已知知识
时知识
的正则条件熵定义为
显然
。
系统K中的属性子集
称为关于属性集
是统计依赖的,若存在M的一个真子集L使
,否则称M关于B是统计独立的。N称为M关于B的所有相对约简记为
,所有这些约简的交集称为M关于B的相对核,记为
。
系统K中的属性子集
称为关于属性集
是统计依赖的,若存在M的一个真子集L使
,否则称M关于B是统计独立的。N称为M关于B的一个相对约简,若N是M关于B的一个极大统计独立子集,M关于B的相对约简记为
。
属性a在A中称为统计可省略的,若
,否则称a在A中为统计不可省略的。属性a在A中称为关于属性集D是统计不可省略的,若
,否则称a在A中关于属性集D是统计不可省略的。
1.4 模糊粗糙集及其发展情况
在人们的实际生活中,涉及更多的是模糊概念和模糊知识。反映在粗糙集模型中主要有两类,一类是知识库的知识是清晰的,而被近似的概念是模糊的,另一类是知识库的知识和被近似的概念都是模糊的。
在经典粗糙集模型中,论域U上任意一个经典集合A不一定能用知识库
中的知识来精确描述,这时就用A关于
的一对上下近似来描述。但在实际生活中,人们涉及到的知识火概念往往是模糊的不确定的,即A是U上的一个模糊集合,于是提出了模糊粗糙集模型。
设
是经典近似空间,即R是论域U上的一个等价关系。若A是U上的一个模糊集合,贼A关于
的一堆下近似
和上近似
定义为U上的一对模糊集合,其隶属函数分别定义为
其中
为元素x在关系R下的等价类。若
,则称A是可定义的,否则称A是模糊粗糙集。当A是U上的经典集合时,
就退化为A在经典意义下关于
的下近似和上近似,因此模糊粗糙集就是在经典粗糙集下的推广。
在经典粗糙集模型中知识库中的知识都是清晰的,即近似空间中的集合都是经典集合。但是在实际问题中知识库往往是模糊的,也可用知识库中的模糊知识来近似的粗糙集模型来讨论模糊集,称之为基于三角模的模糊粗糙集模型。
同样,我们知道知识表示系统中,论域中的概念是用知识库中的知识来描述的,在决策表中还可以提取决策规则。从协调的决策表中可以提取额确定性规则,而从不协调的决策表中只能抽取不确定规则或可能性规则,这是因为在不协调的系统中存在着矛盾的事例。这种从决策表中抽取规则的推理的实质是一种广义的包含关系。因此,从包含度的概念可以定义出基于包含度的粗糙集模型。
2粗糙集的推广
2.1 从关系来对粗糙集进行推广
目前从R这方面的推广主要有:把R定义为等价关系,也就是经典粗糙集。
R同样可以定义为一般关系、相似关系、黄金关系、多关系、灰色关联、优势关系、余等价关系、强对称关系、约束关系、限制容差关系、相容关系、类传递关系、自相关关系等。
2.2 从包含来对粗糙集进行推广
从包含关系来推广主要有:完全包含、部分包含、概率包含等。
2.3从论域来对粗糙集进行推广
从论域来推广主要有:多论域、可测空间、随机集、模糊论域等。
2.4从子集来对粗糙集进行推广
从子集对粗糙集推广主要有:模糊、不完备等。
2.5从取值来对粗糙集进行推广
从点对粗糙集进行推广主要有:点、区间、模糊数等。
3
总结
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通过一学期的学习对粗糙集有比较深入的了解。虽然粗糙集在各个领域都有了很深入的研究,但仍旧有很多发展的空间。 这门课不光学到了许多关于粗糙集理论的相关知识和内容,也同样学到了很多思维方式和学习
方法
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,对一个已知的知识进行推广想像,从各个领域推广,均有很大的发展空间。
通过粗糙集的学习,加深了我对粗糙集理论基础内容的认识,同时为我后续的学习奠定了基础,拓展了我的知识面,增强了自己的专业修养,学无止尽,还需在后续的课程学习中,多学,多看,多写。
参考文献
[1]张文修,吴伟志,梁吉业,李德玉.粗糙集理论与方法. 北京:科学出版社.
[2] 苗夺谦,李道国. 清华大学出版社.