加法幂等半环上复合矩阵的若干性质

加法幂等半环上复合矩阵的若干性质 福建农林大学学报(自然科学版) JournalofFujianAgricultureandForestryUniversity(NaturalScienceEdition) 第41卷第3期 2012年5月 加法幂等半环上复合矩阵的若干性质 黄衍,周梅萍 (福建农林大学计算机与信息学院,福建福州350004) 摘要:探讨了加法幂等交换半环上的复合矩阵,获得了复合矩阵的若干性质;并给出了复合矩阵的一个不等式,同时讨论 了该不等式成立的条件. 关键词:加法幂等半环;矩阵;积和式;复合矩阵 中图分类号:0151.21文献标识码:A文章编号:1671-5470(2012)03-0333-04 Somepropertiesofcompoundmatricesoveranadditivelyidempotentsemiring HUANGYan,ZHOUMei—ping (CollegeofComputerandInformation,FujianAgricultureandForestryUniversity,Fuzhou,Fujian350 002,China) Abstract:Thecompoundmatricesoveracommutativeadditiv由idempotentsemiringwereapproached.Somepropertiesoftom- poundmatriceswere~ivenandaninequalityforthecompoundmatrixwasobtained.Theconditionsforth eestablishmentinequality withequalityweregiVen. Keywords:additlvelyidempotentsemiring;matrix;permanent;compoundmatrix 利用复合矩阵定义可加复合矩阵,为解决动力系统的全局稳定性,周期轨道的存在性等问题开辟了新 途径nI2].交换环上复合矩阵及复合伴随矩阵的若干性质近年来得到广泛研究I4].许多学者探讨了加法 幂等半环上矩阵的若干性质[5],本文在此基础上将交换环上复合矩阵的相关性质拓展到加法幂等交换 半环,得到一个不等式,同时讨论该不等式成立的条件. 1预备知识? 设R是带有2个二元运算”+”和”?”的代数系统.如果R满足(尺,+)是一个交换幺半群(其单位元 设为0);(,?)是一个幺半群(其单位元设为1);且V,Y,?R,均有x(y+)=xy+,(y+)=yx+ , ? 0=0?=0,(0?1),则称R为一个半环],记为(R,+,?),或简记为R. 一 个半环称为交换的,如果对任意a,bER,均有ab=ba.R称为加法幂等的,对于任意a?R,均有a +a=a.显然,布尔代数,Fuzzy代数,有界分配格以及交换坡[8叫均为特殊的加法幂等交换半环. 本文中, R表示一个加法幂等交换半环. 在加法幂等半环R上,定义关系”?”如下:abcva+b=b(a,b?R).不难验证,关系”?”是R上的 一 个偏序关系,并且: (1)O是中的最小元,即对于任意a?R,均有0?口; (2)对于任意a,b?R,由a?6可推出a+c?6+c与ac?6c. 加法幂等半环上全体n阶方阵组成之集记为坂().对于A?M(尺),用口或()表示A中(i,-『) 处的元素.A为的转置矩阵.A为常项矩阵,若Vi,j,k?N,N=.【l,2,…,),均有a=??.A为单项 矩阵,若A的每行每列仅有一个非零元?,设A,B?(,定义A+B=(+6),AB=(?口6茸),那 么((),+,?)也是一个加法幂等半环. 在半环()上,定义关系”?”如下:A?(A,B?()),当且仅当对于任意,,J?N,均有a?6, 收稿日期:201l—o9一l5修回日期:2012-02—20 基金项目:福建农林大学青年教师科研基金资助项目(2010017). 作者简介:黄衍(198=k.矩阵A中的a,…,I行和卢一,列所构成的矩阵称为A的k阶子矩阵,记为 Af?…1.去除”,行和卢,…,列后所构成的矩阵称为A的n—k阶子矩阵,记为,”,/ A【】,定义为A后阶子式,财有 (A(t…a为集合吐的置换群). 同样记perfA『,…?11为A的,l—k阶余子式.,?1,…,/ 定义3[加设A?M(尺)(,I?2),A关于第i行第_『列的余子式(记作per())是去掉矩阵A的第i行 第_『列后得到的(万一1)X(n一1)阶矩阵的积和式,b=per()(,,.『??),则矩阵B=(b)为矩阵A的伴 随矩阵,记为adj(A). 定义4设A?肘(R),定义A的k次复合矩阵C.(A)表示如下:cI(A)是一个C:阶矩阵,其位于第 行第JB列位置的元素为per(A(::)),记为(ct(A))印,其次序按词典法排列? 例1: ,,口11口12 设A:1口22l ka3la3 a13, 口?I,贝?C2(A) 0”33) (口111,a21622I 1,口3l口32/ 1,a31a32/ 引理I设A=(口)?MARai2”““a诅(i?N). 证明:设AeM.(R),则per(A)=0(1)l口)2…口),由于A是常项矩阵,则有a/k=,所以 per(A)=n(1)l口(2)2…a()=ail口口…口由I.证毕. 2复合矩阵的性质 首先,给出复合矩阵的几个基本性质. 定理1设AE(R),a?R,则有: (1)CI(A)=CI(A);(2)CI(nA)=akG(A);(3)设厶?M,贝有CI(,)=? 证明:(1)设4?(R),则(cI(A,))审=perfA(“„))=(c(A”为数的普通乘法. 显然R是一个加法幂等交换半环,但不是一个交换环.现取R上的矩阵 f,0?1o?2o?31f,o?20?10-3,\ A=10.20.10.3I,B=IO.30.20.1I1 0.1o.10.2J10.30.3o.1j ,,8?1×105?4×105.4 C2(A=l5.4×10—2.7×10—2.7 - t,5.4×10—3.6X10—3.6 ,,3.6X10,5.4×10一 C2()C2()=I3.6×102.7×10 l2.7×10一3.6×10—3 × × × 5.4× 2.7× 3.6× 显然C2(A)?C2(A)C2(B). 下面给出加法幂等交换半环上的相关结论,并且讨论该不等式等号成立的条件. 定理2设A,B?(R),C=AB?(),则有C(AB)?CI(A)Ck(). 证明:设Qh={=61,…,},1?1<…<61…<?},由定义4可知,要证CI(AB)? C(A)C.(),只需证明对任意,?Qh均有 per(c?er(A(per(() 现令i=(口.Ii?a口2i,…,aat1),并记Ak=(l,(D2,…,69), r6l6l卢2…6,1 : … I;;』6硝6嘞…6 则有 per(c(麓))…i=1,,…,6帆) 那么由引理1有 (c))=Z,…以《,lper(per,一-以(2—1) 其中(?,…,)表示从矩阵(/o,?:,…,)中任意取出.j}列所组成的阶矩阵,可见这样的后 阶矩阵共有个.因此在式(2—1)的右边共有个形如per(to?,…,?.)66啦…b哦的项.在这n? 项中.,:,…,钆互不相同的项共有P:=(一1)…(,l一后+1)个.下面仅考虑这项,在 (?l,,…,?)中任意取互不相同的k列,即(,,…,),令艿={61,82,…,)EQh. 设S表示集合{.,…,)上的置换群.由于调换矩阵列的位置并不改变矩阵积和式的值,所以,有 per((61),?(),…,?())6矿(占1)卢l6()…b() =per(6l,?赴,…,)?6(61)I6()…b() r (A())per)) 于是有 ? 336?福建农林大学学报(自然科学版)第41卷 Z一 per(t)eI90)a29”„“90)ak ???per(toI)?to2一,?))6ll)…bpertoto)flbI?:(61),(62),…,?(6))6(6ll(赴)卢2…口(6)卢I :: :,:,…,nh per(, A19/1 , 9”“ , , 一 ~))per((::::)) 即C(AB)?C(A)C(B).证毕. 下面讨论不等式成立的2种情况. 定理3设A,B?M(R),C=AB?Mn(R),有 (a)若A及B都为常项矩阵,则CAn)?adj(A)adj(B). 参考文献 [1]PAUGHC,ROBINSONC.ThecclosinghmmainchdingHamiltonins[J].Er#Th&DynamSys, 1983,32(3):261—313. [2]JAMESS.Muldowneycompoundmatricesandoridinarydifferentialequations[J].JournalofMathe maticals,1990,20(4):119 — 239, 向大晶.复合矩阵与复合伴随矩阵的关系[J].西南师范大学学报,2001,26(3):247-251. 王莹,郑宝东.交换环上的复合伴随矩阵[J].黑龙江大学学报:自然科学版,2005,22(1):113—116. TANYJ.Onnilpotencyofgeneralizedfuzzymatrices[J].FuzzySetsandSystems,2010,161:2213—2226. 官明友,谭宜家,李德新,等.加法幂等半环上矩阵的同时幂零性[J].福建农林大学学报:自然科学版,2O09,36(6):668—672. 周梅萍.关于坡上矩阵的秩[J].福建农林大学学报:自然科学版,2009,38(1):109—112. GOLANJS.SemiringsandTheirApplications[M].Dordrecht:KhwerAcademicPublishers,1999. CAOZQ,KIMKH,ROUSHFW.InclineAlgebraandApplications[M].NewY0rk:JohnWihy,1984. ]BAPATRB.Permanentsmaxalgebraandoptimalassignment[J].LinearAlgebraandItsApplications,1 995,228:73—86. ]HANSC,LIHXThesemigroupofinclineHaumatfices[J].LinearAlgebraandItsApplications,2004,3 90:183—196. (责任编辑:叶济蓉) ,,?????????/ lOOO ???10一 O一.. O O00l ,,................... 一,/ A /L I — C /L \,???????_,\ lO0O 一1O? O一.. 0 OO01 /,,......,........... _一/ lI m?