【word】 从一道高考题的一题多解谈点与圆的位置关系问题

【word】 从一道高考 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的一题多解谈点与圆的位置关系问题 从一道高考题的一题多解谈点与圆的位置 关系问题 2011年第1期福建中学数学43 一 (4.+4+4+…+4一?), 令4=X,则 : 2(1+2+3+4+…+”.”一)+(1—4) = 2(x+x++…+)?+(1—4) „ +4 ,,(1一)[1一(n+1)x]+X—X 一厶一 f1一1 再将X换成4,得 T:2 化简整理得=去[(6”一5)?4+5】.U 点评从以上两例可以看出,利用导数法求差比 型数列的前项的和实为方便,并且具有一般性,即 设数列{}是公差为d(d?O)的等差数列,数列} 是公比为q(q?1)的等比数列,则数列{an}的通项 ab=[dn+(a一e1)]?blq,=dbInq+(l—d)blq,.令 = dblnq,D=(aI—d)blq.,则anb=+. . 由于数列{}是一个等比数列,其前n项和易 求;而数列{}的通项=幽nq中的式子御很 容易使我们联想幂函数的求导法则的逆运算 nx=(xn). 若令q=x,则数列}的前项和G++G+...+ =db,(1+2+3+…+艇一):(.+X+X+…+”) = 幽()=,最后再将换回 q,这样就求出了数列{)的前项和,从而数列 {a.b}的前17项和也就迎刃而解了. 从一道高考题的一题多解谈点与圆的位置关系问题 寿利军浙江省诸暨市第二高级中学(312000) 题目(2010年高考浙江卷?理21)已知m>1, 一 22 直线,:—my一=0,椭圆C:+Y=1,,F2 m一 分别为椭圆C的左,右焦点. (I)当直线,过右焦点时,求直线,的方程; (II)设直线,与椭圆c交于,两点, F2,AF2的重心分别为G,H.若原点D在 以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围. r \u.. / 本题主要考察椭圆的几何性质,直线与椭圆, 点与圆的位置关系等基础知识,同时考察解析几何 的基本思想方法和综合解题能力.其中第二小题中 点圆的位置关系条件的应用,可以从以下三个方向 切入,各有其不同的优势. 结论一若设点为GH的中点, 原点0在以线段GH为直径的圆内 ?2[MOI<IGHf; 原点0在以线段GH为直径的圆上 ?2[MoI=IGHI; 原点0在以线段GH为直径的圆内 ?2[MOI>IGHf. 解法一 (I)解因为直线,:一一=0经过 (,0),所以=等,得2. 又因为m>1,所以m=?2,故直线,的方程为 x一y一1:0. (1I)解设(,Y1),B(x2,Y), , 消去得2y2++等一1=0, 2 : ,????????』,?????【臼 福建中学数学2011年第1期 则由?一8(手一]…., 且有+=一m,.=等一圭. 由十i(-c,0),敢0为的中点? 由=2一GO,丽:2HO, 可知G(?,),(,), I伽I=+. 设是G日的中点,则(,), 由题意可知21MOI<IGHl [(半]2 即xlx2+YlY2<0. < 9 ~xlx2+YlY2=(mY1+m--;l(mY十 = (2+?) . ? . 等<0,即<4, 又?..m>I且A>0,...I<m<2. . ? . m的取值范围是(1,2). 点评这种方法主要利用了数形结合思想,用距 离公式引出条件. 结论二若圆M的方程为(X--a)+一6)=,, 点O(xo,)在圆M内 (xo一口)+(-b)<,; 点O(xo,Yo)在圆M上 (Xo一口)+(-b)=,.; 点O(xo,Yo)在圆M外 (Xo一口)+(一6)>r. 解法二 (II)解设(,Y1),(,Y2), f.” 由hx=my+~-X2, 消去得2++等一l=.,由l,消去得2++一l=0,I+=1 则由A=m2-8f等一1]=+8>.,知8, _ 1~Yl+一m,Yl” „ Y2= 等专 由于F,(-c,0),故0为的中点, 由=2-6-6,丽=2HO, 可知G(詈,誓),(,), . ? . 以GH为直径的圆的圆方程为 一 詈一詈)+(J,一导)(一Y2=o, 展开得 2 一 3+9+一3+丝9=O,? 将D(0,0)代入得<0,而 =my,+ 譬++2+J【2+J+ = (2+)f等一 . ? . 等一<0,I~llm, 又?.?m>1且?>0,.?.1<m<2. . ? . m的取值范围是(1,2). 点评本法是常规思路,容易想到,但计算比较 麻烦,适合方程已知或容易得到的情形. 结论三若设点M为GH的中点, 原点0在以线段GH为直径的圆内?ZGOH为 钝角?.一OH<0; 原点0在以线段GH为直径的圆上铮/GOH为 直角?oG.=0; 原点0在以线段GH为直径的因外?ZGOH为 锐角?一OG.一OH>0. 解法三 (11)解设(,Y1),B(x2,Y2), f 由一2 , 消去得2y++}m-1-o,由{2,消去得+,,+—一=o,l+=1? 则由A=m2-8(-~-一11.一2+8>o,知<8,且有 ,1?????J 2011年第1期福建中学数学45 mm?l Yl+Y2一,?.y2一82 由于(-c,0),故0为的中点, 由=2丽,丽:2一HO, 可知G(詈,誓),(詈,警], 0-6?oH=(詈,导],(等,导]=. IffJXlX2+YlY2= (my+m--:lfm~+等 = (?)f等一 又因为原点0在以线段GH为直径的的圆内,所 以为钝角,一OG.一OH<0,即X1X2+YlY2<0, . ? . 等<0<4. . ? . m的取值范围是(1,2). 点评本法利用向量方法解决解析几何问题,计 算较前两种方法要简单,适合解答题的解题. 以上三种方法殊途同归,三种解法为我们以后 处理点与圆位置关系的提供了三个方向,读者可以 试着用以上方法解决如下问题(2006年高考湖北 卷?理科): 2 ,, 2 设,分别为椭圆+告=l(a,b>0)的左, a—D一 右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的 右准线. (I)求椭圆的方程; (?)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一 点,若直线P,P分别与椭圆相交于异于,的 点,JV,证明点在以删为直径的圆内. “形似联想??证明不等式 肖乐农湖南省新化县教师进修学校(417600) 形似联想,是指由一件事物的认识引起对与其 形态形似的另一件事物的联想,它在认识活动中起 桥梁作用.就解题而言,由命题的条件或结论联想 到与其形态形似的已有知识,可以起到以”熟”解 “生”,化难为易的作用. 例1设a,b,Y皆为正数,且+.=1, 求证:?口+6Y+?口y2+6a+b. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 此题证法较多,下面通过形似联想得到 两个简洁的证明. yIf6,6 (. /|/XU一 [一ax,一by , ) 图1 证法1由不等式左边的每个根式形态联想到 平面上任一点到原点的距离公式,故设点A(ax,by1, (,ay),如图1.考虑到点A关于原点0的对称 点(一ax,一by),由Il+II>lA?Bl得: ?6+a2y+?+6Y ??(似+).+(+) = ?(口+6)(+)=a+b, 即原不等式成立. 图2 证法2由不等式左边的每个被开方式联想与 其形似的勾股定理,从而构造图2来证明. 由IODl+lI>JDBl得: ?口+6Y+?6.+a2y ??(似+)+(十)=a+b.