不动点法求数列通项

不动点法求数列通项 特征方程法求解递推关系中的数列通项 考虑一个简单的线性递推问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 . =b a1 设已知数列的项满足 {a}n a=ca+d n+1n 其中求这个数列的通项公式. c,0,c,1, 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种 易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程;x,cx，d, 借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即x,axa010n 1n,，其中是以为公比的等比数列，即. a,a;当x,a时,a,b，x{b}cb,bc,b,a,xn101nn0n1110n d证明:因为由特征方程得x,.作换元 b,a,x,c,0,1,0nn0,c1 dcd则b,a,x,ca，d,,ca,,c(a,x),cb. n,1n,10nnn0n1,c1,c n,1当时，，数列是以为公比的等比数列，故 x,a{b}b,0cb,bc;01n1n1 时，，为0数列，故(证毕) 当x,a{b}a,a,n,N.b,001n1n1 下面列举两例，说明定理1的应用. 1a,,a,2,n,N,a,4,例1(已知数列满足:求 {a}a.n，1n1nn3 13x,,x,2,则x,,.解:作方程 032 3111a,x,b,a，,.,当时，数列{b}是以为公比的等比数列.于是a,41011n1322 111133111n,1n,1n,1b,b(,),(,),a,,，b,,，(,),n,N. n1nn3232223 i例2(已知数列{a}a,(2a，3)i,n,N,满足递推关系:其中为虚数单位. n，1nn {a}当a取何值时，数列是常数数列, n1 63,，i.x,解:作方程则 x,(2x，3)i,05 63,，i.a,x,a要使为常数，即则必须 10n5 现在考虑一个分式递推问题(*). a，4n例3(已知数列满足性质:对于且求的通项公式. n,a,N,,{a}{a}a,3,n,1nn1a，23n 将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果. pa，qnn,N定理2.如果数列满足下列条件:已知的值且对于，都有(其中p、q、r、h均a,{a}an，1n1ra，hn px，qhx,为常数，且ph,qrr,a,,)，那么，可作特征方程. ,0,1rrx，h ,(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时， 若则 a,,,n,N;a,,,n1 112r若，则其中 a,，,,n,N,,，,,a,,bnn(1),N.nn1,b,，aphn1 特别地，当存在使时，无穷数列不存在. b,0n,N,{a}n0n0 c,,,n21(2a,)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时，则， ,,n,N,n12c,1n ,,a,p,r1n,111其中c,(),n,N,(其中a,,). 12na,p,r,,122 证明:先证明定理的第(1)部分. paqap,r，q,h，(,),nnda,作交换,,,,,,，则 d,a,,,n,Nn1n1，，nnrahra，h，nn 2,,,(d，)(p,r)，q,hdprrhpq()[()],,，,,,,,nn, ? ,r(d，,)，hrdhr，，,nn ,p，q2,,,,r,，,(h,p),q,0.?是特征方程的根，? r，h, dpr(),,n将该式代入?式得 ? dn,,,N.，1nrdhr，，,n pp,,,x,将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根 ph,qr,ph,qrrr 于是 ? p,,r,0. ,dn,,0,N,a,d，,,,,n,N.d,0a,d，,当，即=时，由?式得故 nnn111 d,0,n,N.d,0a,,当即时，由?、?两式可得此时可对?式作如下变化: n11 rdhr，，,11hrr，,n ? ,,,，.ddprprdpr(),,,,,,，1nnn 2 px，qp,h,由是方程x,的两个相同的根可以求得 ,,.rx，h2r p,hh，r,h，rh，p1112rr2r ? 将此式代入?式得 ,,,1,,，,，,,N.np,h,,p,rp，h,，ddprdphnnn，1p,r2r 12r2r令则故数列是以=为公差的等差数列. {b}b,,n,N.,，,bbn,N.nnnn，1，dph，phn 112r? 其中 b,,.bbnn,，,,,(1),N.1n1da,,ph，11 1当时， n,N,b,0a,d，,,，,,n,N.nnnbn 1当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的. b,0n,N,{a}ad,，,,，,n0nnn000bn0 再证明定理的第(2)部分如下: ?特征方程有两个相异的根、，?其中必有一个特征根不等于， ,,a121 ,a,n1不妨令于是可作变换c,,n,N. ,,a.n21,a,n2 ,pa，qa,nn，11a,c,故，将代入再整理得 nn，1，1a,,ra，hn，12n ,,a(p,r)，q,hn11c,,n,N ? n1，,,a(p,r)，q,hn22 ppp,,,,,.x,由第(1)部分的证明过程知不是特征方程的根，故 12rrr故所以由?式可得: p,,r,0,p,,r,0.12 ,q,h1a，n,,p,rp,r11c,,,n,N ? 1n，,q,h,p,r22a，n,p,r2 px，q2x,?特征方程,,,,有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程,rx，x(h,p),q,01212rx，h q,xh2,x,与方程又是同解方程. rx,x(h,p),q,0p,xr ,,q,hq,h12,,,,,,,? 12p,rp,r,,12 将上两式代入?式得 —3— ,,,a,p,rp,r111n c,,,c,n,N1n,n,,,p,ra,p,r222n ,p,r1n,N当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有 {c}c,0,a,,n111p,r,2 ,,,p,ra,p,rn,1n,11111 c,c,()()().n1p,,ra,,p,,r2122 当即时，上式也成立. c,0a,,111 ,a,n1由且可知 c,c,1,n,N.,,,nn12a,,n2 c,,,n21所以(证毕) a,,n,N.nc,1n pa，qpa，qnnr,0a,注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再ph,qrn，1ra，hra，hnn 赘述. (,). 现在求解前述例3的分类递推问题 x，42x,,解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异,,1,,,,2.2x，2x,4,0,122x，3 的根，使用定理2的第(2)部分，则有 ,,a,p,r3,11,1,2n,1n,1111c,,(),,(),n,N. n,,a,p,r3，21,2,2122 21n,1c,(,),n,N.? n55 21n,1,2,(,),1c,,,2n155a,,,n,N.? n21c,1n,1n(,),155 n(,5),4即a,,n,N. nn2，(,5) a,1325na,.{a}例4(已知数列满足:对于n,N,都有 n，1na，3n a;a,5,(1)若求 n1 a;a,3,(2)若求 n1 a;a,6,(3)若求 n1 4 (4)当取哪些值时，无穷数列不存在, {a}an1 13x,25解:作特征方程 x,.x，3 2变形得 x,10x，25,0, ,,5.特征方程有两个相同的特征根依定理2的第(1)部分解答. (1)?对于都有 a,,,5;a,5,？a,,.？n,N,n11 (2)? a,3,？a,,.11 1r?b,，(n,1) na,,p,r,1 11,，(n,1), 3,513,1,5 1n,1 ,,，, 28 n,5令，得.故数列从第5项开始都不存在， b,0{a}nn 15n,17n,N当?4，时，a,，,. ,nnbn,5n (3)?? a,6,,,5,a,,.11 1rn,1? b,，(n,1),1，,n,N.n,,a,p,r81 n,,7,n.令b,0,则?对于 n,N,b,0.nn 115n，43a,，,,，5,,n,N.? nn,1bn，7n1，8 (4)显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知，时，数列a,,3a,511 1r1n,1{a}b,0,b,，(n,1),，,n,N.是存在的，当a,,,5时，则有令则得nnn1,,a,p,ra,58115n,13a,,n,Nn且?2. 1n,1 5n,13n,Na,{a}n?当(其中且N?2)时，数列从第项开始便不存在. 1nn,1 5n,13:n,N,{a}an于是知:当{,3在集合或且?2}上取值时，无穷数列都不存在. n1n,1 —5— 练习题: 求下列数列的通项公式: n,1n,21、 在数列中，，求。(key:) {a}a,2a，3a(n,3)aa,1,a,7,a,2,3，(,1)nnn,1n,2n12n 1n2、 在数列中，且，求。(key:) a,(4,1){a}a,5a,4aaa,1,a,5,nnnn,1n,2n123 n，13、 在数列中，，求。(key:) {a}a,3a,2a(n,3)aa,3,a,7,a,2,1nnn,1n,2n12n 21711n,24、 在数列中，，求。(key:) a,a，aa,，,(,){a}aa,3,a,2,n，2n，1nnnn1233443 25115、 在数列中，，求。(key:) a,3,a,,a,(4a,a)a,，{a}a12n，2n，1nnnnn,13336、 在数列中，，且.求.(key:时，{a}a,pa，qaaa,a,a,b,p，q,1q,1nn，2n，1nn12 n,1aq，b,(b,a)(,q);时，) a,a，(n,1)(b,a)a,q,1nn1，q 7、 在数列中，(是非0常数).求.(key: p,q{a}pa,(p，q)a，qa,0aa,a,a,a，b,nn，2n，1nn12 n,1pqp,q (); )() p,qa,a，(n,1)ba,a，[1,()]bn1np,qp 8、在数列中，给定，.求{a}a,ba，caa,ann,1n,2n12 1122n,n,n,n,,,,,,,c().(key:;若，上式不能应用，此时，a,,，,(,,,),,,aaan21n,,,,,, n,2n,1 a,(n,1)a,,,(n,2)a,.n21 6