亚正定阵的两个充分条件及应用

亚正定阵的两个充分条件及应用 刘 锋 , 王讲 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ()江苏技术师范学院 基础学科部 ,江苏 常州 213001 [ 摘 要 ] 建立了亚正定阵的两个充分条件 ,并给出它们在投入产出和控制理论中的一些应用 . [ 关键词 ] 亚正定阵 ;投入产出 ;控制理论 ;L yap uno v 直接法 () 文章编号 ] 167221454 20070620102204 [ [ 中图分类号 ] O151 . 21 [ 文献标识码 ] A 引言1 ( 正定阵无论在理论研究还是在应用上都有着重要的作用. 然而实际问题 如控制系统 、生态系统 、数 ) 量经济等领域中存在着大量的非对称矩阵 , 这类矩阵的出现 , 给系统的研究带来了困难 , 也使得正定阵 理论的应用受到了限制 . 1990 年屠伯埙教授对正定阵进行了推广 , 提出了亚正定阵的概念 , 并建立了亚 [ 1 , 2 ] 正定阵的基本理论. 目前亚正定阵理论及应用研究已成为矩阵论研究的热点问题之一 . 本文建立了 亚正定阵的两个充分条件 , 并给出了它们在投入产出及控制理论中的一些应用. n ×n n T [ 1 ]( ) 设 A ?R , x ?R . 若对任意的 x ?0 , 恒有 x A x > < 0 , 则称矩阵 A 是亚正定阵 定义 1 ( ) ( ) 亚负定阵A 不一定对称. T 容易证明 , A 为亚正定阵的充要条件是 A + A 为对称正定阵 ; 亚正定阵是可逆的且逆矩阵仍是亚 正定阵. 引理及定理2 n ( ) ( ( ) 引理 1 设 A = a为严格对角占优 即| a| > | a| 1 ?i ?n的对称阵 , 且 a> 0 , 则 A 为ij n ×n ii ij ii ? j = 1 j ?i 正定阵. 此引理即为文 [ 3 ]中的一个定理 , 下面给出一个较为简单的证明 . λ只需证得 A 的特征值全为正即可. 根据 Ger shgo ri g 第一圆盘定理可知 , 对于 A 的任意特征值, n n λλ( ) | a|ϖ i 1 ?i ?n, 使| - a| ? | a|, 因此有?aii -> 0 , 故 A 为正定阵. ij ii ij ? ? j = 1 j = 1 j ?i j ?i n n n ×n ( ) 定理 1设 A = a?R , 若| a|> | a| 及| a|> | a|i , j = 1 , 2 , ?, n , 且 a> 0 , ij n ×n ii ij ii ji , ii ? ? j = 1 j = 1 j ?i j ?i 则 A 为亚正定阵 . n n 证 因为| a| > | a|, | a| > | a| , 从而ii ij ii ji ? ? j = 1 1 j = j ?i j ?i [ 收稿日期 ] 2006202220 n n n | 2 a| > | a|+ | a| ? | a+ a| ,ii ij ji ij ji ? ?? j = 1 1 1 j = j = j ?i j ?i j ?i T T 所以 A + A 是严格对角占优的对称阵 , 且 2 a> 0 . 由引理 1 知 , A + A 对称正定 , 故 A 为亚正定阵 .ii [ 4 ]2 2 ( ) ( ) 引理 2 若 Her mit e 阵 A 的主对角元全大于 0 , 且满足 [ t r A ]> n - 1t r A, 则 A 必是正定的 He r mit e 阵. ) ( 定理 2 设 A 是主对角元全大于 0 的 n n ?3阶实方阵 , 且满足 2 2 T ( ) ( ) ( ) [ t r A]> n - 1/ 2 ?t r A+ AA , 则 A 为亚正定阵 . T ) ( ) ( 证 记 A 的对称分支为 R A= A + A / 2 . 因为T T T ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) t r R A= tr A + A / 2= t r A + A / 2 = [ t r A+ t r A ]/ 2 = t r A, T 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 又 t r AA = t r A= t r R A, 由定理条件可得 [ t r R A]> n - 1t r R A. 而 R A是对称正定 ( ) 阵 , 由引理 2 知 R A是正定阵 , 故 A 为亚正定阵. 3 两个充分条件在投入产出及控制理论中的应用 3 . 1 在投入产出中的应用 [ 5 ] ( ) 在投入产出研究中 , 经常要求解 L eo ntief 开放式静态模型I - Ax = y , 其中 A 代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf n ×n 技术系 数矩阵 , I 为 n 阶单位阵 , x 是 n 维总产出列向量 , y 是 n 维最终需求列向量 . 该模型解的情况主要依赖 于 A , 而这里的矩阵 A 常常不是对称阵 , 因而不便于用正定阵理论解决 . 然而 , 利用亚正定阵可以比较容 ( ) 易地知道 A 的情况 . 为求解该方程组可以先考察矩阵 A , 如果 A 是亚负定阵 , 则立即可知 I - A是亚正 ( ) 定阵 , I - A可逆 , L eo ntief 开放式静态模型有解且唯一 . 进一步 , 由于亚正定阵的逆阵仍是亚正定阵 , - 1 T T - 1 ( ) 在价值型投入产出中 , 由于直接消耗系数矩阵 A = a的元素满足 0 ?a< 1 , | a|( ij ij ij < 1 j = 1 , ( ( ) ) 故 I - A是亚正定阵 , 从而 y x = y I - Ay > 0 , 即总产出列向量与最终需求列向量的内积为 ? i = 1 ) 2 , ?, n, 从而 A 的所有特征值的模都小于 1 . 所以即使 A 不为亚负定阵 , 只要它是亚正定的 , 仍然可以 正数. 确定 I - A 是亚正定阵 , 从而上述模型有解且唯一. n 如何判断 A 的亚正定性呢 ? 根据定理 1 和定理 2 可以得到以下两个极好用的办法 : ? 验证 A 是否满足 n n a> 0 , | a| > | a|| a| > | a| ,及 i , j = 1 , 2 , ?, n. ii ii ij ii ji ? ? j = 1 j = 1 j ?i j ?i 若 A 满足这些不等式 , 则可知 A 是亚正定阵 , - A 是亚负定阵 . ? 验证 A 是否满足 2 T 2 T ( ) ( ) ( ) ( ) a> 0 , t r A > n - 1/ 2 t? r A+ AA = n - 1/ 2 ?t r A+ t r AA . ii 2 T 若 A 满足这些不等式 , 则立即可知 A 是亚正定阵 . 在验证这个不等式时 , 由于只需计算 t r A和 t r AA , 2 T 所以可不必求出 A及 AA , 而按以下步骤简化运算 : 2 T ( ) ( ) 设 A= b, AA = c, 则有ij ij n n 2 b= aa 及 c= a,i , j = 1 , 2 , ?, n , ii ik kiii ik ? ? k = 1 k = 1 于是可得 n 2 T ( ) ( ) t r A+ AA = bii + cii .? i = 1 例 1 已知某一经济系统的直接消耗系数矩阵为 0 . 7 . 2 . 4 0 0 A = 0 . 1 0 . 5 0 . 1 , 0 . 2 0 . 2 0 . 6 试判断 A 的亚正定性. 解 先用方法 ?. 由于 a= 0 . 7 > a+ a= 0 . 6 , a= 0 . 7 > a+ a= 0 . 3 ; 11 12 13 11 21 31 a> a+ a, a> a+ a,22 21 23 22 12 32 a> a+ a, a> a+ a,33 31 32 33 13 23 所以 A 是亚正定阵 . 再用方法 ?. 3 3 3 b= aa = 0 . 59 ,aa = 0 . 29 ,b= aa = 0 . 46 ,b= 11 1 k k1 2 k k2 33 3 k k3 22 ? ? ? k = 1 k = 1 k = 1 3 3 3 2 2 2 = cc= a= 0 . 69 ,a= 0 . 27 ,c= a= 0 . 44 ,22 11 1 k 2 k 33 3 k ? ? ? k = 1 k = 1 k = 1 3 2 T 2 T ( ) ( ) ( ) ( ) t r A+ AA = b+ c= 2 . 74 ,3 - 2/ 2 ?t r A+ AA = 1 . 66 , ii ii ? i = 1 2 T ( ) ( ) 而 t r A = 1 . 8 , 故有 t r A > 3 - 2/ 2 ?t r A+ AA , 所以 A 是亚正定阵 . 3 . 2 在控制理论中的应用 在自动控制中经常要用 L yap uno v 直接法判断一个定常系统 ?x = A x 的稳定性 . 根据 L yap uno v 定 T 理 ,该系统在 x = 0 处渐近稳定的充要条件是存在一个正定阵 P , 使得 PA + A P 是负定阵 . 如何寻求 P 一直是人们努力解决的问题 , 但只是在一些特殊情况下得到 P 的求法 , P 的一般求法并未解决. 用亚正 ( ) 定阵理论可以不必寻求 P 而直接从矩阵 A 本身去判定系统的稳定性 当然 , 这个方法是充分的. 事实 1 T ( ) ) ( ) ( ( ) - A + A = R - A其中 R - A称为 - A 的对称分支也必是正定阵 , 于是由亚正定阵的理论而 2 T T ) ( ) ( 上 , 如果取 P = I 单位阵, 则马上可知当 A + A 是负定阵时系统稳定. 此时 - A + A 必是正定阵 , 从 可知 , 只要 - A 是亚正定阵 , 则马上可以判定系统是渐近稳定的 . 例 2 设三阶系统的状态方程为 xx? 11- 1 1 1 ?x1 - 2 0 x2 = 2 , xx- 1 0 - 4 3 ?3 试判断该系统的稳定性 . 1 - 1 - 1 1 - 1 0 ) 2 0 A= - 1 2 解 此处 - A = - 1( . 由于 R - 0 是正定阵 , 所以 A 是亚正定阵 , 1 0 4 0 0 4 于是知该系统是渐近稳定的. ( ) 注 亚正定阵 亚负定阵也可应用到 Gilpi n2A yala 系统及一般非线性生态系统的稳定性判定 , 参 见文献 [ 6 , 7 ] . [ 参 考 文 献 ] ( ) () [ 1 ] 屠伯埙 . 亚正定阵理论 ?[J ] . 数学学报 ,1990 ,33 4:462 - 471 . ( ) [ 2 ] () 屠伯埙 . 亚正定阵理论 ?[J ] . 数学学报 ,1991 ,34 1:91 - 102 . [ 3 ] () 苗振江 ,李文铎 . 广义正定矩阵的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与应用 [J ] . 北方交通大学学报 ,1993 ,17 2:219 - 223 . [ 4 ] () 屠伯埙 ,李君如 . 方阵特征值之分布及其在稳定性理论中的应用 [J ] . 数学年刊 ,1987 ,8A 6:659 - 663 . [ 5 ] 乌家培 . 经济数量分析概论 [ M ] . 北京 :中国社会科学出版社 ,1983 . [ 6 ] L iu Feng , Ge Zhao2qiang. So me new criterio ns fo r sta bilit y of general no n2linea r eco syst ems ba sed o n subpo sitive ( ) definite mat rix [J ] . Inter natio nal J o ur nal of Intelligent Info r matio n Ma nagement Systems and Technolo gie s U SA. () 2005 ,1 1:117 - 122 . [ 7 ] () 刘锋 . 亚正定阵在 Gilpin2A yala 系统稳定性中的应用 [J ] . 数学的实践与认识 ,2005 ,35 8:123 - 126 . Two Suf f ic ient Con dit ions an d Appl icat ions of Subposit ive Def in ite Matrices L I U Fe n g , W A N G J i a n g2s h u ()Depa rt ment of Ba sic Co ur ses , J ia ngsu Teacher s U niver sit y of Technolo gy , Cha ngzho u 213001 , China Abstract : Two sufficient co nditio ns of subpo sitive definite mat rice s were e sta bli shed , a nd so me applicatio ns in devo tio n o utp ut a nd co nt rol t heo r y were given. Key words : subpo sitive definite mat rice s ; devo tio n o utp ut ; co nt rol t heo r y ; direct met ho d of L yap uno v