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笛卡尔积.doc

笛卡尔积

鲁智深三打白骨精死吧死吧
2019-06-17 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《笛卡尔积doc》,可适用于综合领域

笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。假设集合A={a,b},集合B={,,},则两个集合的笛卡尔积为{(a,),(a,),(a,),(b,),(b,),(b,)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下左,右〈张华高于李明中国地处亚洲平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉〈左,右〉〈,〉〈张华,李明〉〈中国,亚洲〉〈a,b〉等。序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(orderedpairs),简记为<x,y>。称x为<x,y>的第一分量,称y为第二分量。定义对任意序偶<a,b>,<c,d>,<a,b>=<c,d>当且仅当a=c且b=d。递归定义n元序组<a,…,an><a,a>={{a},{a,a}}<a,a,a>={{a},{a,a},{a,a,a}}=<<a,a>,a><a,…an>=<<a,…an>,an>两个n元序组相等<a,…an>=<b,…bn>(a=b)∧…∧(an=bn)定义对任意集合A,A,…,An,()A×A,称为集合A,A的笛卡尔积(Cartesianproduct),定义为A×A={x|$u$v(x=<u,v>∧uA∧vA)}={<u,v>|uA∧vA}()递归地定义A×A×…×AnA×A×…×An=(A×A×…×An)×An例题若A={α,β},B={,,},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)(B×A)。解A×B={〈α,〉,〈α,〉,〈α,〉,〈β,〉,〈β,〉,<β,〉}B×A={〈,α〉,〈,β〉,〈,α〉,〈,β〉,〈,α〉,〈,β〉}A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}B×B={〈,〉,〈,〉,〈,〉,〈,〉,〈,〉,〈,〉,〈,〉,〈,〉,〈,〉}(A×B)(B×A)=由例题可以看到(A×B)(B×A)=我们约定若A=或B=,则A×B=。由笛卡尔定义可知:(A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以(A×B)×C≠A×(B×C)定理设A,B,C为任意集合,*表示è,或–运算,那么有如下结论:笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即:A×(B*C)=(A×B)*(A×C)笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即:(B*C)×A=(B×A)*(C×A)证明¤当*表示è时,结论()的证明思路:(讨论叙述法)先证明A×(BèC)í(A×B)è(A×C)从<x,y>∈A×(BèC)出发,推出<x,y>∈(A×B)è(A×C)再证明(A×B)è(A×C)íA×(BèC)从<x,y>∈(A×B)è(A×C)出发,推出<x,y>∈A×(BèC)当*表示è时,结论()的证明思路:(谓词演算法)见P页。¤定理设A,B,C为任意集合,若C≠F,那么有如下结论:AíB(A×CíB×C)(C×AíC×B)¤定理前半部分证明思路:(谓词演算法)先证明AIacuteBT(A×CíB×C)以AíB为条件,从<x,y>∈A×C出发,推出<x,y>∈B×C得出(A×CíB×C)结论。再证明(A×CíB×C)TAíB以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用T附加式,推出x∈B得出(AíB)结论。见P页。¤定理设A,B,C,D为任意四个非空集合,那么有如下结论:A×BíC×D的充分必要条件是AíC,BíD¤证明思路:(谓词演算法)先证明充分性:A×BíC×DTAíC,BíD对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,利用条件A×BíC×D,<x,y>∈C×D,推出x∈C,y∈D。再证明必要性:AíC,BíDTA×BíC×D对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,推出<x,y>∈C×D。直积笛卡尔(CartesianProduct)乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。

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