浅谈初中数学课堂概念教学中的变式应用
浅谈初中数学课堂概念教学中的变式应用 【摘要】:数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括～是对一类数学对象的本质属性的反映。在数学概念教学中～我们可以通过具体或直观变式引入概念,在数学概念的形成过程中～正例变式有利于“丰富”概念～反例变式有利于“纯洁”概念～从而尽可能避免非本质属性泛化的错误～使数学概念的概括精确化～提高了概念教学的有效性。
【关键词】:变式教学 概念教学 正例变式 反例变式
数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象的本质属性的反映。初中数学中有大量的概念，它们是数学基础知识的重要组成部分，也是导出数学定理和数学法则的逻辑的基础。而变式教学是在教学中使学生确切掌握概念的重要方法之一。如《教育大辞典》(顾明远主编，1999)对“变式教学”词条的解释是:“在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例
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事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征。目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。”笔者就概念教学中的“变式教学”谈点看法，以飨读者。
一、通过具体或直观变式引入概念
数学概念的一个基本特征是抽象性，但许多数学概念又直接来自具体的感性经验，因此，概念引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。
顾泠沅(1981)的研究
表
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明，影响学生掌握几何概念的主要因素有三个:已具备的图形经验、概念的叙述以及掌握概念所依据的图形变式。以全等图形的概念教学为例。有经验的教师通常会借助于下面两类变式:一是通过日常生活中的直观材料(如图)组织已有的感性经验，使学生理解概念的具体含义;二是利用不同的图形变式(如图下)，作为直观材料与抽象概念之间的过渡，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形直观材料的水平，进而掌握概念图形的基本特征，准确地把握概念的外延空间。
全等图形的
直观材料
全等图形的
图形变式
图 1 全等图形的直观材料与图形变式
这里必须强调的是，在概念的引入阶段，具体或直观变式的主要作用是建立感性经验与抽象概念之间的联系。由于数学概念的本质是抽象的，因此，在教学的适当阶段还应尽可能摆脱具体或直观的背景，使概念上升到抽象水平。
此外，许多数学概念都是逐次抽象的结果，因此，数学概念的具体与抽象是相对而言的。例如，在说明“方程”概念的本质属性:“含有未知数的等式”时，可以用下面的概念变式:
x22 3x，2y,1 2x,1，1,24x,3,5x2x，y,13
这些变式虽然本身也是抽象的代数符号表达式，但相对于“方程”概念来说，则是直观和具体的。
二、通过正例变式突出概念的本质属性
一般意义上的教学变式主要包括两类:一类是属于概念的外延集合的变式，称为正例变式，其中又可以根据其在教学中的作用分为概念的标准变式和非标准变式;另一类是不属于概念的外延集合的变式，但与概念对象有某些共同的非本质属性的变式，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式。
和一般科学概念一样，数学概念是一种外延性概念，也就是说，每个概念都有一个明晰的边界，掌握概念意味着能够通过内涵去确定一个具体的对象是否在这个边界内。因此，教学的一种有效途径就是将概念的外延作为变异空间，将其所包含的对象作为变式，通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。
在概念的对象集合中，尽管从逻辑的角度看，每个对象都是等价的，但实际上，这些对象在学生的概念理解系统中的地位并不相同。特别地，其中一些对象由于其拥有“标准的”形式、或者受到感性经验的影响、或者在引入概念时的“先入为主”等原因而成为所谓的标准变式，如图 2:
k标准变式: y,(k为常数且k,0) x
,1非标准变式: xy,k或y,kx(k为常数且k,0)
垂直 矩形 反比例函数
图2概念的标准与非标准变式
在这两种正例变式中， 标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延。解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性。 三、通过反例变式明确概念的外延
概念的内涵与外延是对立而统一的，内涵明确则外延清晰，反之亦然。因此，概念的教学除了在内涵上下功夫外，还应该使学生对概念所包含的对象集合有一个清晰的边界。
这里的一条有效途径就是利用反例变式，例如，当学生通过“标准图形 ”获得了对顶角的概念后，宜用反例变式:
图 3对顶角的反例变式
反例变式的运用消除了非本质特征的干扰，划清了与其他概念之间的边界，
明确了概念的外延，以达到对数学概念的本质特征的深刻理解。
上述这类反例变式一般有两个来源:一是来自概念之间的逻辑关系;二是基于学生常见的错误。教师运用反例变式进行概念教学，一方面可以帮助学生建立相关概念之间的联系;另一方面也可以预防或者澄清学生在概念理解时可能出现
的混淆，从而确切地把握概念变式的本质特征。
反例变式的另一种形式是让学生举出不合某属性的例子。例如，命题“各边都相等的多边形是正多边形”是否正确，若正确，请说明理由，若不正确，请举一反例。在去掉本质属性“各角相等”后，学生需要对各边都相等的多边形进行多次的检验、选择、批判，从而明白哪些是本质特征，哪些是非本质特征，再举出反例，这一思考过程，学生思维的批判性和创造性也得到了很好的培养。
总之, 在数学概念的形成过程中，正例变式有利于“丰富”概念，反例变式有利于“纯洁”概念，从而尽可能避免非本质属性泛化的错误，使数学概念的概括精确化，提高了概念教学的有效性。
可见，数学教师运用变式来进行概念教学的基本特征是:通过各种概念之间、以及正例变式与反例变式之间的差异与联系来把握概念的内涵与外延，实现对概念的多角度的理解。从而引导学生对概念进行灵活变换，可使学生触类旁通，举一反三，进而“减负增效”，提高数学概念课堂的有效性。
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