具有脉冲毒素投放和营养再生的恒化器模型（可编辑）
具有脉冲毒素投放和营养再生的恒化器模型
年
纯粹数学与应用数学.第 卷 第 期】. .
具有脉冲毒素投放和营养再生的恒化器模型
傅晓钒,张树文
集美大学理学院,福建 厦门
摘要:研究具有脉冲毒素投放和营养再生的恒化器模型.利用脉冲微分方程的比较定理
和小扰动方法得到了边界周期解全局渐近稳定的充分条件,进而得到了系统持续生存的
充分条件.结果
表
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明毒素环境将会导致微生物种群的灭绝.
关键词:脉冲毒素投放;营养再生;恒化器;持续生存
中图分类号: . 文献标识码: 文章编号: ? ??引言
恒化器是进行微生物连续培养的一种实验装置,用于研究微生物在一个连续培养环境中的
生长状况.恒化器模型的设计和研究对于食品加工,污水处理,转基因微生物的培养等都具有积
极作用.近年来,已经有许多学者利用脉冲微分方程理论 解决各类生态学问题,如捕食一
食饵系统】,并且对各类条件下的恒化器模型进行了大量研究.文献 研究了
具有阶段
结构的单种群恒化器模型,文献研究了具有脉冲输入和营养回收的单种群恒化器模型.文
献『 研究了具有脉冲扩散的污染环境下的恒化器模型.在自然环境中,潮水的冲刷既给微生物
带来营养物,也带来了环境毒素.因此,本文建立了具有脉冲毒素投放的恒化器模型,用定期脉
冲投放来模拟自然因素对微生物的影响,并且对死去微生物考虑营养回收的作用. 一 ’一。 一。 , 。 一。,
?佗,?‘一 . 。, :
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收稿日期: ? ?基金项目:福建省自然科学基金 .
作者简介:傅晓钒 ,硕士生,研究方向:生物数学则 系
统
第 期 傅晓钒 等:具有脉冲毒素投放和营养再生的恒化器模型
其中,且满足 , . 等 表示 时刻营养物质的浓度, 表
价
示 时刻微生物的浓度, 表示微生物体内毒素的浓度, 表示环境毒素的浓度,,。
:
于
表示微生物从环境中吸收毒素的浓度,一 。 ,一 。 分别表示微生物消除和
净化毒素的浓
度,一表示流失的环境毒素的浓度, 表示脉冲周期, 表示冲洗速率, 表示投
放的营
养物质的浓度, 表示投放的环境毒素的浓度, 表示死去的微生物被重新转
化为营养的部分,
一表示微生物的产生和消耗的营养物的比, 表示微生物的死亡率. 一
对系统 作变换: ,
爿亡
一 一。 一 ,
:一。 一。 , ? , ? ,。 一。,
一 ,一 ., ,佗
。, , .
预备引理
为方便证明,下面给出一些引理.
令,可得系统 的两个子系统:
’萎。薹‘:佗.?佗, 纯粹数学与应用数学 第 卷
引理 . 系统
,一 , ? ,
【 , .
有一个周期解:
, :?
, ?礼 ,几十 ,
二
且该周期解是全局渐近稳定的.
由此可见系统 有一个周期解: :
.
引理 . 系统 有一个周期解,
:,且该周期解是全局渐近稳定的.
推论 . 当 充分大时,系统 的任意解满足 。,,其 中 是任意小的正数,且
一 ? , 。:
“一 一一一一? 。 ?。筹一一九一?。,’ 南 托 引理 . 设 , ,,,“ 为系统 的任一解,则 , ,其中 丁二 . 。一 ~ 一
证明 由变换 可得:五:: :,即
一 ,令 :,当 ? 时,
一 五 五一
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?一 。。 .第 期 傅晓钒 等:具有脉冲毒素投放和营养再生的恒化器模型
当 时,考虑比较系统一 , ? ,
【 , .
则由引理 . ,对任意,当 充分大时,都有 ,其中: , ?佗 ,,
所以
?
?。?。 ? 。 。。 ? ‘
灭绝和持续生存
定理 . 当一 一。 。
时,系统 的边界周期解 , ,,:, 是全局渐近稳定的.其中 , 按式定义. 证明 由定理条件,可选择一个充分小的 ,使得 五咱一。 . 由一及引理 . 和引理 . 知,存在一个正整数尼,使得 时,有 , 一. 上式代入系统 可得:一:一 一。,
由比较定理,对以上不等式在 , 上进行积分得:
后 一一 一。
递推得 ,两边取极限得:
? , .? 。。
从引理 . 的证明得: .
? 纯粹数学与应用数学 第卷
对任意,存在 ,使得当时,有,, ,所以
一 一 ? ?,, .
由 的任恿性及引理 . 知当 一 ?,有 一 ,再由引理 . 得当 一
?,
有 一, 一.所以,该边界周期解是全局渐近稳定的.
定义 . 如果存在常数 使得系统 以正值为初始值的解当 充分大时满 足, , , ,
则称系统 持续生存.
定理 . 当
?一 一一/『叭~
时,系统 是持续生存的.其中 , 按 , 式定义. 证明 由引理 . ,不妨设,对任意都成立.因此 一 ?
:,?:.
由引理 . , ?
一
,
一?礼 ,
一 二
一
是系统
四 一?
【?:, :
的周期解.所以
? 五 端 .
接下来证明存在一个,使得当 充分大时,,分两步进行: 第一步 先证明存在 ,使得 不能总成立.否则,不妨设存在一个正整数,
使得时,都有 .由定理条件知存在一个 ,使得 叩 一 一。
一 第 期 傅晓钒 等:具有脉冲毒素投放和营养再生的恒化器模型 考虑比较系统
当 充分小时,有一,、 ?
四
所以五
对上式在 ? , 上积分得:
冲 “ 禹 一。
递推得 矿.
令礼一。。得 一。。,这与 的有界性矛盾.因此存在,使得 . 第二步 若当时,都有 成立,则 种群持续生存.否则,由第一步,可 以找到,,使得 ,且当 时, .若对任意 ,都
有 ,则由第一步的方法,可以得出与 的有界性矛盾.设 ,, 重复上述过程,如果经过有限次可得到 对任意成立,则 种群持续生存.否 则,可以得到一个区间序列 一, 满足下列性质:
当 ? 一, 时, , , ,
若存在某些区间长度满足 ‰一一 一 一?,则由第一步的方法,可以得出
与 的
有界性矛盾.因此,该区间长度是有界的.可设 ?一, ?? , 注意到 一 .厂 .当 ?一, 时,对上式在区间一, 进行积分得: ,
一 / 一 一
一再结合推论 . 和引理 . 的结论,系统 是持续生存的
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