高等数学等价无穷小替换_极限的计算

高等数学等价无穷小替换_极限的计算 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念; 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限; 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 】 1、无穷小与无穷大; 2、无穷小的比较; 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换; 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟)，在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟)，课堂练习(15分钟)。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了数列x的极限、(、)函数，，x,，,x,，,fxn,,x,,n ，,fx()x,xx,x的极限、(、)函数的极限这七种趋近方式。下面x,x000 我们用 1 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 ,表示上述七种的某一种趋近方式，即 x, ，,,,, ,n,,x,,x,，,x,,,x,xx,xx,x000 fx()fx()定义:当在给定的,下，以零为极限，则称是,下的无x,x, ，，limfx,0穷小，即。 x,, ？limsinx,0,例如, ？函数sinx是当x,0时的无穷小.x,0 11 ？lim,0,？函数是当x,,时的无穷小.x,,xx nn(,1)(,1)？lim,0,？数列{}是当n,,时的无穷小. ,,nnn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 ，，fx定义: 当在给定的,下，无限增大，则称是,下的无，，fxx,x, 23，，n、n、n、？limfx,,穷大，即。显然，时，都是无穷大量， n,,x,, 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 xx ， ， lime,0lime,，,x,,,x,，, xe所以当时为无穷小，当 时为无穷大。 x,，,x,,, 2(无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中，如果为无穷，，fx大， 11则为无穷小;反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。 ，，，，fxfx,0，，，，fxfx 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 :无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: ,(x)定理1 其中是自变量在同一变化过lim()()(),fxAfxAx=?+,xx?0x 程x,x(或)中的无穷小. x,,0 ,()(),xfxA=-证:(必要性)设令则有 lim(),fxA=lim()0,,x=xx?xx?00 ？f(x),A，,(x). 2 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 fxAx()(),=+,,()x(充分性)设其中是当时的无穷小，则 xx?0 ,A.lim()lim(())fxAx=+,,A，lim,(x)xxxxx,x000 【意义】 (1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); (2) 给出了函数在附近的近似表达式误差为fxxfxAx()(),().?,0 3.无穷小的运算性质 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 【注意】 11 但n个之和为1不是无穷小.例如,n,,时,是无穷小，nn 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理3 111n如:，x， lim(,1),0limsin,0limsinx,0,,x,0x,,nnxx 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 二、无穷小的比较 122例如，观察各极限: 当时都是无穷小，xxxxx?0,,,sin,sinx 2x2,0,lim x比3x要快得多;x,03x xsin,1, sinx与x大致相同;limx,0x 12xsin1xlim不可比. ,不存在.limsin2x,0x,0xx 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. ,,,,?0.1(定义: 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 , (1)lim0,,();如果就说是比高阶的无穷小记作==o,,,,, , (2)如果lim,C(C,0),就说,与,是同阶的无穷小;, , 特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作lim1,~;=,,,,, , (3)lim(0,0),.如果就说是的阶的无穷小=?CCkk,,k, 3 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 3例1 证明:当x,0时,4xtanx为x的四阶无穷小. 34xtanxtanx33,4,证:lim ,4lim()故当x,0时,4xtanx为x的四阶无穷小.4x,0x,0xx 例2 当x,0时,求tanx,sinx关于x的阶数. xxtan1costanx,sinx,1解 ,,？lim()lim,,？tanx,sinx为x的三阶无穷小.32x,x,00xx2x 2(常用等价无穷小: 当x,0时, 1),; (2),; (3),; (sinxarcsinxtanxxxx xln(1，x)e,1(4),; (5),; (6), arctanxxxx 2xx,a-1(7), (8), (9), 1,cosx,xlnax*(1，x),12 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: ,,,, ？lim,1,？lim,0,即,,,,o(,),于是有,,,，o(,).,, 122sinx,x，o(x),例如 cosx,1,x，o(x).2 3(等价无穷小替换 ,,,,,,,,,,,设且存在则,定理: ~,~lim,limlim.,,,,, ,,,,,,,,,,,,,lim(),lim,lim,lim,,,证:, limlim.,,,,,,,,,,,,, 22xxtan2e,1lim求lim.例3 (1); (2) x,0x,0cosx,1,x1cos 21(2)x2lim=解: (1) 故原极限= 8 当x,0时,1,cosx~x,tan2x~2x.0x?122x2 21x,(2)原极限=lim= 2x,02x,2 xxtansin,例4 求lim.3x,0xsin2 x,x原式,lim错解: =0 当x,0时,tanx~x,sinx~x.3x,0(2x) 4 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 13sin2x~2x,tanx,sinx,tanx(1,cosx)正解: ~x,当x,0时,2 13x12lim= 故原极限,.30x?(2)x16 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进 行等价无穷小替换。 xxtan5cos1,，例5 求lim.x,0xsin3 122？tanx,5x，o(x),sin3x,3x，o(x),解: 1,cosx,x，o(x).2 21()1()oxox22xoxxox+++5()()5，，x，522xx=lim原式lim ,,.x?00x,()oxxox+3()33，x 三、极限的简单计算 1. 代入法:直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，，，x,xxfx000 542x3x2x12,，，lim,即为其极限，例如;若不存在，我们也能知道属，，fx03x,193x2x4，， 2x,9lim于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但x,3x,3 0我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。 0 2. 分解因式，消去零因子法 2x,9，，lim,limx，3,6例如，。 x,3x,3x,3 3. 分子(分母)有理化法 222x，5,3x，5,3x，5，3，，2x，1，5，，，，lim,lim例如， 2x,x,222x，1,5，，，，，2x，1,52x，1，5，x，5，3 2x,4,lim 2x,2x,4 ，，，，x，2x,2,lim x,2，，2x,2 ,2 5 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 12，，xx又如，lim，1,,lim,0 2x,，,x,，,xx，1， 4. 化无穷大为无穷小法 173+-22373xx+-2xxx例如，，实际上就是分子分母同时除以limlim==2xx14xx-+242-+22xx 这个无穷大量。由此不难得出 a,0，n,m,bmm,10ax，ax，，a？,m01,, lim0，nm,,nn1,,xbx，bx，？，bn01,,，n,m,, 11，x1，xlim,lim,1又如，，(分子分母同除)。 xx,，,x,，,x，221，x n2,,,1,,nn2,55,,n5lim,lim,,1再如，，(分子分母同除)。 nnnn,,n,,3，53,,，1,,5,, 5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 xxarctan，1，，例如，，(无穷小量乘以有界量)。 lim,02x,,xx3，，1 x,41又如， 求lim.2x,1x，x,23 2,0,解:商的法则不能用 ？lim(x，2x,3)x,1 2x，2x,30,3,0,？lim又？lim(4x,1) ,,0.x,1x,14x,13 x4,1由无穷小与无穷大的关系,得 lim,,.2x,1xx，2,3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。 6. 利用两个重要极限求极限(例题参见?1.4例3—例5) 7. 分段函数、复合函数求极限 6 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 ,,1x,x0,例如， 设,求f(x),limf(x).,2x,0，,x1,x0, 解: x,0是函数的分段点,两个单侧极限为 2,1,,1,limf(x),lim(1,x) limf(x),lim(x，1),,，，x,0x,0x,x,00 故limf(x),1.左右极限存在且相等, x,0 【启发与讨论】 11思考题1: 当时是无界变量吗,是无穷大吗,xy?0,sinxx 1解: (1)取x,(k,0,1,2,3,？)0,2k，,2 , 无界， y(x),2k，,当k充分大时,y(x),M.,002 1 (2)取x,(k,0,1,2,3,？)0,2k ,0,M.不是无穷大( 当k充分大时,x,,,但y(x),2k,sin2k,kk 结论:无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. f(x),0limf(x),A思考题2:若，且，问:能否保证有A,0的结论,试举例x,，, 说明. 11,x,0,limf(x),f(x),解:不能保证. 例 f(x),,0x,，,xx 1 lim,A,0.x,，,x 思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗, sinx1g(x),解:不能(例如当时f(x),,都是无穷小量 x,，,xx 7 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 g(x)f(x)g(x),limlimsinx但不存在且不为无穷大，故当时和不能比x,，,x,，,x,，,f(x) 较. 【课堂练习】求下列函数的极限 xex,cos(1)lim; ,0xx xxexex,cos,11,coslim,lim，lim,1解:原极限= x,0x,0x,0xxx 123sinx，xcosxlim(2)求 0x,(1，cosx)ln(1，x) 0【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】 “”型，拆项。 0 11,,,,22，3sinxxcosxcos,,,,3sinx3xx,,,,，解:原极限=== limlimx,x,002x2x2x2,,,,,,,,,,,, 5425x，4x，3xlim(3) ; 5x,,2x,4x，1 ,【分析】“抓大头法”，用于型 , 3455，，355x5xx==lim解:原极限==，或原极限 lim5x,,4122x22,，x45xx 2(4); lim(x，x,x)x，, 【分析】分子有理化 1x1lim解:原极限==lim= 2x,，,x,，,21，1x，1x，x，x 2x1,lim()(5) 2x,2x,x,42 【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。 ,,, 22xx,x,2x，113,limlim()lim解:=== 22x,2x,2x,2x,x,x,4424x，2 8 西南石油大学《高等数学》专升本讲义 2x(6) lim2x,0x，9,3 0【分析】“”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0 子。 22，，xx，9，3lim解:原极限==6 2x,0x n12(7) 求lim(，，？，).222n,,nnn 解: 先变形再求极限. n,,时,是无穷小之和( 1n(n，1)1112n1，2，？，n12 ,.,lim,lim(1，)lim(，，？，),lim22222n,,n,,n,,n,,2n2nnnnn 【内容小结】 一、无穷小(大)的概念 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: (1) 无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆，零是唯一的无穷小 的数; (2) 无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小. (3) 无界变量未必是无穷大. 二、无穷小的比较: 1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷 小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法); a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 9