第二类曲面积分 - 龙岩学院

第二类曲面积分 - 龙岩学院第二类曲面积分 - 龙岩学院第 1 页共 5 页 ?21.4 第二类曲面积分一曲面的侧的概念 1(单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。 2(曲面的上侧和下侧，外侧和内侧曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为双侧曲面的定向: , n,,(cos, , cos, , cos,) Z则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+”号时，应有，亦即法线方向与cos,,0,0 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向...

第二类曲面积分 - 龙岩学院第 1 页共 5 页 ?21.4 第二类曲面积分一曲面的侧的概念 1(单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。 2(曲面的上侧和下侧，外侧和内侧曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为双侧曲面的定向: , n,,(cos, , cos, , cos,) Z则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+”号时，应有，亦即法线方向与cos,,0,0 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧. 二第二类曲面积分的定义先讨论由显式方程 zzxy,,，， XYT 表示的无重点的光滑曲面,并设在平面上的投影为边界由逐段光滑曲线所围成的SS ,xy区域。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。 XYGS 现在将有向曲面以任何方法分割为小块。设为在平面nSiin,1,2,S，，ii G上的投影，从而也得到区域的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有算作正的。,ixy GS如取下侧，这时所有算作负的。设有界函数定义在上，在每一小块任取fxyz,,S，，ii 一点，作和式 P,,,,,，，iiii n ,,,,,fD,, ，，,iiii,1i DDG其中表示的面积。由上述所见，是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定iii IIdS,,maxd的。设为的致敬，记。若当时，,有确定的极限，且与曲面,,0,,iiii IP分割的方法无关，也点的选择无关，则称为沿曲面的所选定的一侧fxyzdxdy,,S，，i 上的第二类曲面积分，记为龙岩学院数计院第 2 页共 5 页。 Ifxyzdxdy,(,,),,S 注:有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如: 。 PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy,,,,,,，，，，，，，，,,S 注:如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。三两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系设n为曲面的指定法向, 则 S P(x,y,z)dydz，Q(x,y,z)dzdx，R(x,y,z)dxdy ,,S ,,P(x,y,z)cos(n,x)，Q(x,y,z)cos(n,y)，R(x,y,z)cos(n,z)dS. ,,,S 是定义在光滑曲面上的连续函数, 定理1:设DR(x,y,z)S: z,z(x,y) , (x,y),xy以的上侧为正侧(即), 则有 cos(n,z),0S ，，. R(x,y,z)dxdy,Rx,y,z(x,y)dxdy,,,,SDxy 类似地, 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分 S: x,x(y,z) , (y,z),yz ，，P(x,y,z)dydz,Px(y,z) , y , zdydz. ,,,,SDyz 对光滑曲面S: y,y(z,x) , (z,x), D, 在其右侧上的积分 zx ，，. Q(x,y,z)dzdx,Qx , y(z,x) , zdzdx,,,,SDyz Pdydz，Qdzdx，Rdxdy计算积分时, 通常分开来计算三个积分 ,,S PdydzQdzdxRdxdy , , . ,,,,,,SSS 为此,分别把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的S 侧由曲面的定向决定. S P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z)推论: 设,,是定义在光滑曲面 S: z,z(x,y) , (x,y),D xy 龙岩学院数计院第 3 页共 5 页上的连续函数,则有 P(x,y,z)dydz，Q(x,y,z)dzdx，R(x,y,z)dxdy,,S ,,P(x,y,z)cos(n,x)，Q(x,y,z)cos(n,y)，R(x,y,z)cos(n,z)dS= ,,S ,,[,P(x,y,z(x,y))z(x,y),Q(x,y,z(x,y))z(x,y)，R(x,y,z(x,y))]dxdy.xy,,DXY 曲面的方向为上侧, 则等式前取“，”号; 曲面的方向为下侧, 则等式前取“,”号. S S 222Sxyz，，,1例1:计算积分xyzdxdy,其中是球面在部分取外侧。 xy,,0,0,,S ,例2:计算积分(x，y)dydz，(y,z)dzdx，(z，3x)dxdy，为球面 ,,, 2222x，y，z,R取外侧. ,,解:(x，y)dydz 对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有后前,,, 222222,x,R,y,z, : ; D: y，z,R前yz 222222,x,,R,y,z, : . D: y，z,R后yz(x，y)dydz因此, =+ ,,,,,,,,,后前 222222,,,，Ryzydydz，，,R,y,z，ydydz, ，，,,,,DDyzyz ,yrzr,,cos, sin,,R222222,,,,,,,,,,,,,,,28 RyzdydzdRrrdr, ,,,,00222yzR，, 3124，，22r,R32 . 4RrR，，,,,,,,,r,0,,233，， ,,(y,z)dzdx对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有右左,,, 222222, : y,R,z,x, ; D: x，z,R右zx 222222, : y,,R,z,x, . D: x，z,R左zx(y,z)dydz,因此, + ,,,,,,,,,右左 222222，，，，,R,z,x,zdzdx,,R,z,x,zdzdx ,,,,DDzxzx 龙岩学院数计院第 4 页共 5 页 42223,2R,z,xdzdx,,R . ,,3222x，z,R ,, 对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有 (z，3x)dxdy下上,,, 222222, : z,R,x,y, ; D: x，y,R上xy 222222, : x,,R,x,y, . D: x，y,R下xy 因此, (z，3x)dxdy=+ ,,,,,,,,,下上 222222,,,，,,,,，RxyxdxdyRxyxdxdy33 ，，，，,,,,DDxyxy 422232 . ,R,x,ydxdy,,R,,3222x，y,R 433综上, (x，y)dydz，(y,z)dzdx，(z，3x)dxdy=. 3，,R,4,R,,,3 龙岩学院数计院第 5 页共 5 页龙岩学院数计院

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