高斯光束照射下的夫琅禾费圆孔衍射

高斯光束照射下的夫琅禾费圆孔衍射 Vol . 18 No . 6 第 18 卷第 6 期 大 学 物 理 COLL E GE P H YSICS J une. 1999 1 9 9 9 年 6 月 ? 高斯光束照射下的夫琅禾费圆孔衍射 顾永建杨会江 ()昌潍师范专科学校物理系 ,山东潍坊 261043 摘要 推导了高斯光束照射下夫琅禾费圆孔衍射场的级数解 ,进而讨论了衍射场的一些基本特征 1 关键词 高斯光束 ;圆孔衍射 ;级数解 分类号 O 43611 2 22 2 x + y x + y ) )( ) ( ( U x , y= exp - exp - i k 2 2 1 引言 2 r w 2 1/ 2 z 0 ()1 +3 w = w 自从有了激光光源以后 ,经常采用由高斯0 2z r 激光束照射衍射屏 ,在远场条件下接收衍射场 2 z r ( )( )4 r = z 1 + 0 2的装臵进行夫琅禾费衍射实验 ,但实验结果会 z 0 1 ,2 2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出对夫琅禾费衍射理 论 值 的 偏 离, 其 π w 0 ( )5 z = r λ 原因在于高斯光束不是严格的平行光 1 由于计 这里 w 为高斯光束的腰粗 , z 为高斯光束的 0 0 算上的复杂性 ,对此类问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的处理一般采用数 1 ,3 腰到衍射屏的距离 , w 、r 为高斯光束在衍射屏 值计算的方法, 难以揭示出 变 量 之 间 复 杂 ( ) 处的两个参数 , z 称为瑞利距离 1 在 x , y 和 r 的函 数 关 系 , 而 相 应 的 解 析 处 理 结 果 未 见 ( ) (ρφ) (ρ φ ) x , y 平面分别取极坐标 ,和 ,, 报道 1本文推导了圆孔衍射场的级数解 , 进而 ( ) 则由式 1 有讨论了衍射场的一些基本特征 1 2 π2 R 2ρρ- exp - i k ?( ) U P= Cexp2 ??2 r w 0 0 2 圆孔衍射场的级数解 k i ρ ρ φ φ )ρρφ (exp - cos - dd= z 如图 1 ,在圆孔大小满足远场条件时 ,场点 2 2 R [ 4 ]ρ ρ k P 的复振幅为ρρ ρρπk J dexp - i Cexp - 2 0 2 ?2 r z 0 w k i ( ) ( ) ( )U P= C U x , yexp d x d y - x x + yy κ z ( ) 其中 J x ,1 为计算方便 为零阶贝塞耳函数 0 ()圆孔 引入变量u 、v : ( ) 1 1 1 i k ( ) 式中 U x , y为入射高斯光束的复振幅 , 其具 )( 6 = + 2 2 2 ruw ( ) 体形式为 只计及与积分有关的部分: ρ θ( )7 v = k/ z ? k sin [ 5 ] 并利用关系式 d n + 1 n + 1 )( ( ) ( )8 J x ] = x J x [ x n + 1 n d x ( ) 则 U P可写成 2 R ρπ( ) - U P= 2Cexp( ρ)ρρ J vd= 2 0 ?0 u 2 R ρππ2 2C C图 1 圆孔衍射示意图 exp -ρ( ρ) ( ) d Jv] = RJvR? 2 1 1 vv ? u0 ?收稿日期 :1998 - 05 - 21 第 6 期顾永建等 :高斯光束照射下的夫琅禾费圆孔衍射7 2 2 R ρR 2 ( ) ( ) 式 14和 15可求出接收屏上任一点相对于中2 ρ)ρρ( - exp - J vd + exp1 2 2 2 ? 0 uuu心点的光强 1 可以看出 , ( ) 利用式 8不断进行分部积分 , 最后可得 衍射 场 的 光 强 分 布 不 仅 2 ( )2J v R R 1 2 +( ) π- U P=R Cexp 与圆 孔 半 径 R 有 关 , 而 2 v R u 23 2 2 2 且还 与 高 斯 光 束 的 参 数 ( ( ))2J v R 2+ J v R R 2 3 R ++ = 2 232 ψ图 2 的意义 ( ) ( ) uv R v R u有关 1 在 用 同 一 台 激 光 ? n 2 2 n - 1 ( ) 2 J v R R Rn ( ) 器 w 一定进行的 实 验 中 , 圆 孔 大 小 和 激 光2 0 - ( )π9 ?R Cexp 2 2 n? uu( ) v R n = 1 器位臵的变化都会引起光强分布的变化 1( ) 由式 6可得2 若圆孔半径很小 , 以致于 R ν w w , 在式0 n - 1 n - 1 n - 1 2 1 1 i k 1 k+ = = ?( ) 14中可忽略+ n = 2 及其以上的项 , 则有2 2 4 2 2 ruw w 4 r2 ( θ) 2J k R sin 1 ) ψ) ψ( ( )( [ cos n - 1+ i sin n - 1] 10 ( ) ( )I P= I16 0 θk R sin 2 k wψ( )= arctan 11 上式正是平行光照射下夫琅禾费圆孔衍射的光 2 r 强分布公式 1( ) ( ) λ 由式 3, 5 , 波 长 一 定 时 , 从w 、r 、 w 、z 中任 取 两 个 量 便 可 确 定 高 斯 光 束 的 性 0 0 3 衍射场的基本特征 ( ) ( ) ( ) 质 1 为看清式 10和式 11的意义 , 利用式 3 ( ) 由式 14可以看出 , 衍射场由一阶以上贝 ( ) , 5可将其改写为 n - 1 n - 1 ( 塞耳函 数 叠 加 而 成 , 叠 加 系 数 由 R 、w w , 1 1 0 ) ψ) ψ( ( [ cos n - 1+ i sin n - 1] = 2 w w u0) ( ) z 、r w , z 的复杂函数关系决定 1 由此决 0 0 0 ( )12 定了衍射场具有以下一些特征 12 2 w - w z ) 0 01第一暗环外移 , 艾里斑增大 1 平行光入 ( ) ψ13 = arctan = arctan w z 0r ( ) 射时第一暗环位于 J x 的第二个零点处 , 其 1 () ψΔθλ由式 13,的意义可用图 2 直观地表示出来 1 角半径为= 0 . 61/ R , 光强为零 1 对于高斯 ( ) 光束的情形 , 由于在 J x 的第二个零点处 ,J ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 将式 7、12代入式 9, 并利用 I P= 3 ( ) ( ) ( x , J x , 均 不 为 零 有 的 尚 接 近 极 大 3 ( ) ( ) P 点的光强为U PU P可求出 ) 值, 其零点在 x 更大的位臵上依次铺开 , 叠加 ? n2 n - 1 ( θ)2 J k R sin R n ( ) ( I P= Icos n - 0n的结果必然使强度极小的位臵外移 , 而使艾里 ? w w 0( θ) k R sin n = 1 ? n - 1 斑增大 1 2 n2 ( θ)2 J k R sin R n ) ψ ?1+ n?) 2光强的极小值提高 , 极大值降低 , 振荡 w w 0( θ) k R sin n = 1 2 幅度减弱 1 由于各阶贝塞耳函数无公共零点 , ) ψ( )( sin n - 1 14 故衍射极小的光强不再为零 , 而是有所提高 1 2 2 同样 , 衍射次极大的光强会有所降低 1 R 22 - πψ R expC | , 由 式 | 其 中 I = 0 2 ) 3上述偏离标准夫琅禾费衍射的现象 , 其 w 偏离的程度取决于圆孔半径 R 和高斯光束的 ( ) ( ) 11或式 13决定 1 利用关系式 n) ) ( ( 参数 w w , z 、r w , z 的取值 1 0 0 0 0 ( ) 2 J x n 1 = limn ( ) ( ) 由式 14及导出式 16的过程可知 , 在激 x ?0n ! x 光器及其放臵的位臵一定的情况下 , 对标准夫 可求出衍射场中心点 P的光强为 0 琅禾费衍射的偏离程度将随圆孔半径的增大而 ? n - 1 2 2 R 1( ) ) ψ( cos n - I P= I1 + 0 0更加显著 1 激光束参数的影响则较为复杂 , 此 ? w w n ! 0n = 1 处不再详细讨论 1 图 3 给出了圆孔半径 R 从 ? 2 n - 1 2 R 1( ) ψ( )sin n - 1 15 ? w w n ! 0n = 1 ( ) 式 14即圆孔衍射场光强分布的级数表示 , 由 表 1 特征数据表 小到大变化过程中的光强分布曲线 1 该图依据 平行光 ( ) ( ) λ R / mm 0 . 03 0 . 2 0 . 3 式 14、15计算得出 , 计算时取 = 0 . 632 8 第一暗环μ m , w = 0 . 225 mm , z 取瑞利距离 z = z =0 0 0 r λλλλ0 . 611/ R 0 . 646/ R 0 . 719/ R 0 . 610/ R 角半径3 0 . 251 3 ×10mm1 为看清细节 ,图中未画出光 第一暗环0 . 000 153 0 . 190 0 . 894 0 强曲线的全貌而只画出了第一 、二级极大的部 ( )相对光强 % 一级极大分曲线 1 图中还画出了平行光入射时的光强分 1 . 70 1 . 23 1 . 03 1 . 75 ( )相对光强 %布曲线以资对照 1 比关系既具有理论意义 , 又具有重要的实际意 ( ) 图 3 中 a为 圆 孔 半 径 为 0 . 03 mm 的 情 义 1 如狭缝实验中可通过测定一级极小的角半况 ,可见两条曲线重合 ,即高斯光束照射和平行 [ 6 ] 径 ,再通过衍射反比关系推算出缝宽 1 但实 光照射的光强分布规律相同 1 当圆孔半径增大 验上已发现推算值偏小 , 且缝越宽偏小程度越( ) 至 0 . 2 mm 时 ,从图 b可见两者表现出明显的 [ 2 ] 大 1 圆孔衍射的衍射反比关系为 偏离 ,即第一暗环外移 ,光强的极小值提高 ,极 Δθλ )( 17 = 0 . 61/ R大值 降 低 1 圆 孔 半 径 进 一 步 增 大 至 0 . 3 mm 由表 1 可见 , 对于高斯光束 , 比例系数不再为常 () 时 ,由图 c可见 ,上述现象更加显著 1 最后 ,圆 数 , 而是随圆孔半径的增大而增大 , 即衍射反比 ( ) 孔半径增大至 0 . 5 mm ,图 d表明 , 衍射效应 ( ) 关系不再精确成立 1 若仍由式 17推算圆孔半 极不明显 ,此时圆孔对入射光束已几乎不加限 径 R , 则推算值也会偏小 , 且 R 越大偏小程度 制 ,光强分布曲线是入射高斯光束直接投射的 越大 1 事实上 , 一般情况下有 结果 1 将计算得到的一些特征数据列入表 1 ,Δθλ( )( )= C R , w , r/ R 18 从中可定量地验证上述结论 1 即比例系数与 R 、w 、r 都有关 1 ) 5结合文献 [ 3 ] 对单缝衍射的讨论 , 可以认为 上述特征是高斯光束照射下夫琅禾费衍射的普 遍特征 1 参考文献3 让庆澜 1 高斯光束照射下的圆盘夫琅禾费衍射 1 大学物 1 ( ) 理 , 1997 , 16 11:5 周军 1 应用计算机数值求解实现激光衍射法精确测缝宽 12 ( ) 物理实验 , 1993 , 13 5 顾永建等 1 高斯激光束夫琅禾费单缝衍射的分析 1 山东 3 ( ) ( )师大学报 自, 1993 , 8 4 赵凯华 , 钟锡华 1 光学 1 北京 :北京大学出版社 , 1984 王竹4 图 3 光强分布曲线 5 溪 , 郭敦仁 1 特殊函数概论 1 北京 :科学出版社 , 1979 杨之) 4衍射反比关系不再精确成立 1 衍射反 昌等 1 物理光学实验 1 上海 :上海科学技术出版社 ,1986 6 FRA UNHOFER D IFFRACTIO N OF GA USSIA N BEAM BY A CIRCUL A R APERTURE Gu Yo ngjian Yang Huijiang ()Depart ment of Physics ,Changwie Teachers College , Weifang ,Shando ng ,261043 ,China Abstract The series solutio n to t he Fraunhofer diff ractio n field of Gaussian beam by a circular apert ure is derived ,and t he f undamental characteristics of t he diff ractio n field are analysed. Key words Gaussian beam ;circular apert ure diff ractio n ; series solutio n