代数极值
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题
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一直是国内外
数学
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竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.
一、条件极值问题
例1 设非负实数满足,求
的最小值.
解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将用常数1代换,
得
,同理,,……,
,令,则.
为了利用柯西不等式,注意到,则
.∴,即.当且仅当
时,上式等号成立.从而,有最小值.
评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件.
例2 设,且.求的最小值.
解:由于,可设,则.
当且仅当,即时等号成立.因此的最小值为.
评注:引进增量起到了降元的作用.
例3 设为正数,且,求的最小值.
解:设,则
.
由柯西不等式得,
.
从而,
,即.当且仅当时去等号.故所求最小值为1.
评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明
而得到最小值.
二、多元
函数
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极值问题
例4 设,求函数的最小值.
解:,故时,.
评注:配
方法
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是解与二次函数有关最值问题的常用方法.
例5 已知非负实数满足,求的最小值.
解:当都为定值时,由于,
可见,越大,上式的值越小.为此,令
, ①
则.∴
其中.再进行形如①的变换次,即可得
,其中等号当时取得.∴所求最小值为.
评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数.
再看一个逐步调整法的例子.
例6 给定实数.对于满足条件的所有正实数组,试求
的最值.
解:由对称性,设,由齐次性,设,
,
,从而.
另一方面,将看作常数,.时,为凸函数,在或时取得最大值.同理,在或时取得最大值.
设取得最大值时,中有个为,个为.
此时,.为开口向下的抛物线,对称轴为,故或时,取得最大值.
,
.
.
三、无理函数极值问题
例7 求函数的最大值.
解:由于.
令,则.于是,问题转化为在抛物线上求一点,使最大.
因点在抛物线下方,点在抛物线上方,故直线和抛物线必相交,交电由方程组确定,消去,得.由于关于的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当点位于负根所对应的交点位置时,有最大值.
评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到的最大值为.
例8 求函数的最值.
解:由于,可令,
则.于是
,其中.
因为,故,从而,
即,故.
评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角
公式
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.
例9 求函数的最小值．
解：先求定义域，注意到两个根号内的函数在上都递减，在上都递增，故原函数亦如此．故．当时取到最小值．
评注:运用单调性,简单巧妙.
例10 求函数的最小值．
解:（构造法）：，表示动点到定点的距离之和，故．
解法二:
，当时，两等号同时成立，故．
例11 对实数，求函数的最大值．
解：的定义域为[6，8]，，当时，；，当时，，从而当时有最大值．
解法二：定义域为[6，8]，令，，．
， ……（1）．，代入（1）得：，易知，……（2），，当时（1）、（2）同时取等号．故有最大值．
解法三：的定义域为[6，8]，，，在[6，8]上是减函数，从而当时有最大值．
评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若，同时在处取得最大值，则在处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若在闭区间[a,b]上为单调函数，则在端点处取得最值”．
四、分式函数极值问题
例12 设是不全为零的实数,求的最大值.
解:
.令,解得
.所以.当且仅当时等号成立.
故的最大值为.
评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.
例13 对所有,求的最小值.
解:作代换,则.从而,,即.同理,.将以上三式相乘,
得.若,则.
故
.矛盾.所以.从而,当时,所求最小值为1.
评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在成立的条件下,求的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.
例14 已知,求的最小值.
解:对分母进行代换,令,
则
.
故
.由均值不等式得
上式.当且仅当时等号成立.∴当时,所求最小值为.
评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.
例15 设为正实数,且,求的最大值.
解:设,.由,得,
即,从而.故
.因此,当,
即时,.
评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.
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