2010大学生年数学建模大赛优秀论文

输油管的布置 摘要 本文主要研究了在不同的情况下如何铺设输油管线，使铺设费用最省的问题。 问题1要求我们在考虑炼厂间距离及炼厂到铁路距离不同和共用管道与非共用管道费用相同及不同的情况下，给出最优的管线 设计方案 关于薪酬设计方案通用技术作品设计方案停车场设计方案多媒体教室设计方案农贸市场设计方案 。对此， 我们分共用管道与非共用管道费用相同和不同两种情况，建立了两个模型对这一问题进行了研究。 1）、当共用管道与非共用管道费用相同时，我们利用几何方法给出最小铺设费用求解模型一， 推导出了两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离在3种不同条件，管道铺设最省 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，结果参见论文14页。 2）、当共用管道与非共用管道费用不相同时，我们将最小铺设费用求解问题转化成势能最小原理进行求解,建立了模型二。推出了两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离在4种不同情形下的最优管道铺设最省方案，（其中3种情形需要共用管道，1种不需要共用管道）。结果参见论文14页及图1.5—1.8 。 问题2要求我们在考虑管线费用相同和城区拆迁附加费用的情况下，求解最小铺设费用及相应的铺设方案。为此， 考虑车站位于城区和郊区两种情况下，以铺设费用为目标函数，建立了优化模型三。当车站设在郊区时，目标函数 ；当车站设在城区时，目标函数 。根据e的取值范围 ，借助lingo编程求得城郊最小铺设费用波动区间分别为 和 ，由此知，车站的合理位置在郊区。考虑到三家公司估算的拆迁附加费用可信度不同，我们又建立一个层次 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 模型给出该费用合理估算值 ，相应的最省费用为 万元，管线铺设布置图为图2.4。 针对问题3，我们采用与问题2类似方法，建立了模型四，求得车站在城区和郊区时最小费用波动区间分别为 和 ，当 时，车站位于郊区，最省费用为 万元，管线铺设图为图3.3。 关键词：  最省方案  函数方程  势能最小原理  优化模型 一、问题重述 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，以及是否需设共用管道，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，根据这些不同的情形， 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 出方案。 2.若两炼油厂的具体位置由下图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为7.2万元/每千米。 但铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20         请给出管线布置方案及相应的费用，使得所用费用最少。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 二、问题分析 问题一： 通过分析题目条件可知，问题一主要让我们在当非共用管道与共用管道费用相同和不同两种情况下， 讨论两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离不同情形，找车站的位置使车站到两炼油厂的输油管的铺设费用最省。①：当非共用管道与共用管道费用相同时，那么找车站到两炼油厂最短路径，即是输油管的铺设费用最省，再讨论是否需要共用管道，若要，从那点开始使用共用管道；②： 当非共用管道与共用管道费用不相同时，通过势能最小原理，找到平衡点，确定 、 厂和铁路线关系，是否需要共用管道使输油管的铺设费用最省。 问题二： 两炼油厂有了具体的位置，但涉及到城市与郊区之分，考虑到在城市设立在郊区增加了附加费用，所以要把城市与郊区分开讨论。具体过程如下图： 但附加费用不确定，所以设计院在确定附加费用时，聘请了三家工程咨询公司，其估算具有随意性，其费用在一定范围内波动，为更加精确其估算值，用层次分析确定其值。结合附加费和铺设费得出其总费用，最后求极值。 问题三： 问题三只在第二问的基础上将各个运输管道的费用区分开来，具体求解类似于问题二。 三、问题假设 1、两家炼油厂生产的是同一种成品油。 2、输油管在两地间是沿直线铺设的。 3、管线铺设没有浪费。 四、符号说明 ：铺设管道的总费用 ：输油管汇集点 的坐标 ：炼油厂 的坐标 ：炼油厂 的坐标 ：问题二和三中输油管分界点 的纵坐标 ：拆迁和工程补偿等附加费用 ：共用管道的费用 ：非共用管道的费用（注： ） ：总铺设管线的长度 五、模型的建立与求解 问题一的模型及求解： 问题一要求我们针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出最优设计方案。 由于共用管道和非共用管道的费用有相同和不同两种情况，因此分共用管道和非共用管道的费用相同和共用管道和非共用管道的费用不相同两种情况来讨论。 模型一：共用管道和非共用管道的费用相同 假设 厂在 厂的左边，，以铁路线为 轴，以过 点并且垂直于 轴的直线为 轴，建立如图1.1所示的坐标系，设 、 两厂的位置即坐标为： ， ，不妨设： ，设 点为共用管和非共用管道交汇点 坐标为： ， 到 轴的距离为 。 、 为非共用管道距离， 为共用管道距离，  为共用和非共用管道总距离。 图1.1： 、 点在坐标轴中位置图 过 点作 轴的垂线记为直线 ， 点在直线 上移动。直线 位置有如下三种情况： （1） 时，即直线 在 厂上方。此时管道总长度 取得的不是最小值。所以此种情况舍去。 （2） 时， 可以取得最小值，但是此种情况需要共用管道。 （3） 时，直线 与 轴重合，即 点与 点重合， 有 可以取得最小值，此种情况不需要共用管道。 下面沿用参考文献【1】的方法证明（2）、（3）两种情况。可以求出两炼油厂的位置到铁路的距离之间的关系，进而确定 点的位置。 在坐标轴上取 厂关于直线 的对称点 ，连接 ， 。如图1.2： 图1.2：最短路径示意图 为了便于计算，我们先把 值看成是定值。 的坐标为 。 记 ，根据三角形两边之和大于第三边易证： 令 。对 求导得： 令 ，解得： ， （由 ，此值舍去）。 由 得： 化简得： （1） 当 时，经计算得出 ，那么 在区间 上单调减。当 时， 。此种情况下得到 点的坐标为 。即 点与 点重合时， 值最小，此种情况有共用管道，最省费用为： 。 （2） 当 时，经计算得出函数 在区间 上单调减函数。在区间 上单调增。所以 当 时， 的坐标为 。 那么直线 的方程为： ， 直线 的方程为： ， 联立上述两个方程解得： ， 。 所以当点 的坐标为 时， 值最小。计算得出 的斜率为 ， 的斜率为 ，所以有 ，那么 点是费马点即此种情况有共用管道使用。此时最省费用为： 。 （3）当 时，经计算得出 ，即 在区间 上单调增。所以当 时, 最小， 。此时, 点在铁路线上，即在x轴上，为直线 与x轴交点 ， 值最小。此种情况没有共用管道，最省费用为： 。 模型二：共用管道和非共用管道的费用不相同 由假设2：输送 、 两厂成品油的非共用管道的铺设费用相同,设非共用管道的费用每千米为 万元,，设共用管道的费用每千米为 万元。那么 和 有如下关系： ， 证明（2）：假如 ，说明单个共用管道比两个非共用管道费用还多，这种情况下，使用共用管道比使用非共用管道的费用还高，不符合题目的最省的要求。所以 不成立。因此 成立。根据三角形三边性质，以 ， ， 为三边定能构成三角形。 那么铺设输油管道的总费用为： 。为求 点位置，使总费用最小。如下图1.3 过 点做 轴垂线为直线 ，过 点做 轴垂线为直线 且 与 ， 的夹角分别为： ， 。 图1.3： 点受力分析图 参考文献【2】和【3】，我们可以把求该铺设输油管道的总费用 的最小问题看作求独立系统势能最小问题。 定理：（独立体系势能最小原理）当独立系统势能最小时，系统达到平衡状态，系统所受合力为零。该定理结论如图1.4所示： 图1.4：势能最小原理图 由图1.4所示，三个物体 、 、 和线段 、 、 构成势能系统；只有当系统稳定时，势能最小，此时系统所受合力为0。 针对本问题，把图1.3中 、 、 看成图1.4三个物体 、 、 ；图1.3中线段 、 、 对应图1.4中线段 、 、 。 用力学平衡原理对点 进行受力分析，沿 轴方向受力分析为： （1）；沿 轴方向受力分析为： （2）。 联立（1），（2）式可以得到： （3）， （4） 因为 ， 由余弦定理得： （5） 由正切定理得： （6）， （7） 联立（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式可以得到方程组： ， 解得 ， 分别为： ， 。 对 ， 值分如下进行情况讨论： （1）当 时，推算出 ，进而计算出 的值为： ， 此时点 在 轴上坐标为： ，此种情况没有共用管道，最少费用管道铺设示意图如下： 图1.5：最少费用管道铺设示意图 最省费用为： （2）当 ， 时，推算出 ， ，此种情况 点与 点重合，并且有共用管道，最省管道铺设示意图如下： 图1.6：最少费用管道铺设示意图 最省费用为： （3）当 ， 时，推算出 ， ，（此时 ） 点与 点重合，并且有共用管道，最省管道铺设示意图如下： 图1.7：最少费用管道铺设示意图 最省费用为： （4）当 ， 时，推算出 ， ，此种情况下， 点在 与 之间，并且有共用管道，最省管道示意图如下： 图1.8：最少费用管道铺设示意图 最省费用为： 总结以上两大情况： 一 ：当共用管道和非共用管道的费用相同时 （1）若 ， 厂坐标之间满足 时，在 点 处用共用管道，共用管道长度为 ，最省费用为： 。 （2）若 ， 厂坐标之间满足 时，在 点 处共用管道，并且 点为费马点，共用管道长度为 ，最省费用为： 。 （3）若 ， 厂坐标之间满足 时，不需要共用管道，最省费用为： 。 二: 当共用管道和非共用管道的费用不相同时 （1）若 ， 厂坐标之间满足 时，不需要共用管道， 点在 ，最省费用为： 。 （2）若 ， 厂坐标之间满足 ， 时，需要共用管道， 点与 点重合为： ，共用管道长度为 ，最省费用为： （3）若 ， 厂坐标之间满足 ， 时，需要共用管道， 点与 点重合为： ，共用管道长度为 ，最省费用为： （4）若 ， 厂坐标之间满足 ， 时，需要共用管道, 点在 、 点之间，共用管道长度是 ，最省费用为： 模型三：问题二的模型建立及求解 本问题在问题一的基础上添加了城区与郊区的区别，各管线的费用仍然相同，但在城区铺设管线需要增加附加费用，，所以只需要对车站建在城区和郊区分开来考虑。 情况一：将车站设在郊区内。 建立如图2.1所示的管线铺设模拟图：以铁路为 轴， 为 轴，线段 是在城区铺设的管线， 点为两种管线的交接点， 点为需要建立的车站，虚 线是城区与郊区的分界线。 根据上图可以得出总费用 的目标函数为：