【数学物理方法课件】二阶线性常微分方程的幂级数解法（可编辑）

【数学物理 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 课件】二阶线性常微分方程的幂级数解法（可编辑） 4 ?6.5 1 - !"#$% ?6.1 &' *+,-./*0120 3456789:; ?@AB 2 d w dw dz2 + p z dz + q z w 0, 6.1 p z Cq z DEFGHIJK ? FGHLMNOPFGHIJQRHK ? STMUFGLHLVWMNOPFGIJHLVWQRHK XYZ[\[]^_`abUcde[fghijklz0 emnopqersYZK e e | `atZp z , q z uz0 l [vwxykzYZ[uz0 l [vwU Uxyk zYZ[e~• g YZ?g YZ UU Taylor Laurent K ? p z , q z ?z LVU?z DEFGH? K 0 ? 0 ? ? ? p z , q z z LVU?z DEFGH? K 0 0 ? ? ? 6.1 FG Hypergeometric equation 2 d w dw z 1 ? z dz2 + γ ? 1 + α + β z dz ? αβw 0 HIJM γ ? 1 + α + β z αβ p z C q z ? . z 1 ? z z 1 ? z Up z Cq z z 0 Cz 1 KUz 0 Cz 1 MFG H? UH MFGH? K ? ? 6.2 Legendre FG 2 2 d y dy 1 ? x dx2 ? 2x dx + l l + 1 y 0, H? Ex ª1 K ? ,,?,| ?- ? z ? M MFG 6.1 H? U????a H z 1/t K ? ? ? 2 2 dw dw d w d w dw dz ?t2 dt , dz2 t4 dt2 + 2t3 dt . ?ˉUFG 6.1 ?E 2 d w 2 1 1 dw 1 1 dt2 + t ? t2 p t dt + t4 q t w 0. 6.2 ,| t 0 MFG 6.2 H? ? U?D ? z ? MFG 6.1 H? ? K ? ? ? ? ? ?6.1 ?ª2? 2 t 0 3z ? EFG? H′μM ? p 1 2t + a t2 + a t3 + ?? ?? ?? , 2 3 t q 1 b t4 + b t5 + ?? ?? ?? , 4 5 t 3 2 a2 a3 p z + 2 + 3 + ?? ?? ?? , z z z b4 b5 q z 4 + 5 + ?? ?? ?? . z z ,|? MFGCLegendre FGH? K ? ? 3 ?6.2 9????1 o UàáHR?K ˉ 6.1 p z Cq z ?â|z ? z0 | R ãä?LVU âã?åæFGD 2 d w dw dz2 + p z dz + q z w 0, E?ç?J w z c , w z c c , c 0 0 0 1 0 1 ?è?HLw z Uw z âãä?LVK ×R?Uê?ëw z ?z0 ?H?ì |z ? z0 | R ãYTETaylor ?J ? w z c z ? z k . k 0 k 0 àáU?a z ? z 0 ? z ? z 1 HIJc ?c C′μK 0 0 0 1 âãH?JLä?åæFGUåæIJU?êeIJ c KR UIJ k ? c k 2, 3, ?? ?? ?? çêèc , c K k 0 1 ? 6.3 ?Legendre FG 2 2 d y dy 1 ? x dx2 ? 2x dx + l l + 1 y 0 ?x 0 ìãHLUl MJK o ?ˉ x 0 MFGH? U UêéL ? ? y c xk . k k 0 ä?FGU ? ? ? 1 ? x2 c k k ? 1 xk?2 ? 2x c kxk?1 + l l + 1 c xk 0, k k k k 0 k 0 k 0 ê?Uë? ? k k + 2 k + 1 ck+2 ? k k + 1 ? l l + 1 ck x 0. k 0 ×?Taylor YTHè?WUêë k + 2 k + 1 ck+2 ? [k k + 1 ? l l + 1 ] ck 0, 3 k k + 1 ? l l + 1 k ? l k + l + 1 ck+2 ck ck . k + 2 k + 1 k + 2 k + 1 ?6.2 ?ìyt 4 ëIJ H K è IU?êëIJ 2n ? l ? 2 2n + l ? 1 c2n c2n?2 2n 2n ? 1 2n ? l ? 2 2n ? l ? 4 2n + l ? 1 2n + l ? 3 c2n?4 2n 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 3 ?? ?? ?? c0 2n ? l ? 2 2n ? l ? 4 ?? ?? ?? ?l 2n ! × 2n + l ? 1 2n + l ? 3 ?? ?? ?? l + 1 , 2n ? l ? 1 2n + l c2n+1 c2n?1 2n + 1 2n 2n ? l ? 1 2n ? l ? 3 2n + l 2n + l ? 2 c2n?3 2n + 1 2n 2n ? 1 2n ? 2 ?? ?? ?? c1 2n ? l ? 1 2n ? l ? 3 ?? ?? ?? ?l + 1 2n + 1 ! × 2n + l 2n + l ? 2 ?? ?? ?? l + 2 . èΓ JHW Γ z + 1 zΓ z , Γ z + n + 1 z + n z + n ? 1 ?? ?? ?? z + 1 zΓ z , ? ê? c2n Cc2n+1 l l + 1 2n Γ n ? Γ n + 2 2 2 c c , 2n 0 2n ! l l + 1 Γ ? Γ 2 2 l ? 1 l 2n Γ n ? Γ n + 1 + 2 2 2 c c . 2n+1 1 2n + 1 ! l ? 1 l Γ ? Γ 1 + 2 2 ULegendre FGHL?M y x c y x + c y x , 0 1 1 2 l l + 1 ? 2n Γ n ? Γ n + 2 2 2 2n y1 x x , 2n ! l l + 1 n 0 Γ ? Γ 2 2 5 l ? 1 l ? 2n Γ n ? Γ n + 1 + 2 2 2 2n+1 y2 x x . 2n + 1 ! l ? 1 l n 0 Γ ? Γ 1 + 2 2 RU?ç R? ?′μc0 Cc1 URêeFGHSLKST MU ? c0 1, c1 0 U?ë?SLy1 x ? c0 0, c1 1 U?ë?SLy2 x K àá , , USLy1 x Cy2 x M W HK W SLe U?ê? eFGH LK ? ë Lã?H?Jc Cc M?ç ?JU ë?H?MFG ? 0 1 ? ? H LK o -6 !K ?ëHSL?Uy x "#? x H$%&Uy x "#?x H? ? 1 2 %&U3y x Mx H$ JUy x Mx H? JK ?LH'G U?MP I?" 1 2 ? , ?ˉ ×, e*IJck+2 Cck U+ ck+1 U c2n NOPc0 QRUc2n+1 NOPc1 QRK ?UFGHLH-DW ?a.HM?$W U/á01MFGH-DWH 2K '34Uê? e ?ìãJLH?567KM ? ? ? ? FG? ?ìãH LYTETaylor ?JUä?åæFG ? ? åæIJUë?IJ H I ? è IU?eIJck H89?:ã èc0 Cc1 U +; ëe?JL P I?RM WH ?EFGM WH U; H?JL?Rê? w z c w z + c w z 0 1 1 2 HâãK ,.eU?IJ H I?U?5 ?@e* ck , ck+1 , ck+2 A?B?HIJU?ˉ c ?@CD c Cc U; ?ëHw z E w z ? "#?z H$%&E?%&K k 0 1 1 2 ? 0è?åæFGH&?JLFUê?ë?FGRGìãHLãKHIJê?×? ,U K ?ˉ ?eFG? ?GìãHLãKê? UFG? ?GìãHLãU ELVLMK UJê ? ? FG?N?GìãHLãe U 'LVLMU eFGGìãHLãK ? 6.4 O w1 MFG 2 d w dw dz2 + p z dz + q z w 0 6.3 HLU?GìG1 ãLVKP w1 Mw1 ?GìG2 ãHLVLMU3 ?6.2 ?ìyt 6 w ? w , z ? G G , 6.4 1 1 1 2 Q w1 RMFG 6.3 HLK S O 2 d w1 dw1 dz2 + p z dz + q z w1 g z , ? T g z ?G2 ãLVK Ew1 MFG 6.3 ?GìG1 ãHLU ?UGì G1 G2 ãURVWFG 2 d w1 dw1 dz2 + p z dz + q z w1 0. ˉ T +? UGìãUw1 z ? w1 z U 2 d w1 dw1 + p z + q z w 0, z ? G G , 1 1 2 dz2 dz ×? 3g z ? 0, z ? G G K LV JHè?WUX3 ë 1 2 ? g z ? 0, z ? G , 2 Y3w ?G ã FG 1 2 VW 2 d w1 dw1 dz2 + p z dz + q z w1 0. ? MFG , 6.5 O w1 C w2 ? 6.3 H W LU?ç?Gì G1 ãLVKP w1 Cw2 æTMw1 Cw2 ?Gì G2 ãHLVLMU3?z ? G1 G2 ? w1 ? w1, w2 ? w2 . Q , w1 Cw2 R W K S ? , P4 6.4 ZUw1 Cw2 RMFG ?G2 ã HLK Ew1 Cw2 W U w1 w2 ?[w , w ] ? 0, z ? G . 1 2 1 w w 1 2 O w1 w2 ?[w , w ] ? g z , 1 2 w w 1 2 g z ?G2 ãLVKP ?z ? G1 G2 ?U w1 ? w1, w2 ? w2 , T g z 0, z ? G G K á×?LV JHè?WU? ë 1 2 R ? g z 0, z ? G . 2 , Uw1 Cw2 ?G2 ã R W K 7 ?6.3 [\-????1 o "]^_ WH? K ? ? , b FGH? ê`?@JMLH? K ê`MLH_ E W? U ê`MLHc K ? ? ?a ? ? ? ? ?E?FG ?ìã?LHC Ud% R? ? ? àá?e ? 6.2 z0 MFG 2 d w dw dz2 + p z dz + q z w 0 , H? Up z Cq z LVHfâGì0 |z ? z | R ãUFGH W LM ? ? 0 ? w z z ? z ρ1 c z ? z k , 1 0 k 0 k ?? ? w z gw z ln z ? z + z ? z ρ2 d z ? z k , 2 1 0 0 k 0 k ?? ρ1 , ρ2 Cg ?M?JK ? , ρ E ρ M JU?g 0 U?z EFGHLH_ E W? K 1 2 0 ? ? ? ? ρ E ρ M JUE g 0 U?FGHLEg? JUz E?c K 1 2 ? 0 ? ? e •op cd exyz r hu?ijklmn [ `aUqrstu tZvw tU | e•• e ? rs \ ~tZ b YZ[? i? K U U UXxyztrK ? 0 JL?"&?U?@?ê B H ρ ?U?ë?JL&?U ? w z z ? z ρ1 c z ? z k , 1 0 k 0 k 0 ? w z gw z ln z ? z + z ? z ρ2 d z ? z k . 2 1 0 0 k 0 k 0 á b , MU è I?êëIJH89?:ãK/ U ?? Re ρ ?K ~•e[ [\oK,g 0 bUw2 z e~•? w1 z ,? ,?|Z? U e• | ? ? e~•? ???_? [K,g 0 bUw2 z ?,, Z Ua [ ?K EeFG? ?ìã-? ?LH′μU ? ? ? ? w z z ? z ρ c z ? z k , 0 k 0 k 0 ?6.3 ˉ?2?ìyt 8 ?@ëp z Cq z J?0 |z ? z0 | R ã?Laurent YT ? p z z ? z ?m a z ? z k , 0 k 0 k 0 ? q z z ? z ?n b z ? z k . 0 k 0 k 0 T ? ? ? P z z MFGH_ W? U m, n ?E JUE? JK w z ?ªp z 0 ? ? ? ? ρ?2 Cq z H?J ãä?FGU?23 U z ? z U?ë? ?: 0 ? c k + ρ k + ρ ? 1 z ? z k k 0 k 0 ? ? + z ? z 1?m a z ? z l c k + ρ z ? z k 0 l 0 k 0 l 0 k 0 ? ? + z ? z 2?n b z ? z l c z ? z k 0. 0 l 0 k 0 l 0 k 0 ′μ? • ?etZ ~ tZ e• m U???m a1o? U?iu ρ ck • ? ? c á? x ~z [ ?g zà [ g ~ Ujk ? w z K U? a ? U ,t ? e ρ ?U?ρ g? `a [ a ? K HI?â? ë?HããK?ããä?å? ?UæIH;?%&?æTE ? ? A 0 c ρ ρ ? 1 z ? z , 0 0 c a ρ z ? z 1?m , 0 0 0 c b z ? z 2?n . 0 0 0 ?ˉ , UE? `?ëρ ?Uããä?H;?%&?RM 0 %&U3 1 ? m ? 0, 2 ? n ? 0. -?D?Uz0 01M p z H ?'H_ U 3 z ? z p z ?z LV ? ? 0 0 ? 2 q z H ?'ç?H_ U 3 z ? z q z ?z LVK ? ? 0 0 ? ?è? DEFGH[\-?UUDE?[\-?K ? U?FGH H?ìãULê` M ?LK?× HæVb ? ? ? ? ? NO ?]^#-J?H ?LHêâ U MUë^?M HKY HR? ? ? a ?ì K 6.3 FG 2 d w dw dz2 + p z dz + q z w 0, 9 ?æH? z H?ì0 |z ? z | R ?L ? 0 0 ? ? w z z ? z ρ1 c z ? z k , c 0, 6.5 1 0 k 0 0 k 0 w z gw z ln z ? z 6.6 2 1 0 ? + z ? z ρ2 d z ? z k , g Ed 0 6.7 0 k 0 0 k 0 , HT ′μMz EFGH K 0 ? ? ? ρ Cρ DE ?LH? K 1 2 ? à [\-????1áoa ? Lw1 z E w2 z ä?FG ? 'åæIJU?e.?C I ? ?+?eIJH89?:ã 3?H?L'GU?Mw1 z âãHLä?FGU , á , ? `@?ë W LU/ ?âãäN U? d w z âãH 2 Lä?FGK ?å b ? @"`?ëL 4?ρ1 ρ2 @ U U? ??d w2 z âãHL ? @Hg ?R E0 ä?FG?LK ? ×åæFGH89?^U- ç? W?åæFG 2 d w dw dz2 + p z dz + q z w 0, ?å æeLw1 z U U?ê? '?æ z 1 z w2 z Aw1 z 2 exp ? p δ dδ dz [w1 z ] ? ?eeçLK?M EL?VWFG 2 d w1 dw1 dz2 + p z dz + q z w1 0, 2 d w2 dw2 dz2 + p z dz + q z w2 0. èw2 z Cw1 z æTFGUdBçUãêë? 2 2 d w2 d w1 dw2 dw1 w1 dz2 ? w2 dz2 + p z w1 dz ? w2 dz 0, 3 d dw2 dw1 dw2 dw1 w1 ? w2 + p z w1 ? w2 0. dz dz dz dz dz ?6.3 ˉ?2?ìyt 10 ?æUêë dw2 dw1 z w1 ? w2 A exp ? p δ dδ . dz dz w2 Uèê?ë? 1 d w2 A z dz w1 w2 exp ? p δ dδ . 6.8 1 d?æ?%U?ë? Hë?K ? ? 6.4 àáUz 0 Cz 1 ?MFG 2 d w dw z 1 ? z dz2 + [γ ? 1 + α + β z] dz ? αβw 0 H x ª1 J MLegendre FG ? ? ? 2 2 d y dy 1 ? x dx2 ? 2x dx + l l + 1 y 0 H K ? ? ,? ,| , ?- ?- E? ? M?E U ? z 1/t Ut 0 M HFGH ? ? ? ? ?- U3t 0 M HFGH? U? ? ? ? t 2 ? 1 p 1 2 ? 1p 1 t t2 t t t C t2 ?? 1 q 1 1 q 1 t4 t t2 t Y ?-? 2 ?t 0 LVU 3z ? M FGH? U? zp z Cz q z ?z ? LVU?D ? ? ? ? ?-? ,| z ? M HFGH KU ? z ? J MFGCLegendre FG ? ? ? ? ? H K ? ? ? 6.5 ?Legendre FG 2 2 d y dy 1 ? x dx2 ? 2x dx + l l + 1 y 0 ?x 1 ?ìãHLK o ? T0 x 1 MLegendre FGH U O ? ? ? y x x ? 1 ρ cn x ? 1 n . n 0 ä?FGU ? ? n+1 2 n cn n + ρ n + ρ + 1 ? l l + 1 x ? 1 + 2 cn n + ρ x ? 1 0. n 0 n 0 ˉ P ê?ë?.?FG ρ ρ ? 1 + ρ 0 11 C I n n ? 1 ? l l + 1 cn ? cn?1. 2n2 .?FGHLM ρ1 ρ2 0. ? mnoeé ê n o e `a l i[? g [v ? Legendre ux 1 m uë |x ? 1| 2 U l é?[ ik ?|Z? ? l ,tux 1 ? ? , U?x 1 x ?1 ?ì U?? ? é ux 1 x ?1 lytK?? i[K P IUêeLegendre FG?x 1 ìãe?LHIJH ? ã l + n l + 1 ? n cn cn?1 2n2 l + n l + 1 ? n l + n ? 1 l + 2 ? n cn?2 2n2 2 n ? 1 2 ?? ?? ?? ?? ?? ?? l + n l + 1 ? n l + n ? 1 l + 2 ? n l + 1 l ?? ?? ?? c0 2n2 2 n ? 1 2 2 ?? 12 1 2 Γ l + n + 1 1n c0 . n! Γ l ? n + 1 2 c0 1 Ue?Legendre FGHe?L ? n P x 1 Γ l + n + 1 x ? 1 , l n! 2 Γ l ? n + 1 2 n 0 DEl %e? Legendre JK , 0 ?eçLU? O ? y x gP x ln x ? 1 + d x ? 1 n 2 l n n 0 ? n ? 1 Γ l + n + 1 x ? 1 n g 2 ln x ? 1 + dn x ? 1 . n! Γ l ? n + 1 2 n 0 n 0 ?åæFG?JLFH?67UReIJg ?R E0 Cd 3êK ? n ×? ? 3èH FM eçL e?L H IU e y x gP x x 1 exp ξ 2δ dδ dξ 2 l [P ξ ]2 1 ? δ2 l gP x x 1 dξ l [P ξ ]2 1 ? ξ2 l gP x x dξ + gP x x 1 ? 1 dξ , l l 1 ? ξ2 [P ξ ]2 1 ? ξ2 l ?6.3 ˉ? 12 - |x ? 1| 2 !"#$%&' ? y x g P x ln x + 1 + d x ? 1 n . 2 l n 2 x ? 1 n 0 * g 1 "+,- dn "./0%&1- Legendre 234 1 x + 1 Q x P x ln ? 2γ ? 2 l + 1 l l 2 x ? 1 ? n + 1 2 Γ l + n + 1 1 + 1 + ?? ?? ?? + 1 x ? 1 , n! Γ l ? n + 1 2 n 2 n 0 5 l 6 7 Legendre 89":;γ Euler 9" z Γ 894 9 ?@AB89P x C l DEFGH/"I & x ?1 J x ? KL4MN89 J Q x 4MNOPQR,O4S l ,"TUVWXYZ[\@ ]H^_`]1a b23 2 d w dw dz2 + p z dz + q z w 0 -cdeLfg4 4`hij"kVlmn-opqr]"234 st 9 u-o pqr] u-opqr] ` "234 %vt 9 "234 ,t 9 @ w x yS,23-cdeLz4 | ~ Re ρ1 ? Re ρ2 "d •ρ1 ? ρ2 ?9V" `,st 9 u •ρ ρ V" `,t 9 u 1 2 • c ρ1 ? ρ2 ?9V" %vt 9 @ cde B - "s z 0 L I4 L@ " z 0 L4fg"%'234 ?9? Laurent ? ? p z a zl?1, q z b zl?2 . l l l 0 l 0 ? w z zρ c zk . k k 0 23"0Q ? ck k + ρ k + ρ ? 1 zk+ρ?2 k 0 ? ? ? ? + a zl?1 c k + ρ zk+ρ?1 + b zl?2 c zk+ρ 0, l k l k l 0 k 0 l 0 k 0 ? 13 ? ? ck k + ρ k + ρ ? 1 zk+ρ?2 k 0 ? k k + a k + ρ ? l + b c z 0. l l k?l k 0 l 0 ? 0 ? .,6," z 4 9"%? c [ρ ρ ? 1 + a ρ + b ] 0. 0 0 0 AB c0 0 ",& ρ ρ ? 1 + a ρ + b 0. 0 0 |0 ~23"[\:;4 a0 J b0 2 a0 lim z p z , b0 lim z q z . z?0 z?0 ?? ~23%&1- | ~" ρ1 J ρ2 @ ?a Re ρ1 ? Re ρ2 @ n ? z 4 9"? n n + ρ n + ρ ? 1 c + a n + ρ ? l + b c 0, n l l n?l l 0 ? n + ρ n + ρ ? 1 + a0 n + ρ + b0cn n + a n + ρ ? l + b c 0. l l n?l l 1 |?- ? ? ?-? 9?ˉ4?ª2 @ 3′μ????1o"oà cn á@?â"ã cn á ä?a åæ ? ? ρ @ ρ ρ1 "D w1 z @ç ρ ρ2 "è w2 z @? ρ1 ? ρ2 ?à ?"×?êëá ?ìYT?1á à?@ • | E ` | ` ρ1 ρ2 V"áa v? k | @,&" V ,t 9 @ • c?9 B ? 2 ρ1 ? ρ2 m V" 4 9 cm "Q m + ρ m + ρ ? 1 + a m + ρ + b c 2 2 2 0 2 0 m m 2 + a m + ρ ? l + b c 0. l 2 l m?l l 1 ?6.3 14 [\ m + ρ2 ρ1 ",&Q m 2 2 0 ?? c + a ρ ? l + b c 0. m l 1 l m?l l 1 #$ m • 2 2 u a ρ ? l + b c 0 V" cm ? l 1 l m?l l 1 m • 2 2 a ρ ? l + b c 0 V" cm â\@ l 1 l m?l l 1 B `ãqä ` "234 ? ,t 9 @ B qä ? | ã ` • "234 ,st 9 " aåvæ?1 @ V&/4? ? B - ` c B ` 9 c 2 n m ekV?ç c 2 J c 2 @ w z Q " ? c 2 " n 0 m 2 0 c B ?è? ` ?é ? c 2 @ b! ]"0e" c 2 J c 2 ?ˉ42 c 1 J c 1 ?ˉ4 m m+n m n 0 F`? é 2 c? cë ` ` 2 "#$" cm ê 4 0 .M%v? |a9ì9 "#y * 2 s? cm 0 @ ? 15 ?6.4 Bessel t? Bessel 23 2 2 d w 1 dw ν + + 1 ? w 0 dz2 z dz z2 ` :; cde b23? " ν a9"Re ν ? 0 @ "z 0 234 L"z ? 234 cdeL@ - Bessel 23 z 0 L4fg |z | 0 4 @ ? w z zρ c zk , c 0, k 0 k 0 Bessel 23"? ? ? ? ? c k+ρ k+ρ ?1 zk+ρ?2 + c k+ρ zk+ρ?2 + c zk+ρ ?ν2 c zk+ρ?2 0, k k k k k 0 k 0 k 0 k 0 ρ?2 ? R z " ? ? ? c k + ρ 2 ? ν2 zk + c zk+2 0. k k k 0 k 0 ?? ` ? 94 O" % 9@ A 0 ? E