新高一分班考试[1].数学.第一讲.平面几何之直线型.学生版

新高一分班考试[1].数学.第一讲.平面几何之直线型.学生版 新高一分班考试[1].数学.第一讲.平面几何之直线型.学生版 平面几何之直线型 分班考试的重要性:评价一个中学的好坏，看重的是升学率，而一个中学的实验班和普通班的升学率是相差很大的，因为很多学校的普通班和实验班的老师不一样，教学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 也不尽相同。所以想在辛苦考入的满意高中得到最优质的教学，进入实验班是非常重要的。实验班和普通班重要区别在于: 1、实验班生源好，学习氛围浓厚。 北京市的重点高中大都采用分层次教学，就是将最优异的学生放在最好的班上，比如人大附中高中最好的班是14班，其次是13班;14班到9班为理科实验班，依次减弱，8班为英语实验班，1~7班为普通班，平行分班;北大附中最好的学生进入实验1班，其次2班，3班等等。 2、实验班配备的师资力量雄厚。 任何一位重点中学的校长都明白一个道理:高中不再属于九年制义务教育的范畴，高考成绩成为衡量一个学校是否实力出众的最重要的标准。将最优秀的高中老师和最优异的学生结合在一起产生“化学效应”，是重点高中保证出高考成绩的最佳手段～ 3、实验班的学生将会有更多的机会参加高中各类竞赛。 许多重点中学的实验班，例如人大附的第一实验班及实验中学的竞赛班等都肩负着为学校摘金夺银的重任，在这类班级就读的学生势必受到学校和老师的最大关注和支持。进入实验班就意味着能够参加更多的全国、 全市竞赛，还能得到更多大学的加分，顺利进入名校;并且参加竞赛的培训在高考中将占有更多的优势。 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 1 of 20 分班考试数学课程的安排: 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 2 of 20 知识点睛 板块一 相似类 一、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”( 1(横向定型法 欲证ABBC，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A，B，C恰为?BEBF ?ABC的顶点;分母的两条线段是BE和BF，三个字母B，E，F恰为?BEF的三个顶点(因此只需证?ABC??EBF( 2(纵向定型法 欲证ABDE，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A，B，C恰为?ABC的顶?BCEF 点;右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D，E，F恰为?DEF的三个顶点(因此只需证?ABC??DEF( 3(中间比法 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形 法寻找相似三角形(这种方法就是等量代换法(在证明比例式时，常用到中间比( 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解( 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之( 复合式的证明比较复杂(通常需要进行等线代换(对线段进行等量代换)，等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明( 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 3 of 20 二、相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论(常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等( 如图:AD平分?BAC交BC于D，求证: BDAB ( ? DCAC E A23 B D 证法一:过C作CE?AD，交BA的延长线于E( ??1??E，?2??3( ??1??2，??3??E(?AC?AE( ?AD?CE，? BDBABA ( ?? DCBEAC 点评:做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型( A2 B C E 证法二;过B作AC的平行线，交AD的延长线于E( ??1??2??E，?AB?BE( ?BE?AC，? BDBEAB ( ?? DCACAC 点评:做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型( 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 4 of 20 三、相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题( 常用的面积法基本模型如下: A BCHD 如图: S?ABCS?ACD 1 ?BC?AH BC??( 1CD?CD?AH2 图1:“山字”型 A B H O GD C 如图 S?ABCS?BCD 1 ?BC?AH AHAO???( 1DGOD?BC?DG2 图2:“田字”型 AE D BC 图3:“燕尾”型 SSSABADAB?AD 如图:?ABD??ABD??AED?( ?? S?ACES?AEDS?ACEAEACAE?AC 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学 生版 page 5 of 20 四、相似证明中的基本模型 AI A AE D A E E DE F D B B CBC G BDHGC A B O A A E B AF B B O E CD CDCFDCD A B C B C D D B C ED B A A ED A A C DCC DCDB D E B C F BGD ED B C F AG D E A GC AD F GA FH G D F M B E C B E C E CB E A D F 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 6 of 20 例题精讲 【例1】 如图，?ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把?ABC分成三个三角形和三个平行 四边形(若三个三角形的面积S1，S2，1，2，则?ABC的面积是( S3分别为1， A F 3 HIEGC 【巩固】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE与CD、DC 与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果 QP，求证:BC?AB?PR?CD?RQ?EF?US?DE?ST?FA?TU( P UAF T B E RCDQ S 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 7 of 20 【拓展】设P、Q分别是凸四边形ABCD的边BC、AD上的点，且AQ?QD?BP?PC?AB?CD， 求证:直线PQ与AB之间的夹角等于直线PQ与CD之间的夹角( BR A P Q E CDFCDPQEFC'AB 【例2】 如图所示，在?ABC中，?B?60?，?A?100?，E为AC的中点，?DEC?80?，D是BC 边上的点，BC?1，求?ABC的面积与?CDE的面积的两倍的和( A E BDC 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 8 of 20 【巩固】已知:在?ABC中，AD为?BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长 线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且?B??CAE，FE:FD?4:3( ? 求证:AF?DF ? 求?AED的余弦值; ? 如果BD?10，求?ABC的面积( AAMM BDCEBDCN AE M BDCNE 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 9 of 20 知识点睛 板块二 梅涅劳斯定理与塞瓦定理 梅涅劳斯定理:如果一条直线与?ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么 AFBDCE ???1(这条直线叫?ABC的.梅氏线，?ABC叫梅氏三角形( FBDCEA A G F H1 A A FG B C D B 2 H 3C D C D B 证法一:如左图，过C作CG?DF ?? DBFBECFG ， ?? DCFGAEAF AFBDCEAFFBFG ??????1( FBDCEAFBFGAF 证法二:如中图，过A作AG?BD交DF的延长线于G ? AFAGBDBDCEDC ，， ??? FBBDDCDCEAAG AFBDCEAGBDDC ??????1( FBDCEABDDCAG 三式相乘即得: 证法三:如右图，分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于H1、H2、H3( 则有AH1?BH2?CH3， 所以 梅涅劳斯定理的逆定理:若F、D、E分别是?ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点， 如果 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 10 of 20 AFBDCEAH1BH2CH3 ??????1( FBDCEABH2CH3AH1 AFBDCE ???1，则F、D、E三点共线( FBDCEA 塞瓦定理:如果?ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或 BDCEAF其延长线于D、E、F，如图，那么???1(通常称点P为?ABCDCEAFBAF P BDE的塞瓦点( 证明: ?直线FPC、EPB分别是?ABD、?ACD的梅氏线， ?BCDPAFDBCEAP???1，???1( CDPAFBBCEAPDC 两式相乘即可得: BDCEAF???1( DCEAFB 塞瓦定理的逆定理:如果点D、E、F分别在?ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并 BDCEAF( ???1，那么AD、BE、CF相交于一点(或平行)DCEAFB E F AA F' F BPED BDC 证明: ? 若AD与BE相交于一点P时，如图，作直线CP交AB于F'( 由塞瓦定理得: 又已知 ?BDCEAF????1， DCEAF?BBDCEAFAFAF?， ???1，??DCEAFBFBF?BABAB，?FB?F?B( ?FBF?B ?F'与F重合 ?CF'与CF重合 ?AD、BE、CF相交于一点( ? 若AD与BE所在直线不相交，则AD?BE，如图( ? ?BDEABDCEAF，又已知????1， DCACDCEAFBEACEAFCEFB( ???1，即?ACEAFBACAF ?BE?FC，?AD?BE?FC( 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 11 of 20 运用燕尾定理(共边定理)证明塞瓦定理和梅涅劳斯定理( A A F F P BDECBCD 塞瓦定理证明: 点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于D、E、F，如图，那么根据燕尾定理BDCEAFS?BAPS?CBPS?ACP??????1( DCEAFBS?ACPS?BAPS?CBP 梅涅劳斯定理证明: 如果一条直线与?ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，如图，那么根据燕尾定理 AFBDCES?AEDS?EBDS?EDC??????1( FBDCEAS?EBDS?EDCS?AED 例题精讲 【例1】 已知?ABC中，AD为中线，过C点任作一直线交AB于F，交AD于E，如图，求证: AE:ED?2AF:FB( FA BDEC 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 12 of 20 【巩固】如图，E、F分别为?ABC的AC、AB边上的点，且AE?3EC，BF?3FA，BE、CF 交于P，AP的延长线交BC于D(求AP:PD的值( B D EC F A 【变式】 如图，?ABC中，D为AC中点，BE?EF? F，C求证: A BM:MN:N?D5:3(:2 D 【例2】 如图，?ABC中，AB?5，BC?8，BD?BE，AF?2FC，BF交DE 于P(求DP:PE( AD FG C B D OG C A B E F C B E PE 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学 生版 page 13 of 20 【巩固】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长 线上 任取一点E，连接OE 交BC 于点F(若ABa?，AD?c，BE?b，求BF的 长( 【例3】 在梯形ABCD中，AB?CD，AC、BD交于E，AD、BC的延长 H D F A B C E 线交于H，过E作FG?AB交AD于F，交BC于G，求证:AG、 BF、EH三线共点( A F D CG QB 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 14 of 20 【变式】 已知:AD、BE、CF为?ABC的高( ? 求证:直线AD、BE、CF三线共点( ? 若上述一点叫P，当P点在线段AD内上下移动时，过P点的线段BE、CF也随之运动. 求证:上述运动过程中?FDA与?EDA总相等( AMANFPEFE BDCBDC 【例4】 如图，已知?ABC中，M是BC的中点，AD平分?A，B在AD上的射影为E，BE交AM 于N，求证:DN?AB( AA C GC BNEBNEF 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 15 of 20 【变式】 证明:不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点( A DE A P B DEFF 【例5】 证明笛沙格定理:平面上有两个三角形?ABC、?A?B?C?，设它们的对应顶点(A和A?、 B和B?、C和F?)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线( G FA E CA'l1l2 C' Dl3 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 16 of 20 知识点睛 板块二 费马点 费马点:三角形内一点至三顶点的距离之和最小时，称该点为三角形的费马点。 费马点的性质:若P为?ABC的费马点， 则?APB??BPC??CPA?120? 例题精讲 【例6】 ? 若点P为锐角?ABC的费马点，且?ABC?60?，PA?3，PC?4，则PB的值为 ________; ? 如图，在锐角?ABC外侧作等边?ACB?，连结BB?( 求证:过?ABC的费马点P，且BB′P?APB?PC?BB′ 【例7】 已知，P是正方形ABCD内一点，正方形边长为2，求PA?PB?PC的 最小值( B C A P D B B' B' ( B 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学 生版 page 17 of 20 【变式】 P点到A、B、 C 已知Rt?ABC中，?C?90?，AB?2，P是?ABC内一点，点P到A、B、 C三点距离之 ，求Rt?ABC中较小锐角的度数( 【巩固】顶角为30? ，则等腰三角形的 腰是( 【例8】 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，现在 要设立P、Q两个交通枢纽， 并建设公路连接AP、BP、PQ、QC、QD，使个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建, AD EMPQF ABCD 120?PQ120? 120?120? BC 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 18 of 20 课后作业 【习题1】 如图，已知:BD?EC，求证:AC?EF?AB?DF( A DE BCF 【习题2】 在?ABC中，D是BC边的中点，过D任作一直线，交AC于E，交AB的延长线于F，求证: 【习题3】 ABCD为平行四边形，BC?12厘米，DC?10厘米，对角线AC与BD交于O，E是BC 延长线上一点，且CE?4厘米，OE交DC于F(那么CF的长是( )( A(1厘米 【习题4】 经过?ABC的重心G的直线交AB、AC分别于E、F，交 CB的延长线于D( 求证:BECF??1( EAFA AAEAF( ?ECBF B(2厘米 C(1厘米 2 D(3厘米 EDBMF C 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 19 of 20 【习题5】 如果梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N(求证:直线MN 必平分两底( 【习题6】 已知?ABC中，?B?60?，AB?5，BC?3，P是?ABC内一点，求PA?PB?PC的最 小值，并确定当PA?PB?PC取得最小值时?APC的度数( AQDPNBCM 2012年?新高一?分班考试? 第1讲?平面几何之直线型?学生版 page 20 of 20