素数的分类
摘要：根据任意素数
，梅森数
，存在二元二次方程
。且
有且仅有一个素因子形如
，
。按照梅森数的合素性质判别条件，可以对所有奇素数
予以分类。素数分类对于研究梅森素数的无穷性及了解素数分布规律有重要意义。
关键词：素数，分类
一，符号的意义
1，
：大于等于3的奇素数。
2，
：形如
的奇素数。
3，
：形如
的奇素数。
二，梅森数
的合素性质判别条件与素数分类法
1，梅森数
的合素性质判别条件：
（1）存在奇数
，使得
是素数。
（2）
（3）
（4）
，素数分类法
（1），根据梅森数
的合素性质判别条件（2）：知
，
具有形式互反性质：
据此把所有奇素数
分为两个大类。
第一大类：存在于等差数列
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，
中的素数
。
第二大类：存在于等差数列
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，
中的素数
。
设
|
，
；
|
，
；则
存在（a）{
，（b）{
两种不同对应形式。
（2）,根据梅森数
有且仅有一个素因子形如
，
。即每个奇素数
（关于梅森数
）对应唯一的一个奇数
。
据此把每个大类的素数按照其对应的奇数
，分为各个子类。
，
矩阵与
矩阵
对于第一大类的素数，一般的，设
，
令
，
，则
。
再令
，
…，
…；则
（1）
可见：素数
存在于行号
，列号
构成的矩阵之中。
称形如式（1）构造的矩阵为
矩阵。
对式（1）顺序取自然数值行号
，列号
，形成以
为
列元素的
矩阵。
矩阵：
3 11 19 27 35 43 51 59 67 75 83…
7 23 39 55 71 87 103 119 135 151 167 …
15 47 79 111 143 175 207 239 271 303 335…
31 95 159 223 287 351 415 479 543 607 671…
…
性质：矩阵中没有相同的元素。
证：若不然，即设
，于是
上式
表
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明，当且仅当
，
时等式成立。故然。
由此推知，可按第一大类素数
对应的
，取
…所得
值，分为各个子类。
的素因子
，
，与行号
，列号
的
矩阵的关系是：
（2）
式（2）中
…；
称形如式（2）构造的矩阵为
矩阵。
在给定
后，对式（2）顺序取自然数值行号
，列号
，形成
矩阵。
根据
的不同取值，可把第一大类的素数中满足
，
都是素数时形成的“数对”，从
矩阵，
矩阵的对应行构成的并行异公差数列中筛出。
当
时，
，可知素数
与
的素因子
之间的关系仅依赖于
的形式：
。
取
时，
形如
的素数，存在于
的等差数列中；
的素因子形如
，
存在于
的等差数列中；
两等差数列
和
的对应项可以构成“数对”。很显然，“数对”的等差中项也构成一个等差数列：
“数对”的两个元素相对于等差中项的公差序列，也是一个等差数列：
事实上：取
时有：
数对
序列：
，
，（11，23），（19，39），（27，55），（35，71），（43，87）（51，103）
等差中项序列：
， 17， 29， 41， 53， 65， 77，
公差序列：
， 6， 10， 14， 18， 22， 26，
取“数对”是由两个素数组成的项时，可以由“双筛法”筛出。因为“数对”的差值随项数递增，在等差中项构成的等差数列中存在的两个素数：
和
，按照
对称分布在等差中项两侧。
第二大类的素数分类，可与第一大类的素数分类类比。
第二大类的素数
及
的素数因子
，
的形式是：
即
（3）
（4）
式中
，
，
。
矩阵：
5 13 21 29 37 45 53 61 69 77
9 25 41 57 73 89 105 121 137 153
17 49 81 113 145 177 209 241 273 305
33 97 161 225 289 353
… … …
65 193 321 449… … … … … … … …
…
设
，取
，
，
矩阵：
31 79 127 175 223 271 319 …
55 151 247 343 439 535 631 …
103 295 487 679 871 1063 1255 …
199 583 775 967 1351 1735 2119 …
… … … … … … … … … …
参考文献：
1初等数论：潘承洞 潘承彪著 1997,6月 北京大学出版社
2组合数学：屈婉玲 著 1997，9月 北京大学出版社
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5数论导引：G·H·Hardy ，E·M·Wright 2008,10 人民邮电出版社
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7代数数论：冯克勤 著 2000,7月 科学出版社
8与
数相关的若干性质：百度文库 2017,5月
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数
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