第六讲 万有引力和天体运动
一、知识点击
1.开普勒定律
第一定律(轨道定律):所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。
第二定律(面积定律):对每个行星来说,太阳和行星的连线(叫矢径)在相等的时间内扫过相等的面积。“面积速度”:
(θ为矢径r与速度
的夹角)
第三定律(周期定律):所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。即:
.
2.万有引力定律
⑴万有引力定律:自然界中任何两个物体都是相互吸引的.任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比.
,
,称为引力常量.
⑵重力加速度的基本计算
方法
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设M为地球的质量,g为地球
表
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面的重力加速度.
在地球表面附近(
)处:
,
在地球上空距地心r=R+h处:
,
在地球内部距离地心r处:
,
,
3.行星运动的能量
⑴行星的动能
当一颗质量为m的行星以速度
绕着质量为M的恒星做半径为r的圆周运动:
,式中
。
⑵行星的势能
对质量分别为M和m的两孤立星系,取无穷远处为万有引力势能零点,当m与M相距r时,其体系的引力势能:
⑶行星的机械能:
4.宇宙速度和引力场
⑴宇宙速度(相对地球)
第一宇宙速度:环绕地球运动的速度(环绕速度).
第二宇宙速度:人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度(脱离速度).
第三宇宙速度:使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度(逃逸速度).
⑵引力场、引力半径与宇宙半径.
对于任何一个质量为M,半径为r的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度.如果第二宇宙速度超过光速,即
,则有关系.
在这种物体上,即使发射光也不能克服引力作用,最终一定要落回此物体上来,这就是牛顿理论的结论,近代理论有类似的结论,这种根本发不了光的物体,被称为黑洞,这个临界的r值被称为引力半径,记为
用地球质量代入,得到rg≈0.9 cm,设想地球全部质量缩小到1 cm以下的小球内,那么外界就得不到这个地球的任何光信息.
如果物质均匀分布于一个半径为r的球体内,密度为ρ,则总质量为
又假设半径r正好是引力半径,那么
,得
此式表示所设环境中光不可能发射到超出rg的范围,联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm3,这等于说,我们不可能把光发射到1028cm以外的空洞,这个尺度称为宇宙半径.