第三章 媒质的电磁性质和边界条件

第三章  媒质的电磁性质和边界条件 众所周知，物质是由原子核和电子组成的，原子核带正电，电子带负电。就是说任何物质材料，不论是气体、液体还是固体都含有带电粒子，这些带电粒子的周围一定存在着电场；同时电子一方面绕原子核运动，另一方面也作自旋运动，电荷的运动形成电流，这些电流周围存在磁场。从微观上看，材料中这些带电粒子是存在电磁效应的，但从宏观上看，由于相邻原子产生的场相互抵消，及大量带电粒子热运动的平均结果，使自然状态下的物质仍呈现电中性。倘若存在外加电磁场，则由于带电粒子和外加电磁场的相互作用，介质的分子电矩和磁矩将部分或全部取向一致，引起宏观电或磁效应，相当于在材料内部存在附加的场源，这样就需要对真空中的电磁学定律作进一步推广。 在第二章中，我们研究了在真空（或近似真空的空气）中电磁场各场量，如 所遵循的普遍规律，并得到一组麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组的积分形式描述大尺度（如一个线段、曲面或体积）上的电磁特性，而微分形式描写空间任意一点的电磁场，但归根结底两者描述的仍然是宏观电磁现象。这一章我们要研究物质的微观模型和性质,把麦克斯韦方程组推广到一般电磁材料中去.本章先研究由材料中带电粒子和电磁场的相互作用而产生的三个基本现象：传导、极化和磁化。每一种物质在电磁场中均有传导、极化和磁化三种现象，根据某种主要的现象，可将材料分为导体、半导体、电介质和磁介质等。讨论材料的电磁性质之后，我们可获得三个物态方程和一般媒质中的麦克斯韦方程组。最后我们研究在不均匀媒质中电磁场所遵循的规律——边界条件。 §3.1 电场中的导体 导体是一种含有大量可以自由移动的带电粒子的物质。导体可分为两种——金属导体和电解质导体。金属导体的导电靠的是自由电子，由于自由电子的质量比原子核的质量小得多，所以导电过程中没有明显的质量迁移，也不伴随任何化学变化。而碱、酸、和盐溶液等电解液则属于第二种导体，其导电靠的是带电离子，导电过程中伴随有质量迁移，也要发生化学变化。金属比电解液的导电性要强得多。本节主要讨论金属导体在电场中的特性，并给出表征材料导电特性的参量——电导率。 3.1.1 静电场中的导体 金属导体，如金、银、铜、铝等，内部含有大量的自由电子，在自然状态下，导体中自由电子所带的负电荷和原子核所带的正电荷处处等量分布，相互抵消，因此导体呈电中性状态。这时，导体中的自由电子只作微观的热运动，没有任何宏观的电荷运动。但如果导体处于外电场 中(图3.1)，导体中的自由电子将受到电场力作用，逆电场方向运动，导体左侧出现负电荷，右侧出现正电荷，这些电荷称为感应电荷。当导体两端聚积有感应电荷时，感应电荷将在导体内产生电场，该电场称为内电场，其方向与外电场方向相反，随着感应电荷的聚积，感应电荷产生的内电场也逐渐增强，最后达到与外电场平衡且互相抵消，此时导体内的总场强为零 ,自由电子受到的电场力也为零，电子的定向运动停止，于是，导体达到静电平衡状态。 静电场中的导体具有以下基本特征： （1） 导体为等位体； （2） 导体内部电场为零； （3） 导体表面的电场处处与导体表面垂直，切向电场为零 ； （4） 感应电荷只分布在导体表面上，导体内部感应电荷为零 。 在边界条件这一节中，我们还要对此作进一步讨论。 3.1.2 恒定电场中的导体 将一段导体与直流电源联接，则导体内部会存在恒定电场 ，这时导体内的自由电子在该电场的作用下，逆电场方向运动。根据牛顿第一定律，在电场力作用下，电子要作加速运动，然而自由电子在运动过程中，不断与金属结晶点阵相碰撞，由于这种阻尼作用，所以在宏观意义上，电子的运动变成了等速运动，其平均运动速度称为漂移速度，用 表示。电子在连续两次与结晶点阵相互作用间隔中得到一个动量 ，而两次相互作用的时间间隔为 ， 也是一个平均值，称为平均自由时间，电子在 秒内获得的动量 等于电场力 的冲量，即 或 (3.1) 式中 负号是由于电子的漂移方向与电场方向相反之故。 令 (3.2) 则式(3.1)变为 (3.3) 式中 称为电子的迁移率，其单位为米2/伏 秒 。不同的金属导体有不同的电子迁移率，其典型数据为铝：0.0012，紫铜：0.0032，银：0.0056。电子在金属中的漂移速度很小，约为几个毫米/秒。顺便指出，此处漂移速度和电流传导的速度是根本不同的两回事，后者为电磁场的传播速度，等于光速 。 我们知道，电荷的定向运动形成电流。设在垂直于电场 方向取面元 ，如图3.2所示，以 为底，作一体积元，该体积元沿电场方向的长度为 ，因此由于漂移运动，体积元内的自由电子在单位时间内将全部穿过 面，设自由电子密度为 ，则单位时间内通过 的电量为 故电流密度为 (3.4) 将式(3.3）代入式(3.4)得 (3.5) 或表示成 (3.6) 其中 (3.7) 称为金属的电导率，单位为西门子/米 或1/欧姆 米 。 有一类称为半导体的材料，其导电率除靠电子外，还有空穴。电子和空穴迁移率分别以 表示，半导体的电导率为 (3.8) 式中 分别代表电子和空穴浓度。半导体材料中的传导电流密度亦可表为 (3.9) 式(3.6)和式(3.9)描述导体和半导体材料中任一点场量 之间的关系，它们的积分形式的关系便是联系 的欧姆定律，式(3.6)和(3.9)称为欧姆定律的微分表达式。它是反映材料和电场关系的一个物态方程。 3.1.3 电导率 电导率是表征材料导电特性的一个物理量，电导率的倒数称为电阻率，上述欧姆定律中，不论 的数值很大或很小的情况下，两者仍然保持正比关系，即电导率 是一个比例常数，这种导电媒质称为线性媒质,另外,导电媒质的电导率是均匀不变的，它不是空间的函数，因此又是一种均匀媒质；若导电媒质的性质和场矢量的方向无关，它也是一种各向同性媒质。本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中涉及的导体、电介质和磁介质大多数是线性、均匀和各向同性的媒质。 电导率 和材料本身的性质，如材料中的自由电子密度 和平均自由时间 有关，也和环境温度有关。对金属导体材料，在给定场强下，温度升高，金属结晶点阵振动加剧，对电子运动的阻尼作用也增大，使电子漂移速度降低，电子迁移率变小，结果使金属电导率变小，电阻率增大。金属电导率和绝对温度近似成反比关系，或者说电阻率和绝对温度近似成线性关系。某些金属导体在低温条件下 电阻率趋向于零，可变为超导体，如铝在 时，就呈现超导状态。超导技术有可能引起新的技术革命，但它不属于本课程研究的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 。 半导体材料的电导率受环境温度影响很大，且和金属导体的温度特性不同。温度升高时，半导体的电子和空穴迁移率 要变小，但载流子浓度 却急剧上升，总的效果使电导率明显增大。例如，在 时，本征锗的电导率为 ，温度升至 后，电导率变为 ，后者为前者的10倍。 电导率是表征材料电磁特性的三个主要参量之一，不同材料的电导率差别十分惊人，例如，金、银和铜的电导率可达 数量级；本征硅的电导率为 数量级；而熔融石英的电导率则为 数量级，它是一种绝缘体，将在下一节中专门讨论。表3-1列出了不同材料的电导率数据。 表3-1 材料的电导率 材 料 名 称 类 型 电导率 （ ） 熔融石英 纯 地 蜡 硫 磺 云 母 石 蜡 硬 橡 胶 陶 瓷 玻 璃 胶 木 蒸 馏 水 干 土 坯 动物脂肪 动物身体 动物肌肉 动 物 血 海 水 碲 碳 石 墨 铸 铁 汞 镍 康 铜 硅 钢 德 银 铅 锡 磷 铜 黄 铜 锌 钨 杜 拉 铝 冷 拉 铝 金 紫 铜 银 铌（铝－锗） 绝 缘 体 绝 缘 体 绝 缘 体 绝 缘 体 绝 缘 体 绝 缘 体 绝 缘 体 绝 缘 体 绝 缘 体 绝 缘 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 导 体 超 导 体 10-17（近似） 10-17（近似） 10-15（近似） 10-15（近似） 10-15（近似） 10-15（近似） 10-14（近似） 10-12（近似） 10-9（近似） 10-4（近似） 10-3（近似） 4 10-2 0.2 0.4 0.7 4(近似) 5 102(近似) 3 104(近似) 105(近似) 106(近似) 106 106 2 106 2 106 3 106 5 106 9 106 107 1.1 107 1.7 107 1.8 107 3 107 3.5 107 4.1 107 5.7 107 6.1 107 （近似）       §3.2 电场中的电介质 电介质和导体不同，电介质中的电子受原子核的束缚很强，即使在外电场的作用下，电子也不能脱离原子核做宏观运动，只能在原子间隔尺度内作微观位移。电介质是一种绝缘材料，如石英、云母、变压器油、蓖麻油、氢和氮等。电介质可以是固体、液体或气体，有趣的是，一般金属蒸汽也是电介质。 在一般介质的分子中，含有许多电子，它们各自在自己的轨道上运动，形成电子云，电子云的作用可用一个单独的负电荷来等效，该等效电荷所在的位置称为电子云的“重心”，同样，每个分子中的全部电荷也有一个正电荷“重心”，根据正负电荷重心的分布方式，电介质分子可分为两类：无极分子和有极分子。 无极分子：当外电场不存在时，电介质中正负电荷的“重心”是重合的，电介质处于电中性状态，对外不显电性，如气体氢、氮等物质。 有极分子：当外电场不存在时，电介质中的正负电荷“重心”不重合，因此每个分子可等效为一个电偶极子，然而，由于分子的无规则热运动，各个分子等效电偶极矩的方向是凌乱的，所以无论是整块介质或介质中的某一部分，其中分子等效电偶极矩的矢量和都等于零，介质依然处于电中性状态，对外不显电性。 3.2.1 电介质的极化 在外电场作用下，由无极分子组成的电介质中，分子的正负电荷“重心”将发生相对位移，形成等效电偶极子，外加电场越强，正负电荷重心之间的相对位移就越大，等效电偶极矩也越大，如图3.3所示。 对均匀电介质整体来说，在外电场作用下，垂直于电场的电介质的两个表面上分别出现正、负电荷，然而这种电荷与导体中的自由电荷不同，它不能离开电介质，也不能在电介质内部自由运动，所以称为束缚电荷，如图3.4所示。 对于由有极分子组成的电介质，在外电场作用下，各分子等效电偶极子将受到一个力矩的作用，如图3.5所示。使分子电偶极矩 转向电场的方向。但是由于分子的热运动，不可能使所有分子的电偶极矩都按电场的方向排列起来，场强越强，转向的效果也就越显著，排列就越整齐，各个分子的等效电偶极矩在电场方向分量的总和也越大，在有极分子电介质与外电场垂直的界面上，同样出现束缚电荷。 这种在外电场作用下，电介质中出现有序排列的电偶极子，表面上出现束缚电荷的现象，称为电介质的极化。无极分子的极化称为位移极化。有极分子的极化称为转向极化。 两种极化的微观过程虽然不同，但在宏观上却有相同的效果。介质极化后，在介质中都会出现束缚电荷，电场越强，电场对介质分子的极化作用越大，介质中出现的束缚电荷也越多。 我们引入一个宏观的物理量来表示极化的程度，称之为极化强度，用 表示。电介质极化的程度直接取决于分子的位移极化和转向极化的程度。设介质中任一小体积 中所有分子的电矩矢量和为 ，则极化强度 可定义为单位体积中分子电矩的矢量和 (3.10) 式(3.10)反映了介质中每一点介质极化的情况。由该式可知，极化强度为一个矢量函数，极化强度的单位是库/米2（C/m2）,与面电荷密度具有相同的量纲。 对于线性的和各向同性的均匀介质来说，介质中的每一点极化强度矢量 与该点的总电场强度 成正比，即 (3.11) 式中 称为电极化系数，是一个无量纲数，不同的介质有不同的电极化系数。 对于各向异性介质，极化强度 和外电场强度 方向不一致，情况比较复杂，不在这里讨论。 3.2.2 束缚电荷 极化强度矢量 是描写介质极化程度的物理量，而介质极化的程度又决定了束缚电荷的分布情况，所以极化程度与束缚电荷之间有一定的关系。 设在外电场作用下，电介质发生了极化，极化强度为 ,在电介质内某点 取一个体积元 ，把该体积元中的所有电偶极子看成一个等效电偶极子，它的等效电矩为 ，这一等效电偶极子在远处一观察点 产生的电位，由式(2.29)得 (3.12) 式中 是从源点 指向场点 的单位矢量； 为体积元 到场点 的距离。不难证明： (3.13) 式中 表示对源点坐标的微分运算； 表示对场点坐标的运算，代回式(3.12)后，有 (3.14) 于是，体积为 的电介质中的全部电偶极子在场点 产生的电位，可由式(3.14)积分得 (3.15) 利用矢量恒等式 式(3.15)可写为 (3.16) 再利用散度定理，可将式(3.16)中的第一个体积分项变为面积分 (3.17) 上式的积分是在介质表面 及其体积 中进行的，表面 是体积 的封闭界面。 上式和式(2.21)及式(2.22)比较后，可以看出，式(3.17)中面积分一项是束缚面电荷在 点产生的电位；体积分一项，是束缚体电荷在 点产生的电位， 则是在场点 处的总电位。因此，束缚电荷的体密度为 (3.18) 束缚电荷的面密度为 (3.19) 式(3.18)中 上的一撇被略去了，因为式中的散度运算就是对束缚电荷密度 所在点进行的。式(3.19)中 是极化强度 和面元 间的夹角， 的正方向为闭曲面 的外法线 的方向。 于是式(3.17)改写为 (3.20) 按照束缚电荷分布来计算电位的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，和按自由电荷分布来计算电位的方法是相似的，若电介质中还存在自由电荷的体分布时，电介质中一点总的电位可写为 (3.21a) 或 (3.21b) 3.2.3 电位移矢量 我们知道，原子核和电子本身的尺寸与它们之间的距离相比是很小的，和 原子之间的距离相比，也非常小，因此在电介质中的观察点犹如处于真空中一样，我们可以把等效的束缚电荷分布也视为在真空中的电荷分布，式(3.21)中各项都含有真空介电常数 ，其道理也就在这里。这样计入自由电荷密度和束缚电荷密度时，高斯定律可写成 (3.22a) 或                      (3.22b) 根据式(3.18)可得 (3.23) 由此，可定义一个新矢量 (3.24a) 矢量 称为电位移矢量或电通量密度。 对线性、各向同性和均匀的介质，由式(3.11)，电位移矢量又可表示为 (3.24b) 或 (3.24c) 式中 (3.25) 其中 称为相对介电常数，材料的介电常数可表示为 。式(3.24)称为介质特性方程，它是一个有关电场和材料之间关系的物态方程。表3-2中给出了几种常见介质的相对介电常数。 表3-2  材料的相对介电常数 材 料 名 称 相对介电常数 击穿场强 空气(0 101325Pa) 水汽(110 101325Pa) 纸 聚四氟乙烯 矿 物 油 石 蜡 聚 乙 烯 聚苯乙烯 软 橡 胶 琥 珀 尼 龙 石 英 普通玻璃 胶 木 瓷 器 微晶玻璃 云 母 大 理 石 陶 瓷 蒸 馏 水 二氧化钛 1.0006 1.0126 2.0～3.0 2.1 2.2 2.2 2.3 2.56 2.5～3.0 3 3.5 3.8 4.5 4.9 5～7 5.6 6 8.3 9.8 91 100 3 15～30 30 40 20 15～25 21～30       将式(3.24)代入式(3.23)后得 (3.26a) 式(3.26a)就是一般电介质中高斯定律的微分形式，它也是介质中麦克斯韦方程之一，高斯定律的积分形式为 (3.26b) 式(3.26a)和(3.26b)在形式上和第二章中式(2.90)和式(2.77)完全一样，但却具有普遍意义了， 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 高斯定律不仅适用于真空，同样也适用于一般介质。式(3.26b)告诉我们：穿过任意封闭曲面的电通量，只与曲面中包围的自由电荷有关，而与介质的状况无关，这给电场计算带来了某些方便。 以上有关电介质的性质，是在静电场的情况下得到的，它对于低频时变场也是适用的，有关高频情况下材料的性质，此处不作讨论。 最后要指出的是，电介质和导体之间并不存在不可逾越的鸿沟，如果外电场足够大，电介质中的束缚电荷就可能克服分子引力，成为自由电荷，这时绝缘体变成了导体，这种现象称为介质的击穿。材料能承受的最大电场强度称为击穿场强，它在高压技术中是一个表征材料性能的重要参数。 【例3-1】 点电荷 位于介质球壳的球心，球壳内半径为 ，外半径为 ，球壳的相对介电常数为 ，壳外为真空，如图3.6(a)所示。求：球壳中任一点的电场强度 、电位移矢量 、极化强度 及电位 。 解  按题意该电场为球对称场，适于用高斯定律求解电场强度 和电位移矢量 ，再分别根据关系式(3.24a)和式(2.17)求 。 由                                          可直接写出 所以                                                由电位公式 根据题目条件，应分段积分 式中 为球壳外的电场强度； 为球壳中的电场强度 将 、 代入积分式后得 读者可用类似的方法，计算球壳外 和球壳内 的电场和电位。图3.6(b)、(c)和(d)分别给出 的变化曲线。 §3.3 磁场中的磁介质 3.3.1 物质的磁化 物质的磁化和电介质的极化一样，也是和物质的结构紧密相关的，根据原子的简单模型，电子沿圆形轨道围绕原子核旋转，其作用相当于一个小电流环，这个微观电流也会产生磁效应，换句话说，它具有一定的磁矩，该磁矩称为轨道磁矩。此外，电子还围绕本身的轴作自旋运动，形成圆电流，也产生一个磁矩，称为自旋磁矩，以及原子核的自旋也会产生一个自旋磁矩，这三个磁矩总和称为原子（或分子）磁矩，原子核的质量比电子大得多，原子核的自旋角速度也比较小，因而一般原子核的自旋磁矩可忽略不计。 介质中电子和原子核都是束缚电荷，它们进行的轨道运动和自旋运动都是微观运动，由束缚电荷的微观运动形成的电流，称为束缚电流或安培电流。通常情况下，绝大部分材料中所有原子磁矩的取向是杂乱的，结果总的磁矩为零，对外不呈现磁性。但在外磁场作用下，物质中的原子磁矩都将受到一个扭矩作用，所有原子磁矩都趋于和外磁场方向一致排列，彼此不再抵消，结果对外产生磁效应，影响磁场分布，这种现象称为物质的磁化，如图3.7所示。在外磁场作用下能产生磁化的物质称为磁介质。 为了便于宏观 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 物质磁化的程度，引入磁化强度矢量，用 表示。在磁化后的物质中，单位体积内，所有磁矩的矢量和定义为磁化强度，即 (3.27) 其中： 为第 个原子的磁矩，磁化强度 的单位为安/米 。 如果磁化均匀，那么在磁介质中束缚电流相邻的部分相互抵消（如图3.7），于是在磁介质内部束缚电流为零，而只剩磁介质表面的束缚电流。如果磁化不均匀，相邻的束缚电流便不能完全抵消，磁介质内部也就存在束缚电流密度。 在磁介质中取体积元 ,可得到一个等效磁矩 ,等效磁矩产生的矢量磁位由式(2.48)得 (3.28) 由矢量运算 式(3.28)可表示为 整个磁介质 在场点 产生的矢量磁位为 (3.29) 再根据矢量等式 则式(3.29)可改写为 (3.30) 根据矢量关系式，可将式(3.30)等号右边第二项的体积分变为面积分，即 式中 为面元 法线方向的单位矢量，故得 (3.31) 式中 为包围体积 的曲面，将式(3.31)和式(2.46)及(2.47)比较，可见， 相当于磁介质中的束缚电流体密度 ，而 相当于束缚电流面密度 ，这里束缚电流也称为磁化电流。 (3.32) (3.33) 于是矢量磁位 可写成 (3.34) 式(3.34)为介质磁化后束缚电流在空间产生的矢量磁位。 现在，若将产生外磁场的传导电流密度 也考虑进去，则磁介质中总的矢量磁位变为 (3.35) 式(3.35)与式(3.21)比较，它们有相似的数学形式。 可见，只要把等效磁化电流密度 考虑进去，加上宏观的电流密度 后，磁介质中磁场的计算就和真空中的计算一样了。 3.3.2 磁场强度 现在讨论磁介质中磁感应强度 、磁化强度 和磁场强度 之间的关系。引出磁化电流后，磁介质中安培环路定律的微分形式可写成 由式(3.33)知 ，因为这里的旋度运算就是对磁化电流 所在点的坐标进行的，此处可将 改写为 ，于是 上式可改写为 这样可定义磁场强度矢量 (3.36) 将磁场强度 作为一个场函数，在一般媒质中，麦克斯韦方程中就不再出现束缚电流 项，故上式为 (3.37) 这就是一般媒质中安培环路定律的微分形式。 实验指出，除了某些铁磁材料外，大多数磁介质的磁化强度 和磁场强度 之间是线性关系 (3.38) 式中 称为磁化率。 将式(3.38)代入式(3.36)后得 (3.39a) 或 (3.39b) 式中 称为物质的磁导率，单位为亨/米 ； 称为相对磁导率。 式(3.39)也是一个物态方程，它描述物质在磁场中的性质。几种常用材料的磁化率见表3-3。 表3-3  材料的磁化率 材料名称 磁化率 材料名称 磁化率 铋 金 银 铅 锌 铜 镁 锂 铂 镍 纯铁 -16.6 -3.6 -2.6 -1.8 -1.4 -0.98 ＋1.2 4.4 26 600 10 2 1010 石英 汞 水 氮（101325Pa） CO2 钠 铝 钨 钴 硅钢片 玻莫合金 -6.2 -2.9 -0.91 -0.5 -1.0 0.62 2.2 6.8 250 105 7 000 105 10 1010         3.3.3 磁介质的分类 磁介质就是在外磁场的作用下发生磁化，并能影响外磁场分布的物质。按照物质结构理论，物质在外磁场作用下都会发生磁化，显示某些磁效应。这样说来，除了真空是唯一真正的非磁性介质外，其它物质都是可磁化的介质，但不同的磁介质，其磁化效应的强弱差别甚大。根据材料磁效应的不同，磁介质可以分为抗磁质、顺磁质、铁磁质和亚铁磁质等。 抗磁质：抗磁质的磁效应主要是电子轨道磁矩引起的。这类磁介质的电子自旋磁矩的贡献不大，在外磁场的作用下，电子轨道磁矩的方向和外磁场方向相反，磁化强度 和 方向相反。这样，在这类磁介质内部，磁感应强度 将减弱，抗磁质的磁化率 为负，其相对磁导率略小于1，即 且  在表3-3中，金、银和水等属于抗磁质。 顺磁质：顺磁质的磁效应主要是电子自旋磁矩引起的，轨道磁矩的抗磁效应不能完全抵消它，在外磁场作用下，电子自旋磁矩和外磁场方向一致，即磁化强度 和磁感应强度 方向相同，使磁介质中的磁感应强度 增强。顺磁质的磁化率为正，相对磁导率略大于1，即 表3-3中镁、锂和钨等属于顺磁质。 抗磁质和顺磁质材料的磁化率都较小，其相对磁导率约为1，工程计算时常常把这类磁效应很弱的材料，都看成非磁性材料。 铁磁质：在铁磁性材料中，有许多小天然磁化区，称为磁畴，磁畴的形状和大小因不同材料样品而异，一般尺寸范围在微米和几个厘米之间。每个磁畴由磁矩方向相同的数以百万计的原子组成。在无外磁场时，各磁畴排列混乱，磁矩相互抵消，对外不显磁性。在外磁场作用下，大量磁畴转向外磁场方向排列，形成强烈磁化效应。铁磁性材料的磁化率非常大，其相对磁导率 。如表3-3中铁、镍和钴等。 可见，铁磁性物质的磁化，是由于外磁场与磁畴作用的结果。撤去外磁场后，部分磁畴的取向仍保持一致，对外仍然呈现磁性，称为剩余磁化。铁磁材料是 一种非线性磁介质，B~H曲线不是一条直线，而且铁磁材料的B~H曲线还和磁化历史有关，图3.8的B~H曲线称为磁滞回线。 铁磁材料的磁性和温度也有很大关系，超过某一温度值后，铁磁材料会失去磁性，这个温度叫做居里点，铁的居里点为绝对温度1043K。 亚铁磁质：在亚铁磁性物质中，某些分子（或原子）磁矩和磁畴平行，但方向相反，在外磁场作用下，这类材料也呈现较大磁效应，但由于部分反向磁矩的存在，其磁性比铁磁材料的要小，铁氧体属于一种亚铁磁性材料，在工程上有重要应用。 表3-4列出了一些材料的相对磁导率和分类情况。 表3-4  材料的磁导率 材 料 名 称 分 类 相对磁导率 铋 银 铅 铜 水 真空 空气 铝 钯 2-18玻莫合金粉* 钴 镍 锰锌铁氧体粉 软钢 铁（0.2杂质） 硅钢（4Si）** 78玻莫合金 纯铁（0.05杂质） 导磁合金（5Mo,79Ni） 抗磁性 抗磁性 抗磁性 抗磁性 抗磁性 非磁性 顺磁性 顺磁性 顺磁性 铁磁性 铁磁性 铁磁性 铁磁性 铁磁性 铁磁性 铁磁性 铁磁性 铁磁性 铁磁性 0.99983 0.99998 0.999983 0.999991 0.999991 1 1.0000004 1.00002 1.0008 130 250 600 1500 2000 5000 7000 100000 200000 1000000       * 百分比成份，其余为铁，杂质。 * *用于电源变压器 【例3-2】 某一各向同性材料的磁化率 ，磁感应强度 ，求该材料的相对磁导率、磁导率、磁化电流密度 、传导电流密度 、磁化强度 及磁场强度 。 解  根据关系式  得                  及                  （ ） 又                  （ ） 而                      （ ） 由                      （ ） 同理                    （ ） §3.4  媒质中的麦克斯韦方程组 在第二章中，我们已经讨论过真空中电磁场的基本定律，给出了真空中麦克斯韦方程组的微分和积分表达式。本章前三节对导体、电介质和磁介质三种主要材料的宏观电磁性质作了分析研究，定义了两个新的场量：电位移矢量 和磁场强度 ,它们分别反映了介质的极化和磁化效应，最后得到反映介质极化和磁效应的物态方程。在上述基础上，现在我们可以写出一般媒质中的麦克斯韦方程组。 麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式为 积分形式                        微分形式 (3.40) (3.41) (3.42) (3.43) 对照表2-1及表2-2，读者可以看出，媒质中麦克斯韦方程和真空中麦克斯韦方程的表达式是相同的。从现在起，表2-1和表2-2可以推广应用于一般媒质，而不再局限于真空的情况。 电流连续性方程的积分形式和微分形式分别为 (3.44a) 和 (3.44b) 正如前面指出过的，麦克斯韦方程组中的四个方程并非都是独立的，例如两个散度方程式(3.42)和(3.43)可以由两个旋度方程式(3.40)、式(3.41)、电流连续性方程式(3.45)和静场条件导出。第二章中已指出，独立方程和非独立方程的区分并不是绝对的，方程式(3.40)、(3.41)和(3.42)亦可取为独立方程，由此导出式(3.43)和电流连续性方程。 仅仅三个独立方程还不能完全确定场，因为上述三个独立方程中含有 五个矢量及一个标量 ，每个矢量含有三个标量分量，这样总共有十六个未知标量，而这三个独立方程只包含七个标量方程。为了获得电磁场的解，还需要利用三个物态方程 (3.45) (3.46) (3.47) 这三个物态方程在前面三节中已分别给出，它们提供另外九个标量方程。至此我们得到了一般媒质中完整的麦克斯韦方程组。 §3.5  电磁场的边界条件 在实际工程中，往往要遇到由不同的媒质组成的电磁系统。在不同媒质分界面上，由于媒质的特性发生了突变，相应的场量一般也将发生突变。在这一节中，我们将研究电磁场在两种媒质分界面上的变化规律。决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。 研究边界条件的出发点，仍然是麦克斯韦方程组。但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，因此，微分形式的方程不再适用，只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导边界条件。 3.5.1 电场法向分量的边界条件 如图3.9所示的两种媒质的分界面，第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为 ， 和 ，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为 ， 和 。 在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，如图3.9所示，其高 为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧，且底面积 非常小，可以认为在 上的电位移矢量 和面电荷密度 是均匀的。 ， 分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律 故                        (3.48a) 若规定 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则 ， ，式(3.48a)可写为 (3.48b) 或 (3.48c) 式(3.48)称为电场法向分量的边界条件。  因为 ，所以式(3.48)可以用 的法向分量表示 (3.49a) 或                    (3.49b) 若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面电荷，即 ，所以电场法向分量的边界条件变为 (3.50a) 或                        (3.50b) 若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时，导体内部电场为零，即 ， ，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48)变为  (3.51a) 或                        (3.51b) 3.5.2 电场切向分量的边界条件 在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图3.10所示，该回路短边 为无限小量，其两个长边为 ，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。在此回路上应用法拉第电磁感应定律 因为 和 故 (3.52a) 若 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，式(3.52a)可写为 (3.52b) 式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。该式表明，在分界面上电场强度的切向分量总是连续的。 用 表示式(3.52a)得                                  (3.53) 若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相邻的媒质Ⅰ中电场强度的切向分量必然为零。 即                              (3.54) 因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面，对于时变场，理想导体内部不存在电场，因此理想导体的切向电场总为零，即电场也总是垂直于理想导体表面。 3.5.3 标量电位的边界条件 在两种媒质分界面上取两点，分别为A和B，如图3.11所示。A，B分别位于分界面两侧，且无限靠近，两点的连线 ，且 与分界面法线 平行，从标量电位的物理意义出发，得 由于 和 为有限值，而 所以由上式可知 ，即 或 (3.55) 式中S为两种媒质分界面。该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。 标量电位 在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。考虑到电位与电场强度的关系： ，由电场的法向分量边界条件式(3.49b)得 (3.56) 式(3.56)称为静电场中标量电位的边界条件。 若两种媒质均为理想介质时，在分界面上无自由电荷，标量电位的边界条件为                          (3.57) 若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为 （常数）                    (3.58a) (3.58b) 式中 为导体表面外法线方向。 3.5.4 磁场法向分量的边界条件 在两种媒质分界面处作一小柱形闭合面，如图3.12所示，其高度 ，上下底面位于分界面两侧且与分界面平行，底面积 很小， 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律 则 (3.59a) 或 (3.59b) 式(3.59)为磁场法向分量的边界条件。该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。 因为 ，所以式(3.59b)也可以用 的法向分量表示 (3.60) 若媒质Ⅱ为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故 (3.61) 因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。 3.5.5 磁场切向分量的边界条件 在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图3.13所示。环路短边 ，两长边 分别位于分界面两侧，且平行于分界面。在此环路上应用安培环路定律 ，即 穿过闭合回路中的总电流为                                                    式中 为分界面上面电流密度， ， 分别为两种媒质中的传导电流体密度， 和 分别为两种媒质中的位移电流密度。因为 ，除 外，回路中的其他电流成分均趋向零，即 ，于是 (3.62a) 式中 方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。 用矢量关系，式(3.62a)可表示为 (3.62b) 式(3.62)为磁场切向分量的边界条件。式中 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ的法线单位矢量。 用 表示式(3.62a)得 (3.63) 若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度 ，则磁场切向分量边界条件为 (3.64a) 或 (3.64b) 由式(3.59b)和式(3.64b)可得 若媒质Ⅱ为高磁导率材料 ，当 小于 时， 将非常小。换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。当 时， ，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。 (3.65) 若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上 ，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为 (3.66a) 或 (3.66b) 若媒质的电导率 有限，即媒质中有电流通过，其电流只是以体电流分布的形式存在，在分界面上没有面电流分布，即 ，则分界面上磁场切向分量是连续的，即 。 3.5.6 矢量磁位的边界条件 根据矢量磁位 所满足的旋度和散度表示式，及磁场的基本方程，可推导出 的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的，所以 矢量在分界面处也应是连续的，即 (3.67) 由式(3.63)可得 (3.68) 3.5.7 标量磁位的边界条件 在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为 (3.69) (3.70) 根据矢量运算，由式(3.70)可引入一标量函数 ，令 (3.71) 该标量函数 称为标量磁位，其单位是安培(A)。式(3.71)中的负号是为了与静电场中 相对应而引入的。引入标量磁位的概念完全是为了在某些情况下使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。 类似于电位差的计算，a点和b点的磁位差为 (3.72) 根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得 (3.73a) (3.73b) 式(3.73)为标量磁位的边界条件。 3.5.8 电流密度的边界条件 在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。如图3.14所示，其高度 ，上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积 很小。 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ法线方向矢量。根据电流连续性方程 (3.74) 在图3.14所示的闭合曲面上， (3.75) (3.76) 式中 为闭合曲面包围的总电荷,当 时，有 (3.77) 将式(3.77)代入式(3.76)得 (3.78) 将式(3.75)和式(3.78)代入式(3.74)中得 (3.79a) 或                    (3.79b) 根据导电媒质中的物态方程 ，又已知在分界面处电场切向分量连续，即 ，所以电流密度的切向分量满足 (3.80a) 或                        (3.80b) 式(3.79)和式(3.80)为电流密度满足的边界条件，对静态场和时变场均适用。 在这一节中，我们详细讨论了电磁场中各参量的边界条件，为明晰起见，归纳如下。 标量形式                    矢量形式 在应用这些边界条件时，必须牢记下列性质： (1) 在理想导体（ ）内部的电磁场为零，理想导体表面存在 和 。 (2) 在导电媒质（ ）内部的电磁场不为零，分界面上存在 ，但 为零。 (3) 在理想介质（ ）内部的电磁场不为零，分界面上 为零，如果不是特意放置， 也为零。 §4.1 静态场特性 4.1.1 静态场的麦克斯韦方程 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。静电场是指由静止的、其电量不随时间变化的电荷产生的电场。恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场。恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。 对于静态场，各场量和源量仅仅是空间坐标的函数，而与时间t无关。它们对时间的偏导数为零，即 ， ， 于是可以得到静态场的麦克斯韦方程组。 积分形式为 (4.1a) (4.1b) (4.1c) (4.1d) (4.1e) 微分形式为 (4.2a) (4.2b) (4.2c) (4.2d) (4.2e) 由式(4.1)和式(4.2)可见，式(4.1b)及(4.1c)和式(4.2b)及(4.2c)中只含有电场，且场量 、 仅与源量 相联系；相应地，式(4.1a)及(4.1d)和(4.2a)及(4.2d)中只含有磁场，且场量 、 仅与源量 相联系。这表明静态场中电场和磁场之间没有相互耦合关系，可以单独进行分析和计算。静态场与时变场的最本质的区别就在于静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。 4.1.2 静电场基本方程 根据上述方程组，描述静电场的基本方程归纳为 积分形式 (4.3a) (4.3b) 微分形式 (4.4a) (4.4b) 及电介质的物态方程 (4.5) 可见，在静电场中，电场强度 的环量为零，即电场强度 沿闭合路径所做的功为零，这说明静电场是一个保守场，或称位场；电位移矢量 穿过一个闭合面的净通量等于该闭合面所包围的净电荷量(高斯定理)，这说明静电场是由通量源(电荷)产生的有源场.总之，静电场是一个有散(有源)无旋场,是一个保守场。 4.1.3 恒定电场基本方程 当导电媒质中流动恒定电流时，在任意闭合曲面内不可能有自由电荷总量的增减变化，即任意闭合曲面净流出的电流应为零。另外，电场强度 沿闭合路径的积分为零，仍具有保守场性质。恒定电场的基本方程为 积分形式 (4.6a) (4.6b) 微分形式为 (4.7a) (4.7b) 及导电媒质的物态方程 (4.8) 可见，导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，但仍然是一个保守场。 4.1.4 恒定磁场基本方程 除天然磁铁外，恒定磁场的源是恒定电流，描述该磁场的基本方程为 积分形式 (4.9a) (4.9b) 微分形式 (4.10a) (4.10b) 及磁介质的物态方程 (4.11) 由式(4.9a)和式(4.10a)可见，恒定磁场是有旋场，恒定电流是该场的涡旋源；由式(4.9b)可见，任意闭合曲面上的净通量为零，说明，磁力线总是闭合的。总之，恒定磁场是无散有旋场。 §4.2 泊松方程和拉普拉斯方程 4.2.1 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程  静电场是一个位场，因而可以用一个标量函数的梯度来表示它，即 (4.12) 式(4.12)中的标量函数 称为电位函数。 将式(4.5)代入式(4.4b)后得出 对于均匀、线性和各向同性介质， 为常数，故 ，于是 将式(4.12)代入上式可得 即 (4.13) 式(4.13)为有体电荷分布的区域内，静电场电位函数 满足的泊松方程。 若 ，即无源区域，则式(4.13)变为 (4.14) 式(4.14)称为拉普拉斯方程。可见，在不存在电荷的区域内，电位函数 满足拉普拉斯方程。 算子 称为拉普拉斯算子，它在不同坐标系中有不同的展开式。 在直角坐标系中 在圆柱坐标系中 在球坐标系中 在第二章中曾给出电位函数表示式为 (4.15) 该式描述的是在均匀、各向同性介质中，电荷分布在有限区域 内，电位参考点在无限远处的位函数。实际上，式(4.15)正是泊松方程的解。 4.2.2 恒定电场的拉普拉斯方程 已知导电媒质中的恒定电场是一个位场，所以同样可以引入标量电位函数 由电流连续性方程(4.7b)及物态方程(4.8)有 对于均匀导电媒质，电导率 为一常数，故 于是 因为导电媒质的电导率不为零，即 ，所以有 (4.16) 可见在导电媒质中，恒定电场的位函数也满足拉普拉斯方程。 4.2.3恒定磁场的矢量泊松方程 恒定磁场是有旋场，需要引入的是一个矢量磁位，常用 表示。已知矢量磁位定义 由恒定磁场基本方程式(4.10a)和式(4.11)，可以导出 即                应用矢量恒等式得 在矢量场中，要确定一个矢量不仅要知道它的旋度，而且还必须知道它的散度，否则该矢量就不能惟一地确定，根据洛仑兹规范条件 (4.17) 于是 (4.18) 式(4.18)和式(4.13)的形式相似，惟一区别为式(4.18)是矢量泊松方程，它可以分解为三个标量泊松方程，即 (4.19a) (4.19b) (4.19c) 已知第二章中矢量磁位 的表达式为 (4.20) 式(4.20)就是矢量泊松方程(4.18)的解，式中矢量磁位 和电流密度 的方向相同。 在没有电流的区域， ，式(4.18)变为 (4.21) 该式为矢量拉普拉斯方程。 值得研究的是，在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，因此和静电场相似，我们也可以引入一个标量磁位函数 来表示磁场强度，即 (4.22) 对式(4.22)取散度后有 (4.23) 上式说明标量磁位也满足拉普拉斯方程。需要注意的是标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。 §4.3 静态场的重要原理和定理 4.3.1 对偶原理 如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量称为对偶量。有了对偶原理后，就能把某种场的分析计算结果，直接推广到其对偶的场中，这样就提高了解决问题的效率。 比较无源区域内，均匀介质中的静电场和均匀导电媒质中的恒定电场，如表4-1，我们可以看出，它们的基本方程有同样的数学形式。 表 4-1静电场和恒定电场的对偶关系 静电场( 区域) 恒定电场(电源外区域)     因此，这两组方程是对偶方程。在对偶方程中，相应的对偶量有五组，如表4-2所示。 表4-2静电场和恒定电场的对偶量 静电场( 区域) 恒定电场(电源外)             因此，如果在导电媒质中的电流密度矢量 与电介质中的电位移矢量 处于相同的边界情况(边界形状、尺寸、相互位置及场源都相同)下，则介质中的静电场与均匀导电媒质中的恒定电场具有相同的电场分布，即两者等位面的分布一致，且 线与 线的分布也一致。由于这两种场的对偶性，通过对偶量的代换，就可以直接由静电场的解得到恒定电场的解，节省了计算量，反之亦然。 考察静电场和恒定磁场的基本方程，如表4-3所示，也可以看出它们之间的对偶关系。 表4-3静电场和恒定磁场的对偶关系 静电场(体电荷密度 区域) 恒定磁场( 区域) (电通量) (均匀电介质) (磁通量) (均匀磁介质)     由对偶方程可得到相应的对偶量如表4-4所示。 表4-4静电场和恒定磁场的对偶量 静电场( 区域) 恒定磁场( 区域)             有源情况下( , ),恒定磁场和静电场的对偶关系不像上述两种情况那样一目了然，但对偶关系还是存在的，此处不再作介绍了。 对偶原理对相当一部分电磁问题是适用的，求解时变电磁场问题时，显得更为有用。例如电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系等，它们都是基于麦克斯韦方程普遍式中电场和磁场场量间的对偶关系得到的，在第八章中还将作进一步讨论。 最后，需要指出的是，对偶概念是完全根据数学形式的对称性或一致性建立的，同时对偶原理的应用，也一定要包括边界条件的对偶性，否则，就不能得到正确的答案。 【例4-1】 已知无限长同轴电缆内外半径分别为 和 ，如图4.1所示，电缆中填充均匀介质，其介电常数为 ，内外导体间的电位差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。 解    按题意可用拉普拉斯方程来求解，且根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数 满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系： 由于        ， 故得        积分后得            ①              式中 和 为待定积分常数，可由边界条件确定，已知 ② ③ 将式②和式③分别代入①后得 联立求解得出 ， 所以              由 得    本题也可以用高斯定律求解。 【例4-2】如图4.1所示，在电缆中填充电导率为 的导电媒质，其它条件同【例4-1】，求(1)内外导体间的电位及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏电流。 解  (1)由于内外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致，利用对偶原理，可以立即得到 (2)单位长度同轴线漏电流 漏电流密度为 则漏电流为 4.3.2 叠加原理 叠加原理可叙述为:若 和 分别满足拉普拉斯方程，则 和 的线性组合 必然满足拉普拉斯方程。式中 和 均为常数。 现证明如下 因为 和 常数，上式可以写成 已知 和 满足拉普拉斯方程 结果 根据叠加原理，若满足拉普拉斯方程的一系列函数 , ,…, 定后，就可以得到这些函数的线性组合， ，只要能够选择适当的方法，调整线性组合的常数，满足给定边界条件，就可以得到拉普拉斯方程的解。利用叠加原理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。第二章中，计算多个点电荷产生的电位问题就应用了叠加原理。 4.3.3 惟一性定理 研究具体的工程电磁场问题时，无论是静电场、恒定电场或恒定磁场，都可以根据实际工程中给定的边界条件，求解标量电位函数或矢量磁位函数的拉普拉斯方程或泊松方程，上述问题称为边值问题。 1. 边值问题的分类 通常根据给定的边界条件的不同，边值问题可以分为以下三类： ⑴给定整个场域边界上的位函数值 (4.24) 为边界点 的函数。称为第一类边界条件，这类问题称为独里克雷问题。 ⑵给定待求位函数在边界上的法向导数值 (4.25) 由于 ，故相当于给定边界表面上电场强度的法向分量。称为第二类边界条件，这类问题也称为聂曼问题。 ⑶给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 (4.26) 称为第三类边界条件，这类问题也称为混合边值问题。 2. 惟一性定理 惟一性定理可以叙述为：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。其意指对任一静态场，边界条件给定后，空间各处的场就被唯一确定了。 惟一性定理可以用反证法证明。 设有两组可能的解 和 存在，它们都满足泊松方程(拉普拉斯方程是其特例)，即 根据叠加定理，其差值 满足拉普拉斯方程，即 根据散度定理 矢量 可以是任意的连续矢量，我们令 故有 (4.27) 利用矢量恒等式 及方程 式(4.27)等号左边变为 式(4.27)右边在边界面上的面积分变为 于是式(4.27)可写成 (4.28) 对于第一类边值问题，在边界上 ，即 由式(4.28)得到 式中被积函数恒为正，故必然有 即 可见，如果拉普拉斯方程的两个可能解 和 都存在的话，两者最多只差一个常数，但由于两组解 和 都取同一点作电位参考点，且在边界上 及 相同，因而可确定： 故 所设两个解实际上就是一个解，这说明满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定边值的位函数只能有唯一解。 对于第二类边值问题，有 代入式(4.28)中，同样可得 同理有 或 常数 在场中各处都是相同的，选定在同一参考点上电位为零，常数 也应为零，因此无论在场中何处，都有 由此证明，对第二类边值问题，泊松方程的解也是惟一的。 如果在闭合面 上给出的是混合边界条件，泊松方程或拉普拉斯方程的解也是惟一的。 这里就静态场问题证明了电磁场解的惟一性，事实上，对于时变电磁场，在给定电磁场的初始值和边值后，麦克斯韦方程组的解也是惟一的。 惟一性定理的重要性并不限于数学上的结论，它为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据，当直接求解泊松方程或拉普拉斯方程发生困难时，有时我们就想找到一个可能的函数，只要它能同时满足泊松方程或拉普拉斯方程和相关的边界条件，我们可以确信它就是所要求的解，而且是惟一正确的解。接下来讨论的镜像法就是惟一性定理的直接应用。 §4.4  镜像法 镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。例如当一点电荷 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷 产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷 产生的电场的叠加。一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。 然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷 和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。 可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。在镜像法应用中应注意以下几点： (1)镜像电荷位于待求场域边界之外。 (2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。 (3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。 4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 设在自由空间有一点电荷 位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为 。如图4.2(a)所示 上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。待求场域为 空间，边界为 的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即 (4.29) 设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。在原边界之外放置一镜像电荷 ，当 ，且 和 相对于 边界对称时，如图4.2(b)所示。点电荷 和镜像电荷 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。 根据镜像法原理，在 空间的电位为点电荷 和镜像电荷 所产生的电位叠加，即 (4.30) 上半空间任一点的电场强度为 电场强度 的三个分量分别为 (4.31a) (4.31b) (4.31c) 可见，在导体表面 处， ，只有 存在，即导体表面上法向电场存在。导体表面感应电荷分布可由边界条件 决定，即 (4.32a) 或                                          (4.32b) 式中 。它是导体表面上任一点到原点的距离的平方。 由式(4.32)可以看出，导体表面上感应电荷分布是不均匀的，感应电荷密度分布如图4.3所示。 导体表面上感应电荷总量为 导体表面上感应电荷对点电荷 的作用力，也可用镜像电荷 对点电荷 的作用力来计算，即 (4.33) 若在无限大接地导体平面附近有多个点电荷存在，则可给出每个点电荷对应的镜像电荷的位置和大小，空间电场将是所有点电荷及其镜像电荷产生的电场的叠加。 4.4.2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 设一无限长的均匀带电的直线电荷，位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面平行，线电荷密度为 ，与导体平面距离为 ，如图4.4(a)所示 我们可以将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为 ，位置如图4.4(b)所示。由第二章中【例2-4】，可得待求场域 中的电位为 (4.34) 式中， , 。 当 时， ，满足接地导体平面边界电位为零的条件。 上半空间的电场为 (4.35a) 或 (4.35b) 4.4.3 点电荷对无限大介质平面的镜像 设一点电荷 位于一无限大介质分界平面附近，且与分界面的距离为 ，界面两侧介质的介电常数分别为 和 ，如图4.5(a)所示。 由于点电荷 产生的电场对界面两侧的介质均有极化作用，在介质分界面两侧将出现极化电荷，空间任一点的电位将由点电荷和分界面的极化电荷共同产生。设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作 用，满足界面上的边界条件，根据惟一性定理，空间场就可唯一确定了。 在两种介质分界面上边界条件为 ， ，                           (4.36) 由于分界面两侧均为待求场域，所以要对两个区域分别讨论。 当待求区域为介质1所在区域时 设想一镜像电荷 位于区域 中，且 的位置与 关于分界面对称，如图4.5(b)所示 。此时，将整个区域的介电常数视为 ，那么区域1中任一点的电位为 (4.37) 区域1内，任一点处的电位移矢量为 (4.38) 当待求区域为介质2所在区域时 设想一镜像电荷 位于区域1中，且 的位置与 重合，同时将整个空间视为均匀介质 ，如图4.5(c)所示。于是，区域2种任一点的电位和电位移矢量分别为 (4.39) (4.40) 在分界面上，当 时，式(4.37)和(4.39)应满足电位连续的边界条件，得 (4.41) 式(4.38) 和式(4.40)应满足法向分量相等的边界条件，可得 (4.42) 联立式(4.41)和式(4.42)可得 (4.43) 我们将 和 代入式(4.37)、式(4.38)、式(4.39)和式(4.40)中，便可得到两个区域中的电位和电场分布。 4.4.4 线电流对无限大磁介质平面的镜像 设一无限长的直线电流 位于一无限大磁介质分界面平面附近，该电流与分界面平行，且与分界面距离为 ，界面两侧磁介质的磁导率分别为 和 ，如图4.6(a)所示。 由于电流 产生的磁场对界面两侧的磁介质均产生磁化作用，在分界面上 出现磁化电流，设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边 界条件不变，则空间磁场就可以用电流 和镜像电流产生的磁场叠加来计算。 1.当计算上半空间的磁场时 可认为整个空间充满磁导率为 的磁介质，在下半空间有一镜像电流 ，且 与 关于分界面对称，如图4.6(b)所示。上半空间任一点的磁场由电流 和镜像电流 共同产生，即 (4.44) 2.当计算下半空间磁场时 可认为整个空间充满磁导率为 的磁介质，在上半空间有一镜像电流 ，且 与电流 位置重合，如图4.6(c)所示。下半空间任一点的磁场由电流 和镜像电流 共同产生，即 (4.45) 在分界面上，当 时，磁场的边界条件为 ，                       (4.46) 从图4.6(b)和图4.6(c)可以看出 由边界条件式(4.46)得 (4.47) (4.48) 联立式(4.47)和式(4.48)可得 (4.49) 图4.6  线电流对无限大磁介质平面的镜像 根据两种磁介质参数 和 的不同，由式(4.49)可确定镜像电流 和 的大小和方向。 (1)当 时，则 ， ，说明 与 方向一致， 与 方向相反； (2)当 时，则 ， ，说明 与 方向相反， 与 方向相同； (3)当 有限， ，即第二种媒质为铁磁物质时，则 ， ，此时，铁磁质中各点的磁场强度 为零。而磁感应强度的大小为 (4.50) (4)当 ， 为有限时，则 ， ，说明当电流 位于磁物质中时，下半空间的磁感应强度比电流位于整个空间充满磁介质 时产生的磁感应强度增加了一倍。 4.4.5 点电荷对半无限大接地导体角域的镜像 由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 ， 为整数时，该角域中的点电荷将有 个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解。 （1）当 时，角形边界变成无限大平面边界问题，在4.4.1中已给出了详细讨论。 (2)当 时，该角域为直角形边界，如图4.7(a)所示。 点电荷 与两平面的距离分别为 和 ，根据镜像法原理，该角域外有3个镜像电荷 、 和 ，它们的位置如图4.7(b)所示。其中 ， ， ，该角域内的场就由点电荷 和3个镜像电荷产生的场的叠加获得。 (3)当 时，该角域形状如图4.8(a)所示。角域外有5个镜像电荷，其大小和位置如图4.8(b)所示。值得注意的是角域边界的所有镜像电荷都正负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷 到顶点的距离。 总之，角域夹角为 ， 为整数时，有 个镜像电荷，它们与水平边界的夹角分别为 (4.51) 其中 为点电荷 相对水平界面的角度。 值得注意,当锐角域夹角 中， 不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。 【例4-3】 如图4.7(a)所示，两个相交成直角的半无限大导体平面间有一点电荷 ，与两平面的距离分别为 ，求平面上的感应电荷作用于电荷 上的力。 解  因为要满足两个半无限大导体平面的电位为零的边界条件，所以如图4.7(b)所示，在所求区域外放置镜像电荷 。用镜像电荷替代导体平面后，就可求得所求区域的电位分布和电场强度分布。电荷 所受到的电场力为镜像电荷 对 的作用力的叠加，即有 其中 4.4.6 点电荷对导体球面的镜像 设一点电荷 位于半径为 的接地导体球附近，与球心的距离为 ，如图4.9(a)所示。待求场域为 区域，边界条件为导体球面上电位为零，即 (4.52) 根据球面上感应电荷的分布状态，在待求场域之外 ，设想有一镜像电荷 ，位于球心与点电荷 的连线上，且与球心距离为 ，如图4.9(b)所示。 根据导体球面电位为零的条件，在球面上任取一点 ，则 即                                                    (4.53) 在球面上选两点 、 (如图4.9(b))亦应满足上式。 在 点：                                        (4.54) 在 点：                                        (4.55) 联立(4.54)和式(4.55)可得 ，                         (4.56) 由式(4.56)确定了镜像电荷的位置和大小，导体球外任一点处的电位为 (4.57) 若导体球不接地，球面边界的电位不为零，但仍然是等位面。根据电荷守恒定律，导体球上所感应电荷的代数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜像电荷 ，令 (4.58) 为了保证球面为等位面的条件， 应放置于球心处，如图4.10所示。这样，待求区域的场就由点电荷 和两个镜像电荷共同产生。则球外任一点的电位为 (4.59) 球面上的电位为 (4.60) 因为导体球为等位体，所示球内任一点的电位亦由式(4.60)给出。可见，导体球外一点电荷 在该球上所产生的电位值恰好等于导体球不存在时，点电荷 在球心处所产生的电位值。 【例4-4】 有一接地导体球壳，内外半径分别为 和 ，在球壳内外各有一点电荷 和 ，与球心距离分别为 和 ，如图4.11(a)所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。 解 (1)取球壳外区域为待求区域 ，该区域边界为 的导体球面，且边界条件为 ，根据球面镜像原理如图4.11(b)所示，镜像电荷 的位置和大小分别为 ， 球壳外区域任一点电位为 (2) 球壳中为导体区域，根据导体为等位体特性，球壳中的电位为零。 (3)球壳内为待求区域时 ，该区域边界为 的导体球面，边界条件为 ，仍然根据球面镜像原理，在待求区域之外有一镜像电荷 ，如图4.11(c)所示。其中 ， 球壳内任一点电位为 从该例中可以看出用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。 4.4.7 线电荷对导体圆柱面的镜像 设一无限长均匀带电直导线位于一半径为 的无限长接地导体圆柱之外，且与圆柱轴线平行，其线电荷密度为 ，线电荷与圆柱轴线距离为 ，如图4.12(a)所示。由于线电荷和导体圆柱均为无限长，所以场沿轴向不变，可视为二维问题。 取柱坐标，待求区域为 区域，边界条件为 的柱面上电位为零。即 (4.61) 考虑到导体柱面上感应电荷分布靠近线电荷一侧较多，且对于线电荷和圆柱轴线所在面对称，因此可设想镜像线电荷 位于对称面上，且与圆柱轴线距离为 ，如图4.12(b)所示。为了简化推导，将零电位参考点选在与 和 等距离的点上，则导体柱面上任一点的电位表示为 (4.62) 式中 ， 。 在柱面上取两个特殊点 ， ，如图4.12(b)所示。这两点的电位应满足式(4.62)，可得 已知导体柱面为等位面，即 ，且借助于球面镜像点的位置关系，令 ，可得出 (4.63) 获得了镜像线电荷的位置和大小，圆柱外区域任一点的电位为 (4.64) 式中 ， 分别为 和 到场点的距离。 常数 是为了保证导体柱面电位为零的边界条件而附加的。 由式(4.64)得到两平行线电荷 和 在空间等位面分布如图4.13中虚线所示，实线为电场线。 4.4.8 带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像 设两平行长直导体圆柱半径分别为 和 ，且分别带有等量异号电荷，两圆柱几何轴线相距为 ，如图4.14(a)所示。由于异号电荷相互吸引，使电荷在圆柱面上分布不均匀，但两导体柱面仍然为等位面，待求区域为两圆柱面之外，设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为 和 ，其位置如图4.14(b)所示。这两个线电荷在空间产生的电位分布，从图4.13可以看出，其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据唯一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电轴法。 如图4.14(b)，取两圆柱几何轴心的连线为 轴，两电轴平行且和 轴垂直，选两电轴连线的中点为坐标原点，设两电轴坐标分别为 和 ，则两电轴在空间产生的电位为 式中常数 的值与零电位参考面的选择有关，若选 面电位为零，则 。 等位面方程为 (常数)，即 (常数) 上式可简化为 (4.65) 可见，当 取不同的值时，式(4.65)描述的等位面是不同的圆柱面，其轴心坐标为 ，其半径为 。 设取 值时，该等位面与一导体圆柱面重合，即 (4.66) 及                                                (4.67) 式(4.66)和式(4.67)消去 后得 (4.68) 同理，取 值时，等位面与另一导体圆柱面重合，即 (4.69) 及                                                    (4.70) 上两式消去 后得 (4.71) 已知两圆柱轴线相距为 ，即 (4.72) 联立式(4.68)、式(4.71)和式(4.72)可求出 、 和 。 (4.73) (4.74) (4.75) 确定了等效电轴的坐标，空间电位分布由式(4.64)给出。 【例4-5】 图4.15为一偏心电缆，内导体半径为a，外导体半径为b，两几何轴线间距离为d，求两等效电轴的位置。 解  取几何轴心的连线为x轴,该坐标原点和几何轴的距离分别为 和 ，两电轴的位置分别为（C,0）和（-C，0），如图4.15所示。只要能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，这样就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。根据电轴法 1 2 又                                                        3 联立方程1，2和3可解出： §4.5 分离变量法 在本章§4.2节中，给出了在无源区域中，静态场的位函数满足拉普拉斯方程。在给定边界条件下，求解拉普拉斯方程的问题，在数学物理方法中常用分离变量法，分离变量法的理论基础也是唯一性定理。分离变量法的主要步骤如下： (1)根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。 (2)经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。 (3)利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。 可以应用分离变量法的正交坐标系有多种，如直角坐标系，圆柱坐标系，球坐标系，椭圆柱坐标系，回转抛物面坐标系等等，本节只讨论前3种常用坐标系中的分离变量法。 4.5.1 直角坐标系中的分离变量法 1.二维拉普拉斯方程的解 如果待求场域的边界是一些相互平行或垂直的平面，通常选用直角坐标系。二维拉普拉斯方程表达式为    (4.76) 设待求位函数为两个一元函数的乘积，即 (4.77) 将式(4.77)代入式(4.76)，并在等式两端除以 后得 (4.78) 可见，上式中第一项只是变量 的函数，第二项只是变量 的函数，对于场域中任意点 ，两项之和始终为零，这表明每一项必须等于一个常数，即 (4.79) (4.80) 及 (4.81) 式中 和 称为分离常数，可以为实数，也可以为虚数。 这样偏微分方程(4.76)就分离成两个常微分方程(4.79)和(4.80)。我们通常称常微分方程(4.79)和(4.80)为本征方程，分离常数 和 为本征值，待求函数 和 为本征函数。 常微分方程的解与分离常数的取值有关，下面对 和 不同的取值情况进行讨论。 (1)当 时，方程(4.79)和(4.80)方程的解为 (4.82) (4.83) 则待求函数 的一个解为 (4.84) (2)当 时，即 为不为零的任意实数。设 ，根据式(4.81)，这时 ，即 为虚数，且 ，则方程(4.79)的解可以表示为 (4.85a) 或 (4.85b) 而方程(4.80)的解为 (4.86a) 或 (4.86b) 此时，待求函数 的另一组解为 (4.87) (3) ，即 为虚数，设 ，同理 ，则方程(4.79)的解为 (4.88a) 或 (4.88b) 而方程(4.80)的解为 （4.89a） 或 （4.89b） 此时，待求函数 的又一组解为 (4.90) 由以上讨论可见，对于分离常数的三种不同情况，二维拉普拉斯方程的解也有三种不同形式。应用叠加原理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解，即 (4.91) 式中带下标的 为待定常数，由给定的边界条件确定。 分析这三种解的特点可知：第一种解中， 和 为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中， 为三角函数，有多个零点， 为双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中， 为双曲函数，最多有一个零点，而 为三角函数，有多个零点。了解了这些特点，可以根据给定边界条件，选择合适的本征函数形式。 【例4-6】一接地金属槽如图4.16所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位 ，求槽内电位分布。 解  场域边界为矩形，选用直角坐标系，由于场域内没有电荷分布，且电位 与 无关，所以 函数满足二维拉普拉斯方程 ①                        及边界条件 ② ③ ④ ⑤ 设 代入①中得 于是，有 根据边界条件②与③可知， 函数沿 方向有两个零点。因此， 函数应为三角函数形式，又因为 时， ，所以 应选取正弦函数，即 由边界条件③知， 时， ，得 则 对应的 函数为双曲函数，且 时， ，于是 的形式为 此时，电位 可表示为 ⑥ 式中 。 由边界条件⑤知 可简化为 ⑦ 式中 。 对式⑦两边同乘以 ，再对 从0到 进行积分，即 ⑧ 上式左边为 利用三角函数的正交性，式⑧右边为 可得 所以 则 于是 的特解为 如果给定的边界条件中，有两个以上的非零边界条件，常用叠加原理来求解。 【例4-7】一矩形区域边界条件如图4.17(a)所示，求区域内的电位分布。 解 从图4.17(a)可见，电位函数 在 和 的两个边界上出现非零情况，将原问题分解为如图4.17(b)和图4.17(c)所示两种边界条件情况。令   (1)对图4.17(b)所示情况，区域中 满足二维拉普拉斯方程 及边界条件 类似于【例4-6】求解过程， 的形式为 式中 由非零边界条件确定 于是 (2)对图4.17(c)所示情况，区域中 也满足二维拉普拉斯方程 及边界条件              类似地可给出 的形式 将非零边界条件代入上式，得 比较等式两边的函数系数，可得 当 时， 当 时， 即 将 代入 中得满足边界条件的特解 于是，依据叠加原理，原问题的解为 2.三维拉普拉斯方程的解 三维拉普拉斯方程为 (4.92) 令电位函数 为三个一元函数的乘积，即 (4.93) 将式(4.93)代入式(4.92)进行变量分离，得 (4.94) 式(4.94)中第一项仅为变量 的函数，第二项仅为变量 的函数，第三项仅为变量 的函数，对任何 、 和 的值，式(4.94)始终为零，说明这三项中每一项都必须等于常数，故得到三个常微分方程 (4.95) (4.96) (4.97) 式中 、 和 为分离常数，且满足 (4.98) 根据分离常数的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。 若 ，即 为实数，设 ，且 ，即 也为实数，设 ，由式(4.98)得 所以 应为虚数，设 ，则 (4.99) 此时，三维拉普拉斯的解可表示为 (4.100) 由于 、 和 的取值组合有很多种情况，不便一一列出，为了在给定边界条件下，选取适当的通解函数形式，表4-5中给出了一些 的典型组合。表中 和 是由边界条件确定的实数。 由式(4.99)确定。 表4-5 直角坐标系中本征函数的典型形式                                               1             1     1                 1                         【例4-8】 求图4.18所示长方形体积内的电位函数。设 的平面 上的电位为 ，其它各表面的电位均为零。 解 本题需求解直角坐标系中的三维拉普拉斯方程 给定的边界条件为 ，   ① ，   ② ，   ③ ，   ④ ，   ⑤ ，   ⑥ 由边界条件①和②可见，电位函数 在 方向上至少有两个零点，且 处 ，可以推断 为正弦函数形式；同理，由边界条件③和④，可以推断 也为正弦函数形式；由边界条件⑤和分离常数之间的关系可以断定 为双曲正弦函数，因此电位函数的解可表示为 ⑦ 由条件②知， ，故  得 由条件④知， ，故 从而得 根据分离常数的关系 将 、 和 代入式⑦中得到 ⑧ 最后，由边界条件⑥确定系数 。 ⑨ 令 则式⑨可简化为 ⑩ 若求 项的系数 ，用 同乘式⑩两边，并对 取如下积分： 根据三角函数的正交性，即 因此式 等号右边为 式 等号左边为 由此可得 待定系数 于是，将 代入⑧式中，所求的电位函数为 如果给出的边界条件中有二个面或三个面上的电位不为零，如 面上电位为 ； 面上电位为 ； 面上的电位为 ，求解时可用叠加原理，首先令 面上电位保持 ，而其它各面上电位为零，按照【例4-8】的方法，求得一个解 ；然后令 面上电位为 ，其余各面上电位为零，求得第二个解为 ；最后令 面上电位保持 ，其余各面电位为零，求得第三个解 ，该问题的最终解就是这三个解的叠加。 4.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法 对于圆柱面边界的问题适于采用圆柱坐标系，相应的拉普拉斯方程表达式为 (4.101) 这是一个三维偏微分方程，可以类似直角坐标系中的分析方法，进行变量分离，求得三维问题的通解。 令待求函数 为三个一元函数的乘积 (4.102) 将式(4.102)代入式(4.101)中，并在两边同除以 ，乘以 ，可得 (4.103) 上式中第二项仅为 的函数，因此可以将这一项分离出来，令 (4.104) 将式(4.104)代回式(4.103)中，并在两边同除以 ，可得 (4.105) 上式中第三项仅为 的函数，可将这一项分离出来，令 (4.106) 将式(4.106)代回式(4.105)中得 (4.107) 式(4.104)、式(4.106)和式(4.107)构成了分离变量后的三个常微分方程。这三个常微分方程的解与 和 的取值有关，下面分别加以讨论。 1.方程(4.104)的解有两种情况 (1) 当 时， (2) 当 时， 由于 ，限定了 必须为正整数。 2.方程(4.106)的解有三种情况 (1)当 时， (2)当 时，设 ， 为任意非零实数 (3) 当 时，设 ， 为任意非零实数 3.方程(4.107)的解常用的有四种情况 将式(4.107)改写为 (4.108) 该方程称为 阶的贝塞尔方程。 (1)当 时，式(4.108)化简为 上式称为零阶贝塞尔方程，其解的形式为 式中 和 分别为第一类零阶贝塞尔函数和第二类零阶贝塞尔函数。 (2)当 时，式(4.108)化简为 上式称为欧拉方程，其解的形式为 (3)当 时，式(4.108)化简为 上式的解为 (4) 当 时，方程(4.108)的解为 式中 和 分别为第一类 阶贝塞尔函数和第二类 阶贝塞尔函数，函数曲线如图4.19所示。 从图4.19中可以看出， 和 都有无穷多个零点，使 和 为零的 值称为第一、第二类贝塞尔函数的零根。 根据 不同的取值情况，构成了 的多种组合形式。具体问题中，可由给定的边界条件，选取适当的组合形式。 【例4-9】 在一均匀电场 中，放置一无限长的圆柱导体，圆柱的轴线与电场强度 的方向垂直，如图4.20所示，求放入圆柱导体后的电场分布。 解  按题意应选用圆柱坐标系。导体为等位体，导体内部不存在电场，因 而 导体外部空间，因为圆柱导体无限长，电位 无关，即 ，所以 。从图4.20可以看出，电位 是 的周期函数，且 关于 轴对称，即 函数是关于 的偶函数，因此可确定 ， 的形式为 当 时，对应的 函数的形式为 于是，电位 的形式为 ① 未放置圆柱导体前，空间电场为均匀场 放置圆柱导体之后，使均匀场发生畸变，但远离导体的地方，电场仍然保持均匀状态，由 得相应的电位函数为 ② 比较式①和式②可得 当 时， 当 时， 于是，式①化简为 ③ 边界条件为圆柱导体表面为等位面，取该等位面电位为零，即 于是 可得 将 代入式③中，得圆柱体外部空间的电位为 根据 ，得到 可见，在 处，电场强度最大，为原均匀电场的两倍。 【例4-10】 一个半径为 ，无限长的薄导体圆管被分割成两半，上半部保持电位 ，而下半部保持电位 ，如图4.21所示，求管内、外的电位分布。 解  根据题意选用圆柱坐标系，因导体管为无限长，所以电位 无关，则 ，电位 满足二维拉普拉斯方程及边界条件 ① ② 由边界条件②可知， 是 的奇函数，且以 为周期，则 ，因此 的形式应为 对应的 的形式为 于是 的形式为 ③ (1)管内区域 此区域中包括 点，在该点电位应为有限值，所以 函数中不含有 项，即 ，式③化简为 ④ 式中 。 应用边界条件②，当 时，有 上式两边同时乘以 ，并对 从0到 进行积分，得 ⑤ 应用三角函数的正交性，式⑤左边为 式⑤右边为 由此可得 将 代入式④中，就得到管内的电位函数 ⑥ (2)管外区域 在此区域中，当 时，电位 ，所以 函数中不含有 项，即式③中 ，则电位 形式为 ⑦ 式中 。 应用边界条件②，当 时，有 待定系数 的确定类似于 的确定方法，得 所以，管外电位函数为 ⑧ 【例4-11】 一个导体圆筒半径为 ，其高度为 ，底面 和侧面 上的电位均为零，顶面 上电位 ，如图4.22所示。求圆筒内的电位分布。 解  在如图4.22所示的圆柱坐标系中，圆筒内电位满足拉普拉斯方程及边界条件 ① ② ③ 由边界条件可知，场域中电位 与 无关，即 由此得  相应的 函数形式为 考虑到 处电位 为有限值，则 由边界条件②， 处 ，则 所以 应为零阶贝塞尔函数的第 个根 ，由此得 在 方向，由边界条件①③可知， 函数应为正弦双曲函数 于是电位 的组合形式为 ④ 最后，利用边界条件③确定系数 ，即 ⑤ 上式两边同乘以 ，对 从0到 进行积分得 ⑥ 根据贝塞尔函数的正交性 式⑥右边为 所以 若 给定，即可求出 表达式。 当 时，则有 于是 将 代入式⑤中，可得 特解为 4.5.3 球坐标系中的分离变量法 当待求场域的边界面和球坐标系中的某一坐标面相一致时，常采用球坐标系，如球面边界，圆锥面边界等。球坐标系中拉普拉斯方程表达式为 (4.109) 令待求位函数为 将上式代入式(4.109)中，并在两边同除以 ，乘以 ，可得 (4.110) 上式第三项仅为变量 的函数，令 (4.111) 将式(4.111)代入式(4.110)中，并在两边同除以 ，可以 (4.112) 上式第一项仅为变量 的函数，令 (4.113) 将式(4.113)代入式(4.112)中，可得 (4.114) 式(4.111)、式(4.113)和式(4.114)就构成了球坐标系中拉普拉斯方程经分离变量后得到的三个常微分方程。 下面只对电位 与方位角 无关的情况进行具体讨论。因为 ，那么 ，且 (常数)。方程(4.113)是欧拉方程，其解有两种情况： (1) 时， (2) 时， 的情况不存在。 在 的条件下，方程(4.114)可改写为 (4.115) 该方程为勒让德方程，其解亦有两种情况： (1) 时， (2) 时， 式中 和 分别称为第一类和第二类勒让德函数。 当 为奇(偶)数时， 是奇(偶)函数，而 是偶(奇)函数。当 时， ，而 ，即 或 处， 是发散的。待求区域包括 轴时，电位 应为有限值，所以 的解中不含有 项。 表4-6给出了几个不同 值得 勒让德函数表达式；图4.23给出了它们的曲线。 表4-6  不同 值的 表达式   通过以上分析，电位 的通解为 (4.116) 式中 和 根据给定的边界条件来确定。 【例4-12】 一个半径为 的不带电导体球，置于均匀电场 中，求引进导体球后，空间的电位分布。 解    因为边界面为球面，选用球坐标系，原点取在球心处， 轴沿电场 方向。如图4.24所示。导体球放入均匀电场中，表面将出现感应电荷，导体球附近的电场将发生变化，球面上的电场将垂直于导体球面，但球面仍为等位面，且远离球体的地方仍然保持原均匀电场。 从图4.24可知，电位 与 无关，即 ，电位 的形式由式(4.116)给出 ① 当 时，边界条件为 ② 当 时，边界条件为 ③ 将边界条件②代入式①中，得 由此得 ④ 当 时，式①可化简为 根据边界条件③，可知 比较等式两边系数，得 将 代入式④中，得 由此得位函数 的解为 §4.6 复变函数法 利用复变函数中的一些解析函数可以直接表示某些具有导体边界的二维场，另外，利用复变函数中解析函数的一些重要性质，可以将复杂的场域边界变换成比较简单的边界，这给具有复杂场域边界的二维电磁场的求解提供了一种比较简便的方法。利用复变函数求解电磁场边值问题的方法，称为复变函数法。 4.6.1 复变函数的性质 自变量为复数 的函数 称为复变函数。 如果在复平面 的某一区域 内，复变函数的实部和虚部满足柯西—黎曼条件 (4.117a) (4.117b) 那么该复变函数 是区域 内复变量 的解析函数。柯西—黎曼条件是判断复变函数是否为解析函数的必要和充分条件。 在圆柱坐标系中，复变函数是复变量 的函数。 相应的柯西—黎曼条件为 (4.118a) (4.118b) 根据柯西—黎曼条件可得复变函数的几个重要性质。 1.复变函数中解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程。 将式(4.117a)对 取偏导 (4.119a) 将式(4.117b)对 取偏导 (4.119b) 因此，将式(4.119a)与式(4.119b)相加，便得到直角坐标系中 满足的二维拉普拉斯方程 (4.120a) 同理可得 (4.120b) 在圆柱坐标系中，将式(4.118a)对 取偏导，式(4.118b)对 取偏导后相加，便得到圆柱坐标系中 和 满足的二维拉普拉斯方程 (4.121a) 和 (4.121b) 可见，解析函数的实部和虚部都满足二维拉普拉斯方程。 2. 在坐标变量为 及 的复平面 上，解析函数 的实部 等于常数的曲线与虚部 等于常数的曲线处处正交。 令                                        (4.122) 对这两条曲线求梯度，有 两梯度点乘可得 两梯度点乘为零，说明式(4.122)表示的两条曲线必然相互正交。 3. 解析函数 可将复平面 上的两条相交曲线保角变换到坐标变量为 的复平面 上。 保角变换是解析函数的重要性质。设有一解析函数 ，在 平面上每给定一点 ，在复平面 上，必有一点 与之相对应。在 平面上过 点有两条曲线 和 ,相应的在 平面上也有两条相对应曲线 和 ，当 时， 平面上的曲线 和 在 处的夹角 与 平面上的曲线 和 在 处的夹角 相等，如图4.25所示。 4.6.2 复变函数法 由于解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程，我们已知，静态场在无源区的位函数满足拉普拉斯方程。因此它们都可以用来表示位函数，由于等位线与场矢线是相互正交的，故如果解析函数的实部表示位函数，那么其虚部必然表示通量函数，于是 称为复(电)位函数。 二维电场的通量计算如图4.26所示。在复平面 上有两点 、 ，从 点到 点作任意一条曲线，该曲线沿 方向延伸单位长度，构成一曲面，该曲面上的通量为 因为 当解析函数的实部表示电位函数时，即 ，则 所以 即 (4.123) 上式可见，穿过 方向为单位长度的任意曲面的电通量等于此曲面两端上的函数 值之差，说明函数 正是场中的通量函数。 反之，当解析函数的虚部 为位函数时，其实部 就表示通量函数。 根据上述结论，若已知某一解析函数 的实部（或虚部）等于常数的曲线和待求场中的电位等于常数的边界重合，则此解析函数的实部（或虚部）就是待求位函数的解，并且此解析函数的虚部（或实部）必为待求场的通量函数，该方法称为复位函数法。 应用该方法时，要求对一些解析函数的特性比较熟悉，以便依据边界条件确定合适的复位函数。 下面列举一些常用的复位函数。 1. 对数函数 (4.124) 式中 为实常数， 为复常数 。 采用圆柱坐标系，令 ，则 该复位函数的实部和虚部分别为 (4.125a) (4.125b) 由式(4.125)可知， 的曲线是 为常数的一族圆； 的曲线为径向辐射线族。如图4.27所示。 图4.27 的图形            图4.28 的图形 从图4.27中可以看出，该复位函数的实部可以视为无限长线电荷的电位函数；而虚部可以视为两个半无限大导体平面角域间的电位函数。 2. 幂函数 (4.126) 式中 均为常数。 采用圆柱坐标系，令 ，则 该复位函数的实部和虚部分别为 (4.127a) (4.127b) 如果令 为电位函数时，可知 和 的直线都是零电位线，因此幂函数可以表示为两个夹角为 的接地无限大导体平面间的复电位。图4.28给出了 和 的接地半无限大导体平面间的场分布，这两种情况下，复电位分别为 和 。 3.反余弦函数 (4.128) 式中 为常数。 由式(4.128)知            因 ,即 由此得 (4.129a) (4.129b) 式(4.129a)表示随 值变化的一族共焦椭圆方程，式(4.129b)表示随 值变化的一族共焦双曲线方程，它们的焦距 ，两族曲线互相正交，如图4.29所示。 可见，反余弦函数可以用来表示导体表面是椭圆柱面或双曲柱面的复电位。无限长直条带可视为椭圆柱面的特殊情况；而两共面导体板可视为双曲柱面的特殊情况。 【例4-13】有Ⅰ、Ⅱ两半无限大导电平板，其夹角为 ，在交界处互相绝缘，两板电位分别为 和 ，如图4.30所示。求两板间的电位函数。 解：根据给定的边界条件，等位面是 和 的两个径向辐射平面，因此选取对数函数为复电位函数。 ① 式中 为待定常数。 令                                                          ② 将式②代入①中 选式中虚部为电位函数 ，即 ③ （1） 区域： 根据边界条件，当 时， ，代入式③得 ④ 当 时， ,代入式③得 即 ⑤ 将式④和式⑤代入式③得电位函数 （ ） （2） 区域： 根据边界条件，当 时， ，代入式③得 ⑥ 当 时， ,代入式③得 ⑦ 联立式⑥和⑦可得 和 该区域的电位函数为 【例4-14】 一宽度为 的导体条带，位于导体椭圆柱内，椭圆柱的焦点与条带的边缘重合，其半长轴为 ,如图4.31所示。证明：两导体间单位长度上的电容为 。 解  该场域的边界可视为两个导体椭圆柱面，所以选取反余弦函数为复位函数。 ① 式中 为半焦距， 。 令 代入式①中，得 ② ③ 已知式②表示 常数时的一族椭圆。选 为电位函数，设 时，该等位面为内导体条带，即 将内导体上一点 代入上式得 ，说明内导体电位为零。 设 时，该等位面与外椭圆柱面重合，即 将外导体上一点 代入上式，得 即  内外导体间的电压为 根据复位函数的特点，若 为电位函数， 就是通量函数。已知在 平面上环绕椭圆一周，对应 平面上 自0到 区间。由高斯定律知，闭合曲面上的通量为闭合曲面内的电荷量。取单位常数椭圆柱面为闭合面，则 则两导体间单位长度上的电容为 4.6.3 保角变换法 保角变换是解析函数的重要性质，保角变换法就是选择合适的解析函数将z平面上较为复杂的边界变换为 平面上的简单边界，求出简单边界问题的待求函数，再用反变换，获得原有问题的解。 【例4-15】在夹角为 的角形区域内，线电荷 的位置坐标为 ，如图4.32(a)所示。求角形区域内的位函数。 解  若 为正整数，则有 个镜像线电荷，可以用镜像法求解角形区域内位函数，但如果 不是正整数，则将有无限多个镜像线电荷，这时宜先进行保角变换，再结合镜像法求解。对于角形边界问题，采用幂函数进行变换。 设                                              ① 令                      将上式代入①中，得      即                                                          ② ③ 在 平面上， 边界条件为 ，经式②和③变换到 平面上， ,该边界为 边界，在正实轴上。 在 平面上，另一条边界： ，经式②和式③变换到 平面上， ，该边界在负实轴上。 可见：经幂函数变换后， 平面上的角形边界，被变换为 平面上的无限大平面边界。如图4.32(b)所示。 平面上的线电荷 的坐标 变换到 平面上的坐标 在变换过程中，线电荷的值 不变。 在 平面上可以用镜像法求解，镜像电荷 的坐标为 ，如图4.32(c)所示。 在 平面上半空间，除线电荷所在点外，任何一点的电位为 ④ 将式②和③代入式④后得 ⑤ 或 ⑥ 式⑥就是所要求的 平面角形区域的电位函数。 【例4-16】在两接地无限大平行导体平面中间放置一根线电荷密度为 的导线，两平行平面相距为 ，如图4.33(a)所示。求两平面间的电位函数。 解  根据平面镜像特点，该问题将有无数个镜像电荷。若采用指数函数进行变换，可将两条边界变为一条边界情况。设 在① 令 将上式代入式①中，得 即                                                          ② ③ 在 平面上， 的边界，经式②和③变换到 平面上，得 该边界在 平面上为正实轴 边界。 在z平面上， 边界，变换到 平面为 取 时， 该边界在 平面上为负实轴上。 可见，经 变换后，待求场域边界为 的无限大平面，待求场域为上半空间，如图4.33 (b)所示。z平面上的线电荷 的坐标 变换到 平面上的坐标 在 平面上用镜像法求解，镜像电荷 坐标为 ，如图4.33(c)所示。 则上半空间任一点电位为 ④ 将式②和③代入式④中，得 ⑤ 式⑤就是所求区域中的电位函数。