由数列的递推公式求通项公式
由数列的递推公式求通项公式 一、递推数列的概念
递推公式:如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an
-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来
表
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示，与它的前一项an
那么这个公式叫做数列的递推公式。
递推数列:由递推公式和初始值确定的数列。
二、求递推数列的通项公式常见的方法
构造新数列最常见的是构造等差或等比数列来解决问题。主要有:待定系数法、累加法、累乘法、特征方程法、换元等。
三、根据递推关系的不同分为以下几种类型
1.求递推式如an+1=pan+q(p、q为常数)的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟知的数列求解。
【例1】已知数列{an}满足a1=1，且an+1=3an+2，求an。
解:设 ，则
为等比数列，
2.求形如an-an-1=f(n)(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，„n-1，得到n-1个式子累加求得通项。
【例2】已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有
，求an。
解:由已知得
以上式子累加，利用 得
3.求形如的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，„n-1，得到n-1个式子累乘求得通项。
【例3】已知数列{an}中，a1=?蚧?虔，前n项和sn与an的关系是sn=n(2n-1)an，求通项公式an。
解:由sn=n(2n-1)an得 ，两式相减得:
将上面n 1个等式相乘得:
4.求形如 (其中p、q均为常数， )(或 ，其中p、q、r均为常数)的通项。
解法:一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得:，引入辅助数列{bn}(其中 )，得:
，再用待定系数法解决。
【例4】已知数列{an}中， ，求an。
解:在 两边乘以2n+1得: 。
解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。
【例5】已知数列{an}中，，求数列{an}的通项公式。
解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为
【例6】已知数列{an}满足: ，求数列{an}的通项公式。
解(特征根法)对于由递推公式
给出的数列{an}，方程，叫做数列{an}的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x2时，数列{an}的通项为 ，其中a、b由 决定(即把
和n=1,2，代入，得到关于a、b的方程组);当x1=x2时，数列{an}的通项为，其中a，b由
决定(即把和n=1,2，代入 ，得到关于a、b的方程组)。
【例7】数列{an}:
解:此特征方程是:
又由 ，于是
除上述外，还有“归纳—猜想—证明”法、换元法等，在此不再赘述。
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