Laplace变换法.doc
Sec. 8.4 Laplace变换法
在上一节中, 我们已经用Laplace变换求解了常微分方程的初值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
. 我们更感
兴趣的是, 用Laplace变换求解偏微分方程的混和问题. 下面举例说明.
例1 求解半无界弦的振动问题
2,u,au (0,x,,,t,0)ttxx,,u(0,t),f(t), limu(x,t),0 (t,0) ,x,,,,u(x,0)0, u(x,0)0 (0x),,,,,t,
解: 对方程两边关于变量t作Laplace变换, 并记
,pt, U(x,p),L[u(x,t)],u(x,t)edt,0
2dU(x,p)22,,,pU(x,p)Pu(x,0)u(x,0)a则 t2dx代入初始条件得:
22dUp (1) ,U(x,p),022dxa
再对边界条件关于变量t作Laplace变换, 并记, 则有 F(p),L[f(t)]
,U(0,p)F(p),, (2) ,limU(x,p),0,x,,,
常微分方程(1)式的通解为
pxpx,aaU(x,p),C(p)e，C(p)e 12代入边界条件(2), 得
C(p),0C(p),F(p)21
px,aU(x,p),e,F(p)故 而由位移定理有
xp,xa eF(p),L[f(t,)]a
1
x,0, t,,x,a,1,1所以 (Laplace变换的定义) u(x,t),L[U(x,p)],L{L[f(t,)]},,xxa,f(t,), t,,aa,
例2 求解长为l的均匀细杆的热传导问题
2,u,au (0,x,l,t,0)txx, u(0,t),0, u(l,t),u (t,0),1x,u(x,0),u, (0,x,l)0,
解: 对方程两边和边界条件(关于变量t)作Laplace变换, 记, 并考虑L[u(x,t)],U(x,p)
到初始条件, 则得
2,udUp0,U，,0 (3),222dxaa,,U(0,p),0 ,x,u1,U(l,p), (4),p,
(3)式的通解为
ppu0 U(x,p),，C(p)shx，C(p)chx12Paa由边界条件(4)定出和便得 C(p)C(p)12
pchxuuu,a010 U(x,p),，Pppchla
1,1L由上节知 [],1p
p222a(2k1),,chx,k,t4(1)(21),k,,x21,a4l[]1cos Le,，,212kl,,pk1,pchla
222a(2k1),,,kt,4(1)(21)kx,,,21,4l(,)[(,)]()cosuxtLUxpuuue故 ,,，,110,212kl,,k1,
可见, 用Laplace变换求解数理方程的定解问题时, 无论方程与边界条件的齐次与否,
2
都采取同样步骤.
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