中考数学专题复习之二次
函数
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3
中考数学专题复习之二次函数3
31((2010湖南怀化)图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使若存在，求出P点的 2
坐标;若不存在，请说明理由;
(3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答:当直线与此 图象有两个公共点时，b的取值范围.
图9
32((2010湖北鄂州)如图，在直角坐标系中，A(-1，0)，B(0，2)，一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C(
(1)求点C的坐标(
(2)求过点A、B、C三点的抛物线的解析式(
(3)若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形((点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动)求t的值(
(4)在(2)(3)的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标(
33((2010湖北省咸宁)已知二次函数的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0)，(，0)()(
(1)证明;
(2)若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值(
34((2010湖北恩施自治州) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. 2
(1)求这个二次函数的
表
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达式(
(2)连结PO、PC，并把?POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形,若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由(
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的
坐标和四边形ABPC的最大面积.
//
35((2010北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线
与2
x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上(
(1)求B点的坐标;
(2)点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交
与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)(
? 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长;
? 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)(过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点、N点也随之运动)(若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值(
36((2010云南红河哈尼族彝族自治州)二
次函数的图像如图8所示，请将
此图像向右平移1个单位，再向下平移2
个单位.
(1)画出经过两次平移后所得到的图像，
并写出函数的解析式.
(2)求经过两次平移后的图像与x轴的
交点坐标，指出当x满足什么条件时，
函数值大于0, 2
37((2010云南楚雄)已知:如图，抛物线与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0).与y轴相较于点C(0，3)(
(1)求抛物线的函数关系式;
72(2)若点D(,m)是抛物线上一点，请求出m的值，并求处此时?ABD 2
的面积(
2
238((2010湖北随州)已知抛物线顶点为C(1，1)且过原点O.过
抛物线上一点P(x，y)向直线
(1)求字母a，b，c的值;
3(2)在直线x,1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并4
证明此时?PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N(1，t)，使PM,PN恒成立，若存在请求
出t值，若不存在请说明理由. 54作垂线，垂足为M，连FM(如图).
39((2010河南)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，?AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=,x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
40((2010四川乐山)如图(13.1)，抛物线y,x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C(0，2)，连接AC，若tan?OAC,2(
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使?APC,90?，若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由;
(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′?l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t(当t为何值时，?BCN的面积最大,最大面积为多少,
41((2010江苏徐州)如图，已知二次函数
的图象与y轴交于点A，与
x轴
交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC(
(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ;
(2)线段AC上是否存在点E，使得?EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在，请说明理由;
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得?PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?
42((2010云南昆明)在平面直角坐标系中，抛物线经过O(0，0)、A(4，0)、B(3
，)
三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)以OA的中点M为圆心，OM长为半径作?M，在(1)中的抛物线上是否存在这
样的点P，过点P作?M的切线l ，且l与x轴的夹角为30?，若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.(注意:本题中的结果可保留根号)
43((2010陕西西安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(—1，0)，B(3，0)，C(0，—1)三点。
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四
边形，求所有满足条件的点P的坐标。
44((2010四川内江)如图，抛物线y,mx2,2mx,3m(m,0)与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点.
(1)请求抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示)，A，B两点的坐标;
(2)经探究可知，?BCM与?ABC的面积比不变，试求出这个比值;
(3)是否存在使?BCM为直角三角形的抛物线,若存在，请求出;如果不存在，请说明理
由..
45((2010广东东莞)已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交
点坐标为(,1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)
?求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式;
?根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围(
46((2010 福建三明)已知抛物线经过点B(2，0)和点C(0，8)，且它的对称轴是直线。
(1)求抛物线与x轴的另一交点A坐标;(2分)
(2)求此抛物线的解析式;(3分)
(3)连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B)不重合，过点E作
EF?AC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，?CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式;
(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值，若
存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的
坐标，判断此时?BCE的形状;若不存在，请
说明理由。
2
47((2010湖北襄樊)如图7，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、
C三点，与x轴交于另一点D(一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止(
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，
四边形POQE是等腰梯形,
(3)当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似,
48((2010 山东东营) 如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A(-1， 0)和点
B(0，-5)(
(1)求该二次函数的解析式;
P，使得?ABP的周长最小(请求出点P的坐 (第23题图)
49((2010 四川绵阳)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(,4，0)、B(2，0)，与y轴交于点C，顶点为D(E(1，2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G(
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H，使?CDH的周长最小，并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
?EFK的面积最大,并求出最大面积(
50((2010 湖北孝感) 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为(2，0)，直线
与
二次函数的图像交于A、B两点，其中点A在y轴上。
(1)二次函数的解析式为(3分)
(2)证明点不在(1)中所求的二次函数的图像上;(3分)
轴于E点，CE与二次函数的 (3)若C为线段AB的中点，过C点作
图像交于D
点。
?y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐
标是 ;(2分)
?二次函数的图像上是否存在点P，使得,若存在，求出P点坐标;
若不存在，请说明理由。(4分)
51((2010 江苏镇江)运算求解
已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.
(1)求C1的顶点坐标;
(2)将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(—3，
0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标;
(3)若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的两点,且求实数n的取值范围.
52((2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B(已知A、
B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)(
(1)求抛物线的解析式;
(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧(若以M、B、
O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标; 2
(3)在(2)的条件下，试问:对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2,28是
否总成立?请说明理由(
12分)已知抛物线y,,x2，2x，2( 53((2010广东广州，21，
(1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ;
(2)选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系y
P
D C
E
1 AB
55((2010江苏南京)(7分)已知点A(1，1)在二次函数图像上。
(1)用含a的代数式表示b;
(2)如果该二次函数的图像与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。
56((2010江苏盐城)(本题满分12分)已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点(
(1)求这个函数关系式;
(2)如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上((
的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标;
(3)在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛
物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标;若不在，请说明理由(
2
57((2010辽宁丹东市)如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为(,8，
0)，点N的坐标为(,6，,4)(
(1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180?的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标(点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C);
(2)求出过A，B，C三点的抛物线的表达式;
(3)截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形(((BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值;若不存在，请说明理由;
的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请 (4)在(3)
直接写出((
此时m的值，并指出相等的邻边;若不存在，说明理由(
58((2010山东济宁)如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，)的抛物线
. 已知A点坐标为交y轴于A点，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)
(0，3).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与?C有怎样的位置关系，并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问:当点P运动到什么位置时，的面积最大,并求出此时P点的坐标和的最大面积.
x
(第23题)
59((2010甘肃兰州)(本题满分11分)如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、
AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3;抛物线经过坐标原点O和x
轴上另一点E(4,0)
(1)当x取何值时，该抛物线的最大值是多少,
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0?t?3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
11
4时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由;
2
? 当
? 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标;若无可能，请说明理由(
60((2010山东青岛)已知:把Rt?ABC和Rt?DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合)，
点B、C(E)、F在同一条直线上(?ACB = ?EDF = 90?，?DEF = 45?，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm(
如图(2)，?DEF从图(1)的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向?ABC匀速移动，在?DEF移动的同时，点P从?ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度
.当?DEF的顶点D移动到AC边上时，?DEF停止移动，沿BA向点A匀速移动
点P也随之停止移动(DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)(0,t,4.5)(解答下列问题:
平分线上, (1)当t为何值时，点A在线段PQ的垂直
(2)连接PE，设四边形APEC的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t，使面积y最小,若存在，求出y的最小值;若不存在，说明理由(
(3)是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上,若存在，求出此时t的值;若不存在，说明理由((图(3)供同学们做题使用)
F C ( E )
图(1)
图(2)
图(3) C
61((2010山东烟台)(本题满分14分)
如图，?ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点，连接AD，AD=4,AN是?ABC外角?CAM的平分线，CE?AN，垂足为E。
(1)试判断四边形ADCE的形状并说明理由。
(2)将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t(0?t?6)秒，平移后的四边形A’D’C’E’与?ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围。
【答案】
62((2010山东威海)(1)探究新知:
?如图，已知AD?BC，AD,BC，点M，N是直线CD上任意两点(
求证:?ABM与?ABN的面积相等(
?如图，已知AD?BE，AD,BE，AB?CD?EF，点M是直线CD上任一点，
?ABG的面积是否相等，并说明理点G是直线EF上任一点(试判断?ABM与
由(
(2)结论应用:
如图?，抛物线的顶点为C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点D(试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得?ADE与?ACD的面积相等, 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由(
,友情提示:解答本问题过程中，可以直接使用―探究新知‖中的结论(, 22M D N C A 图 ? B M D C F G 图 ? E
图 ?
备用图
63((2010四川凉山)已知:抛物线，顶点，与x轴交于A、B两点，。
(1) 求这条抛物线的解析式;
(2) 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依
次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点(Q与A、B两点不重合)，过点Q作于F，于G，请判断是，请求出此定值，若不是，请说明理由;
(3) 在(2)的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作，MN分
别与边AE、BE相交于M、N，(M与A、E不重合，N与E、B不重合)，
QAEM
请判断是否成立;若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 QBEN
第26题图
QFBE
是否为定值;若
64((2010四川眉山)如图，Rt?ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正
半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(，0)、(0，4)，抛物线
经过B点，且顶点在直线
52
23
2
上(
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若?DCE是由?ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点
C和点D是否在该抛物线上，并说明理由;
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交
CD于点N(设点M的横坐标为t，MN的长度为l(求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标(
65((2010浙江杭州) (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =
14
x+1，
2
4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与 点C的坐标为(–
y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标;
PC为腰的梯形时. (2) 当四边形CMQP是以MQ，
? 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
? 当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时，求t的值. 66((2010浙江嘉兴)如图，已知抛物线于点B(
(1)求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式; (2)设P(x,y)()是直线上的一点，Q是OP的
中点(O是原点)，以PQ为对角线作正方形PEQF(若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围; (3)在(2)的条件下，记正方形PEQF与?OAB公共部分的
面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S
的最大
O
(第24题)
12
x
2
交x轴的正半轴于点A，交y轴
yB
FP
QE
A
x
(第24题)
值(
67((2010浙江宁波)如图，已知二次函数
的图象经过A(2，0)、B(0，2
-6)两点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求?ABC的面积.
68((2010浙江绍兴)如图,设抛物线
与C2的交点为A, B,点A的坐2
标是(2,4),点B的横坐标是,2.
(1)求a的值及点B的坐标;
(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点,的
直线为l,且l与x轴交于点N.
? 若l过?DHG的顶点G,点D的坐标为
(1, 2)，求点N的横坐标;
? 若l与?DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.
第24题图
69((2010 嵊州市提前招生)(14分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(,1，0)，如图所示:抛物线
2经过点B。
(1)写出点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积。
(4)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使?ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形,若存在，求所有点P的坐标;若不存在，请说明理由。
70((2010 浙江省温州市)(本题l2分)如图，抛物线y=ax+bx经过点A(4，0)，B(2，2)。
连结OB，AB(
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求证:?OAB是等腰直角三角形;
(3)将?OAB绕点0按顺时针方向旋转l35?得到?0A′B′，写出?0A′B′的中点
P的出标(试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由(
71((2010 浙江义乌)如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O(0，0)、A(2，0)、B
(6，3)(
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分
别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1(设梯形O1A1B1C1的面积为S，
B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)(用含S的代数式表示x2,x1， A1、
并求出当S=36时
点A1的坐标;
(3)在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度
沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动(P、Q两
点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动(设P、Q两点的运动时间为t，
是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛2
物线的对称轴围成的三角形相似,若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由( (((
72((2010 重庆)已知:如图(1)，在直角坐标系xOy中，边长为2的等边?OAB的顶点B
在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上. 另一等腰?OCA的顶点C在第四象限，
，(现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒
1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿运动，当
其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止(
(1)求在运动过程中形成的?OPQ的面积S与运动的时 间t之间的函数关系式，并写
出自变量t的取值范围;
(2)在等边?OAB的边上(点A除外)存在点D，使得?O C D为等腰三角形，请直
接写出所有符合条件的点D的坐标;
(3)如图(2)，现有，其两边分别与OB， AB交于点M，N，连接MN(将绕着 点C旋转(旋转角)，使得M，N始终在边OB和
边AB上(试判断在这一过程中，?BMN的周长是否发生变化,若没变化，请求出
其周长;若发生变化，请说明理由(
73((2010重庆市潼南县)(12分)如图, 已知抛物线
与y轴相交于C，2
与x轴相交于A、B，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点，过点E作DE?x轴于点D，连结DC，当?DCE的面积最
大时，求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P，使?ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，
若不存在，说明理由.
26题图
74((2010山东聊城)如图，已知抛物线y,ax+bx+c(a?0)的对称轴为x,1，且抛物线经过A(,1，0)、C(0，,3)两点，与x轴交于另一点B(
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x,1上求一点M，使点M到点A
的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使?PCB,90º的点P的坐标( 2备用图
E
75((2010 福建德化)(12分)如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶
点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时(((((
间为t秒(0?t?3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
? 当t=5
2时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由;
? 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值,若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由(
，
OC的长度后点P作轴于点Q，连结OP?若以O、P、Q为顶点的三角形与相似，试求出点P的坐标; ?试问在抛物线的对称轴上是否存在一
点T，使得的值最大.
77((2010湖南长沙)已知:二次函数的图象过点(1，0)，一次函数图象经过原点和点(1，,b)，其中a>b>0且a、b为实数(
(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示);
(2)试说明:这两个函数的图象交于不同的两点;
(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求的范围(
78((2010湖南长沙)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴2
上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA
cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动(设运动时间为t秒(
(1)用t的式子表示?OPQ的面积S;
(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值;
(3)当?OPQ与?PAB和?QPB相似时，抛物线
经过B、P两点，过2
线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比(
79((2010江苏宿迁)(本题满分12分)已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D(
(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;
(2)连接BC，过点O作直线OE?BC交抛物线的对称轴于点E(
求证:四边形ODBE是等腰梯形;
(3)抛物线上是否存在点Q，使得?OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的
求点Q的坐标;若不存在，请说明理由(
132,若存在，
3的图象经过点A(2，,3)，B(,1，0)( 80(已知二次函数y=ax2，bx,
(1)求二次函数的解析式;
(2)填空:要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向
上平移
答案 个单位(
31、解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，
所以
令解之得
?A，B两点的坐标分别为A(-1，0)，B(3,0)
(2) 在二次函数的图象上存在点P，使
设p(x,y),则
?
，又即
?二次函数的最小值为-4，?
当时，或
故P点坐标为(-2，5)或(4，5)……………7分
(3)如图1，当直线经过A点时，可得
…8分
当直线经过B点时，可得图1
由图可知符合题意的b的取值范围为
32、(1)点C的坐标是(4，0);
(2)设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a?0)，将点A、
B、C三点的坐标代入得:
解得，?抛物线的解析式是:
(
(3)设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t(以P、
Q、C为顶点的三角形为等腰三角
形，可分三种情况讨论(
?若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t(?有2t=BC
=t
(
?若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ?BC交CB于点D，则有CD=PD(由?ABC??QDC，可得出PD=CD
5
，解得t
11
?若PQ=PC，如图所示，过点P作PE?AC交AC于点E，则EC=QE
5，?1
2t
5
(t)，解得t
=40
11(
(4)当CQ=PC时，由(3)知t
P的坐标是(2，1)，?直线OP的解析式是:y=1
2x，因而有1
2x2+
32x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1
，?直线OP与抛物线的交2点坐标为(
2)和(
(
33、(1)证明:依题意，m，是一元二次方程的两根(
根据一元二次方程根与系数的关系，得，(
?，( ?(
(2)解:依题意，
由(1)得
，?( ( 2?(
?二次函数的最小值为(
、解:(1)将B、C两点的坐标代入得
解得:
所以二次函数的表达式为:
(2)存在点P，使四边形POPC为菱形(设P点坐标为(x，)， /
PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC,PO(
连结PP 则PE?CO于E，
///
?OE=EC=
?
2
3
232 (
2
?解得x1=，x2=(不合题意，舍去) ?P点的坐标为(，
2)…………………………8分
(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P(x，)，
则Q点的坐标为(x，x,3). 易得，直线BC的解析式为
S四边形
2
当
2时，四边形ABPC的面积最大
75
8此时P点的坐标为，四边形ABPC的 面积的最大值为(
、解:(1)?抛物线
?m—3m+2=0.
解的m1=1，m2=2.
由题意知m?1.
?m=2， 经过原点，
?抛物线的解析式为
1
42522x 52x， ?点B(2，n)在抛物线
n=4.
?B点的坐标为(2，4)
(2)?设直线OB的解析式为y=k1x
求得直线OB的解析式y=2x
?A点是抛物线与x轴的一个交点，
，0)， 可求得A点的坐标为(10
设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)( 根据题意做等腰直角三
角形PCD，如图
1.
可求得点C的坐标为(3a，2a)，
有C点在抛物线上，
得2a=,
即9
414x(3a)2+1152x3a. a2—
解得 a1=
?OP=22
92229a=0 ，a2=0(舍去)
?依题意作等腰直角三角形QMN.
设直线AB的解析式y=k2x+b
由点A(10 ，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y=,1
2x+5
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线
上，有以
下三种情况:
第一种情况:CD与NQ在同一条直线上，如图2所示，
可证?DPQ为等腰直角三角形(此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t 、4t、
2t个单
位(
?PQ = DP = 4t
?t+4t+2t=10
?t=10
7
第二种情况:PC与MN在同一条直线上，如图3所示(可证?PQM为等腰直
角三角形(
AQ的长依次表示为t、2t个单位， 此时OP、
?OQ = 10 , 2t
?F点在直线AB上
?FQ=t
?MQ=2t
?PQ=MQ=CQ=2t
?t+2t+2t=10
?t=2.
第三种情况:点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示，此时
OP、AQ的
长依次表示为t、2t个单位(
?t+2t=10
?t=10
3 10
7综上，符合题意的值分别为
36、解:画图如图所示: ，2，103(
依题意得:
?平移后图像的解析式为:
(2)当y=0时，
，
?平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为(
由图可知，当或，0)和(，0) 2时，二次函数
的函数值大于0.
、解:(1)由题意可知解得
所以抛物线的函数关系式为(
72752 ,m)代人函数解析式中，得(2242
155所以( 244
38、(1)a,,1，b,2，c,0 2(2)把D(7
(2)过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为1
4
，横坐标为此时，MP,
MF,PF,1，故?MPF为正三角形.
55(3)不存在.因为当t,，x,1时，PM与PN不可能相等，同理，当t,，x
,1时，PM44
与PN不可能相等
39、(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a?0)，则有
解得
?抛物线的解析式y=2
(2)过点M作MD?x轴于点D.设M点的坐标为(m，n). x+x,4
则AD=m+4，MD=,n，n=1
2
?S = S?AMD+S梯形DMBO,S?ABO m，m,4 . 2
= 1
2
= ,2n-2m-8 ( m+4) (,n)，12(,n，4) (,m) ,12?4?4
= ,2(1
2
= ,m-4m (,4< m < 0) 2m，m,4) -2m-8 2
?S最大值 = 4
(3)满足题意的Q点的坐标有四个，分别是:(-4 ，4 )，(4 ，-4)，
(
-2+2
,，(-2
,2
，
40、解:(1)?抛物线y=x2，bx，c过点C(0,2). ?x=2
又?tan?OAC=OC
OA=2, ?OA=1,即A(1,0).
=x2，bx，2上. ?0=12，b?1，2,b=,3 又?点A在抛物线y
?抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2,3x，2
(2)存在
过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
?x=,
2.?AE=OE-OA=2-1=2,??APC=90?,
3
?tan?PAE= tan?CPD?
DP,即，解得PE=12或PE=32，
2
?点P的坐标为(3133
2，2)或(2，2)。(备注:可以用勾股定理或相似解答)
(3)如图，易得直线BC的解析式为:y=-x，2，
?点M是直线l′和线段BC的交点，?M点的坐标为(t，-t+2)(0,t,2) ?
MN=-t+2-(t2,3t，2)=- t2，2t
?S?BCM= S?MNC+S?MNB=1
2MN?t+12MN?(2-t) =1
2MN?(t+2-t)=MN=- t2，2t(0,t,2),
?S?BCN=- t2，2t=-(t-1)2+1
?当t=1时，S?BCN的最大值为1。
41、
42、解:(1)设抛物线的解析式为:
由题意得:
解得:
?抛物线的解析式为:
(2)存在
l′
抛物线
2 9x的顶点坐标是， ，作抛物线和?M(如图)
设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与?M相切于点C
连接MC，过C作CD? x 轴于D
? MC = OM = 2, ?CBM = 30?, CM?BC
??BCM = 90? ，?BMC = 60? ，BM = 2CM = 4 , ?B (-2, 0)
在Rt?CDM中，?DCM = ?CDM - ?CMD = 30?
?DM = 1,
CD =
?
l 上，可得: C (1, 设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k 0)，点B、C在
解得:
?切线BC
的解析式为:
3
3
?点P为抛物线与切线的交点
由
解得:
?点P
的坐标为:
9
12
2
，
P23
?
抛物线
2
9
x的对称轴是直线
此抛物线、?M都与直线x于是作切线 l 关于直线x得到B、C关于直线x
成轴对称图形
的对称直线 l′(如图)
的对称点B1、C1
的对称点:
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x
9P3(,
，即为所求的点. 223
12
2
?这样的点P共有4
个:
,
，P
2(6,
2
9，P
3(,，
43、解:(1)设该抛物线的表达式为。根据题意，得、
解之，得
?所求抛物线的表达式为
13
2
23
(2)?当AB为边时，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，
又知点Q在y轴上，?点P的横坐标为4或-4，这时，将 合条件的点P有两个，分别记为P1，P2。
而当x=4时，
5
53
时 ,当
此时
3
?当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1，
?点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P只有一个，记为P3，
，此时P3(2，-1) 综上，满足条件的点P为 而当x=2时，y=-1
35
44、解:(1)?y,mx2,2mx,3m,m(x2,2x,3),m(x,1)2,4m,
?抛物线顶点M的坐标为(1，,4m) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 ?抛物线y,mx2,2mx,3m(m,0)与x轴交于A、B两点，
?当y,0时，mx2,2mx,3m,0，
?m,0，
?x2,2x,3,0，
解得x1,,1，x,2,3，
?A，B两点的坐标为(,1,0)、(3,0). ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2)当x,0时，y,,3m，
?点C的坐标为(0，,3m),
1?S?ABC,2,(,1)|×|,3m|,6|m|,6m，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 过点M作MD?x轴于D，则OD,1，BD,OB,OD,2，MD,|,4m |,4m.
?S?BCM,S?BDM ，S梯形OCMD,S?OBC
111,2BD?DM，2(OC，DM)?OD,2OB?OC
111,2?2?4m2m，4m)?1,23?3m,3m， ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 ? S?BCM:S?ABC,1?2. ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
(3)存在使?BCM为直角三角形的抛物线.
过点C作CN?DM于点N，则?CMN为Rt?，CN,OD,1，DN,OC,3m,
?MN,DM,DN,m,
?CM2,CN2，MN2,1，m2，
在Rt?OBC中，BC2,OB2，OC2,9，9m2，
在Rt?BDM中，BM2,BD2，DM2,4，16m2.
?如果?BCM是Rt?，且?BMC,90?时，CM2，BM2,BC2,
即1，m2，4，16m2,9，9m2，
2解得 m,?22?m,0，?m2.
232?存在抛物线y2x2,2x,2BCM是Rt?; ????????????????????????????????????????????????????????? 10分
??如果?BCM是Rt?，且?BCM,90?时，BC2，CM2,BM2.
即9，9m2，1，m2,4，16m2，
?1, 解得 m,
?m,0，?m,1.
?存在抛物线y,x2,2x,3使得?BCM是Rt?;
CM是Rt?，且?CBM,90?时，BC2，BM2,CM2. ?如果?B
即9，9m2，4，16m2,1，m2，
1整理得 m2,,2,
?以?CBM为直角的直角三角形不存在.
(或?9，9m2,1，m2，4，16m2,1，m2，?以?CBM为直角的直角三角形不存在.)
232综上的所述，存在抛物线y,2x22x,2y,x2,2x,3使得?BCM是Rt?.
、?根据题意，得:，解得，所以抛物线的解析式为
?令，解得;根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是,1,x,3(
246、(1)?抛物线的对称轴是直线
?由对称性可得A点的坐标为(-6，0) …………2分
2 (2)?点C(0，8)在抛物线的图象上
将A(-6，0)、B(2，0)代入表达式得
解得 ?所求解析式为
[也可用把C(0,8)代入求出a]
(3)依题意，AE=m，则BE=8-m
?OA=6，OC=8，?AC=10
?EF//AC ??
AB即
4…………5分
4
5过点F作FG?AB，垂足为G，则
1
分
(4)存在.理由如下:
且
?当m=4时，S有最大值，S最大值=8 ?m=4
?点E的坐标为(——-2，0)
为等腰三角形 …………14分
47、解:(1)?四边形ABCD是平行四边形，
?OC=AB=4(
?A(4，2)，B(0，2)，C(,4，0)( ?抛物线y=ax2+bx+c过点B，?c=2(
由题意，有解得
分
?所求抛物线的解析式为
4
( (2)将抛物线的解析式
配方
学校职工宿舍分配方案某公司股权分配方案中药治疗痤疮学校教师宿舍分配方案医生绩效二次分配方案
，得
?抛物线的对称轴为x=2(
?D(8，0)，E(2，2)，F(2，0)( (
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE(即BP=FQ(
3
?t=6,3t，即t=(
2
(3)欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
??PBO=?BOQ=90?，?有
BPOB
或
BPOB
BOOQ
，
即PB=OQ或OB2=PB?QO(
?若P、Q在y轴的同侧(当PB=OQ时，t=8,3t，?t=2( 当OB2=PB?QO
时，t(8,3t)=4，即3t2,8t+4=0( 解得，
23
(
?若P、Q在y轴的异侧(当PB=OQ时，3t,8=t，?t=4( 当OB2=PB?QO
时，t(3t,8)=4，即3t2,8t,4=0
(解得
(
?t
=
<0(故舍去，?t
=
(
?当t=2或t=
23
或t=4或
t=
秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为
顶点的三角形相似(
48、解:(1)根据题意，得
2
…2分
解得
…………………………3分
22
?二次函数的表达式为y(2)令y=0，得二次函数y
的图象与x轴 (……4分
的另一个交点坐标C(5, 0).……………5分
由于P是对称轴上一点， 连结AB，由于AB
OA
2
2
，
要使?ABP的周长最小，只要PA
最小.
(第23题图)
由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则
BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC.
因而BC与对称轴的交点P就是所求的
点.……………………………………8分
设直线BC的解析式为，根据题意，可得所以直线BC的解析式为y
因此直线BC与对称轴x
解得
.…………………………………………………9分
的解，解得
的交点坐标是方程组
所求的点P的坐标为(2，-3).……………………………10分
49、(1)由题意，得
解得
12
1( ，b =,
92
所以抛物线的解析式为
12
2
，顶点D的坐标为(,1，
)(
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M(因为EF垂直平分BC，即C关于直
线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH +
CH最小，即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =BM
2
2
32
( 而
2
92
2
52
(
? ?CDH的周长最小值为CD + DR + CH =
(
3
设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3(
2
所以直线BD的解析式为
32
x + 3(
由于BC = 25，CE = BC?2 =5，Rt?CEG??COB， 得 CE : CO = CG : CB，所
以 CG = 2.5，GO = 1.5(G(0，1.5)( 同理可求得直线EF的解析式为y =
12
x +
32
(
34
)设K(t， 联立直线BD与EF的方程，解得使?CDH的周长最小的点H((3
12
2
，
158
)(
，xF,t,xE(过K作x轴的垂线交EF于N( )
,(
2
则 KN = yK,
12
12
t +
32
)
12
12
2
32
52
(
32
所以 S?EFK = S?KFN + S?KNE =
2
12
KN(t + 3)+
KN(1,t)= 2KN = ,t2,3t + 5 =,(t +
)
+
294
(
32
即当t =,时，?EFK的面积最大，最大面积为
294
，此时K(,
32
，
358
)(
50、(1)解:
或
1
的图像上， 22…………3分 (2)证明:设点在二次函数
则有:
分 整理得
?原方程无解
的图象上
1
分 …………6分 点不在二次函数说明:由
1
得到(从而判断点不在二次函数图像上的同样给分。
(3)解:?K(0,5)或; …………8分
?二次函数的图象上存在点P，使得如图，过点B作
轴于F，则BF//CE//AO，又C为AB中点， 由
和可求得点B(8,9).2
轴分 设P(x,1
，由题意有: 1
分
解得或
当时
当时
分
存在点
和P(10,16),使得
………………12分 说明:在求出后,也可由
得到 ?POE的边OE上的高为16，即点P的纵坐标为16， 然后由
可求出P点坐标。
22251、(1)对称轴为(1分) 与x轴有且只有一个公共点，?顶点的纵坐标为0. ?C1的顶点坐标为(—1，0) (2分)
为 (2)设C2的函数关系式
把A(—3，0)代入上式得得?C2的函数关系式为(3分) ?抛物线的对称轴为与x轴的一个交点为A(—3，0)，由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为(1，0). (4分)
(3)当时,y随x的增大而增大，
当时(5分)
当时,P(n,y1)的对称点坐标为
综上所述或分且
52、
53、解:(1)x,1;(1，3)
x
(3)因为在对称轴x,1右侧，y随x的增大而减小，又x1,x2,1，所以y1,y2(
54、解:? 由于抛物线经过点C(0,3)，可设抛物线的解析式为，
则，
解得
?抛物线的解析式为
分 2
? D的坐标为D(4,3) ……………………………5分
直线AD的解析式为
1
直线BC的解析式为
由
求得交点E的坐标为(2,2) ……………………………8分 ? 连结PE
(2,4) 交CD于F，P的坐标为
又?(2,2)，C(0,3),D(4,3)
?，且?四边形CEDP是菱
55、 形 ……………………………12分
56、解:(1)当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点………(1分)
1当a?0时，?=1- 4a=0，a = 4，此时，图象与x轴只有一个公共点(
1?函数的解析式为:y=x+1 或`y=4 x2+x+1……(3分)
(2)设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC?x
轴于点C(
2?y=ax+x+1 是二次函数，由(1)知该函数关系式为:
1y=4x2+x+1，则顶点为B(-2，0)，图象与y轴的交点
坐标为A(0，1)………(4分)
?以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ?PB?AB 则?PBC=?BAO
?Rt?PCB?Rt?BOA
?PC
AO，故PC=2BC，……………………………………………………(5分)
设P点的坐标为(x，y)，??ABO是锐角，?PBA是直角，??PBO是钝角，?x<-2 ?BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)
11?点P在二次函数y=4x2+x+1的图象上，?-4-2x=4 x2+x+1…………………(6分)
解之得:x1=-2，x2=-10
?x<-2 ?x=-10，?P点的坐标为:(-10，16)…………………………………(7分)
2(3)点M不在抛物线y=ax+x+1 上……………………………………………(8分)
由(2)知:C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM?PB，且CQ=MQ
1?QE?MD，QE=2 MD，QE?CE
?CM?PB，QE?CE PC?x 轴 ??QCE=?EQB=?CPB
1?tan?QCE= tan?EQB= tan?CPB =2
，故BE=5 ，QE=5 816CE=2QE=2?2BE=4BE，又CB=8
1816?Q点的坐标为(-5 ，5)
1432可求得M点的坐标为5，5)…………………………………………………(11分)
1141414432?45)25=25 5
2?C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y=ax+x+1 上……………………(12分)
(其它解法，仿此得分)
57、(1) 利用中心对称性质，画出梯形OABC( ????????????????
?A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
?A(0，4)，B(6，4)，C(8，0) ???????????????????(写错一个点的坐标扣1分)
y
A D F
O E C
N (,6，,4) M
(2)设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
?抛物线过点A(0，4)，
?(则抛物线关系式为( ?????????????将B(6，4)， C(8，0)
两点坐标代入关系式，得
，
( ???????????????????????????
解得，
2(分分分分分 1 3 4 5 6
所求抛物线关系式为:
14
2
32
( ??????????????? 7分
?OA=4，OC=8，?AF=4,m，OE=8,m( ??????????????? 8分 ?S (3)
四边形梯形???
12
12
OA(AB+OC)
()
12
12
12
12
12
12
CE?OA
( 0,m,4) ????????????? 10分
2
?( ?当时，S的取最小值(
又?0,m,4，?不存在m值，使S的取得最小值( ???????????? 12分 (4
)当时，GB=GF，当时，BE=BG( 14分 58、(1)解:设抛物线为
?抛物线经过点A(0，3)，???抛物线为
14
2
2
2
14
.
14
分
2
(2) 答:l与?C相交. …………………………………………………………………4分
证明:当
14
时，，
2
2，0)，C为(6，0). ?B为(
?
设?C与BD相切于点E，连接CE，则?
，?
又?，????
CEOB
.
?
CE2
.
?
分
?抛物线的对称轴l为，?C点到l的距离为2.
?抛物线的对称轴l与?C相交. ……………………………………………7分
(3) 解:如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.
可求出AC的解析式为设P点的坐标为(m，
14
2
12
分
12
).
)，则Q点的坐标为(m，
?
12
14
2
2
1432
2
32
m.
34
2
?
274
,
?当时，的面积最大为 此时，P点的坐标为(3，
274
.
34
). …………………………………………10分
x
(第23题)
2
59、解:(1)因抛物线经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0)
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为分
2
由
2
2
得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分
(2)? 点P不在直线ME上. 已知M点的
设直线ME的关系式为y=kx+b. 坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)，
于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分
11111111
由已知条件易得，当
11
4时，OA=AP=4，
P(
4
,
4…………………4分
)
? P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
? 当
4时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分
?以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ? 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ? OA=AP=t.
? 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t+4t) …………………………………6分
? AN=-t+4t (0?t?3) ,
2
2
? AN-AP=(-t+4 t)- t=-t+3 t=t(3-t)?0 , ? PN=-t+3 t
…………………………………………………………………………………7分
(?)当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形
11 2 2 2
的高为AD，? S=2DC?AD=2?3?2=3.
(?)当PN?0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
? PN?CD，AD?CD，
1
21 2 2? S=2(CD+PN)?AD=2[3+(-t+3 t)]?2=-t+3 t+3…………………8分 当-t+3
t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分
而1、2都在0?t?3范围 ??????????????????????????? 4分
(2)过P作，交BE于M，
?
ACPM在Rt?ABC和Rt?BPM中，，
PM88 ? . ??BC = 6 cm，CE = t， ?
) BE = 6,t. 图(2
8 ?y = S?ABC,S?,,22225
4?，?抛物线开口向上. 5
841111?当t = 3时，y最小=5.
答:当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为84
5cm2. ???????????????????? 8分
(3)假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作，交AC于N，
?
?，??PAN ??BAC. ?PN
BC
?
68?，图(3)
t?NQ = AQ,AN， ?NQ = 8,t,(
??ACB = 90?，B、C(E)、F在同一条直线上，
??QCF = 90?，?QCF = ?PNQ.
??FQC = ?PQN，
??QCF??QNP . ?PN
?
??
解得:t = 1.
答:当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
61、
,?证明:分别过点M，N作 ME?AB，NF?AB，垂足分别为点E， 62、,1
F( M D C
E A
图 ? F B ? AD?BC，AD,BC，
? 四边形ABCD为平行四边形(
? AB?CD(
? ME= NF(
?S?ABM,1
，S?ABN,1
，
? S?ABM,
S?ABN( ……………………………………………………………………1分 ?
相等(理由如下:分别过点D，E作DH?AB，EK?AB，垂足分别为H，K(
M D C
H F G 图 ? E 则?DHA=?EKB=90?(
? AD?BE，
? ?DAH=?EBK(
? AD,BE，
? ?DAH??EBK(
? DH=EK( ……………………………2分
? CD?AB?EF，
?S?ABM,1
，S?ABG,1
，
? S?ABM, S?ABG. ………………………………………………………………………3分 ,2,答:存
在( …………………………………………………………………………4分 解:因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得
? 该抛物线的表达式为，即( ………………………5分
? D点坐标为(0，3)( 设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得k
? 直线AD的表达式为(
过C点作CG?x轴，垂足为G，交AD于点H(则H点的纵坐标为(
? CH,CG,HG,4,2,2( …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为(
x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF? 过E点作EF?
CG(
由,1,可知:若EP,CH，则?ADE与?ADC的面积相等( ?若E点在直
-1,， 线AD的上方,如图?
则，EF,(
? EP,EF,PF,(
? (
解得，( ……………………………7分
当时，PF=3,2,1，EF=1+2,3( ? E点坐标为(2，3)(
同理 当m=1时，E点坐标为(1，4)，与C点重合( ………………………………8分 ?若E点在直线AD的下方,如图?,2,?,3,，
则( ……………………………………………9分 ?(解得当当
2，
2
( ………………………………10分
2时，E点的纵坐标为时，E点的纵坐标为
2
; (
? 在抛物线上存在除点C以
2，
2);
外的点E，使得?ADE与?ACD的面积相等，E点的坐标为E(3);E2(12，
E3(
2，
2)
( ……………………12分
,其他解法可酌情处理, 63
、
64、解:(1)由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为?
1
(1分) ?
(3分)
2
?所求函数关系式为:
(4分)
(2)在Rt?ABO中，OA=3，OB=4，
?
?四边形ABCD是菱形
C、D两 ?BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………(5分) ?点的坐标分别是(5，4)、(2，0)( …………(6分) 当时，当时，
22
103103
?点C和点D在所求抛物线上( …………………………(7分) (3)设直线CD对应的函数关系式为，则
解得:?
43
83
(
83
………(9分)
?MN?y轴，M点的横坐标为t， ?N点的横坐标也为t( 则
2
103
，
43
83
，……………………(10分)
??
23
43
8
， ?当
时，l最大
32
，
此时点M的坐标为(，
12
12分) )( ………………………………(
65、(1) ?OABC是平行四边形，?AB?OC，且AB = OC = 4， ?A，B在抛
物线上，y轴是抛物线的对称轴， ? A，B的横坐标分别是2和– 2， 代入y =
?---2分
(2) ? 过点Q作轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ， 由?HQP
??OMC，得: ?
Q(x,y)
在
y
14
x+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，
2
M (0，2)，
, 即: t = x – 2y ,
x
2
= +1上， ? t = –
12
x
2
+ x –2.
---2分
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，?x的取值范围是且的所有实数. ---2分
? 分两种情况讨论:
1)当CM > PQ时，则点P在线段OC上，
? CM?PQ，CM = 2PQ ，
?点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(12
4x+1)，解得x = 0 ，
?t = –12
20+ 0 –2 = –2
--- 2分
2)当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，
?CM?PQ，CM = 1
2PQ，
?点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即12
，解得:
分
23时，得t = –12 当x = –
2(23)–23–2 = –8 –23,
当x=23时， 得t =23–8.
)令，得，即， 66、(1
解得，，所以A(4,0)(令，得，所以B(0,4)( 设直线AB的解析式为，则
，解得，
所以直线AB的解析式为( …5分
(2)当点P(x,x)在直线AB上时，，解得， 当点Q(x,x)在直线AB上时，x
，解得(
所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则( …4分 . ---2 ---2分
(3)当点E(x,)在直线AB上时，(此时点F也在直线AB上)
2
x2
，解得
83
83
x
(
?当时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，
yB
2
2
此时，， 又PD
，
12x
2
从而， 所以
7474x
2
2
，
F
D
P
C
14
O
QE
A
2
87
x
(第24题)
(
167
因为
8
167
83
，所以当
时，
87
(
?当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，
3
此时，又， 所以即
12
x2
x2
y
，
B
F
P
12
2
QN
2
12
2
，
N
QME
(
89
其中当
时，
167
(
87
O
Ax
(第24题 备用)
综合??得，当
时，
( …5分
12
2
67、解:(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入
得
1分
解得
?这个二次函数的解析式为
12
分
2
该抛物线对称轴为直线 (2) ?
分
?点C的坐标为(4，0) ?
AC=OC,OA=4,2=2
?S?
分
268、解:(1)? 点A(2,4)在抛物线C1上，? 把点A坐标代入得 a=1.
? 抛物线C1的解析式为
设B(,2,b)， ? b,,4, ? B(,2,,4) .
(2)?如图1，
? M(1, 5)，D(1, 2), 且DH?x轴，? 点M在DH上，MH=5. 过点G作
GE?DH,垂足为E,
由?DHG是正三角形,可得EG=3, EH=1，
? ME,4.
设N ( x, 0 ), 则 NH,x,1,
由?MEG??MHN,得
? 4
?
? 点N的横坐标为5
(
第24题图1 ? 当点,移到与点A重合时,如图2，
直线l与DG交于点G,此时点,的横坐标最大(
过点,,,作x轴的垂线,垂足分别为点,,F,
设,(x，0)，
? A (2, 4), ?
? ，,
? ?NGQ??NMF，
?
?
第24题图2
?
3.
当点D移到与点B重合时,如图3，
直线l与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
? B(,2, ,4), ? H(,2, 0), D(,2, ,4),
设N(x，0)，
? ?BHN??MFN， ? NH
FNMF
?
， 第24题图3 图4 ?
? 点N横坐标的范围为
23
?x?
.
69、【答案】(1)B(,3，1) (2)
2
16
32
(3)略
(4)P(1，,1)
70、
71、解:(1)对称轴:直线
解析式:
2
14
18
18
x或
2
顶点坐标:M(1，
18
)
(2)由题意得
2
14
18
2
14
得:
8
2s3
?
得:
?
72s
把?代入?并整理得:
0) (事实上，更确切为S,66) (S,
当时，解得:
把代入抛物线解析式得?点A1(6，3)
(3)存在
解法一:易知直线AB的解析式为
交点E的坐标为
32
，可得直线AB与对称轴的
?BD=5，DE=
154
，DP=5,t，DQ= t
DQDE
当PQ?AB时，
t154
157
………2分
得
-1 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G 图1
?当
时，如图1-1 ??FQE??FAG ??FGA,?FEQ
DQDB
??DPQ,?DEB 易得?DPQ??DEB ?
201520
?得?舍去
5
154
777
分
? 当
18
时，如图1-2
??FQE??FAG ??FAG,?FQE
??DQP,?FQE ?FAG,?EBD
??DQP,?DBE 易得?DPQ??DEB
?
DQDB
20
?， ?
5
154
7
?当
207
秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、
直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相
似………………………………4分
(注:未求出
157
能得到正确答案不扣分)
x
2
解法二:可将
8
x4
向左平移一个单位得到
x
2
8
18
,再用解法一
类似的
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
可求得
S
7
?
72S
207
.
72、解:(1)过点C作于点D((如图?)
x
26题答图?
?，， ?(
?，， ?( 在
ODC中，
23
???????????????????????????????????????? (1分)
(?)当时，;
过点Q作于点E((如图?) 在中，?，
?
12
12
t2
34
12
t2
，
x
?
34
2
12
t(
即( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? (3分)
(?)当
23
3
(如图?)
，(
?，，?( ?
12
12
32
(
2
即
32
(
2
故当(2
)D
3
23
时，
4
3
,0)或(
312
t，当
2343
3
32
??????????? (5分) ( ?
2
,1)或23
,0)或(
3
( ??????????
(3)的周长不发生变化(
延长BA至点F，使，连结CF((如图?)?
， ??(
?，( ????????????????????????????????????????????????????????????????????? (10分)
?
( ?
(
( 又?
??(?( ????????????????????????????????????????????????????????????? (11分) ?(
?的周长不变，其周长为4( (12分) 73、解:(1)?二次函数
?
12
2
的图像经过点A(2，0)C(0,,1)
解得: b=,
12
c=,1-------------------2分
2
?二次函数的解析式为
12
--------3分
(2)设点D的坐标为(m，0) (0,m,2) ? OD=m ?AD=2-m 由?ADE??AOC得，?
ADAO
--------------4分
?DE=
2
-----------------------------------5分
12
14
??CDE的面积=
m4
2
?
2
?m
14
m2
当m=1时，?CDE的面积最大
?点D的坐标为(1，0)--------------------------8分
(3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为
设y=0则
解得:x1=2 x2=,1
?点B的坐标为(,1，0) C(0，,1)
设直线BC的解析式为:y=kx，b
?
解得:k=-1 b=-1
?直线BC的解析式为: y=,x,1
0在Rt?AOC中，?AOC=90 OA=2 OC=1
由勾股定理得:AC=5
?点B(,1,0) 点C(0，,1)
?OB=OC ?BCO=450
?当以点C为顶点且PC=AC=5时，
设P(k, ,k,1)
过点P作PH?y轴于H
??HCP=?BCO=450
CH=PH=?k? 在Rt?PCH中
解得k1=2222， k2=,
22 2?P1(2，,) P2(,，)---10分 ?以A为顶点，即AC=AP=5
设P(k, ,k,1)
过点P作PG?x轴于G
AG=?2,k? GP=?,k,1?
在Rt?APG中 AG2，PG2=AP2
(2,k)+(,k,1)=5
) 解得:k1=1,k2=0(舍
?P3(1, ,2) ----------------------------------11分 ?以P为顶点，PC=AP设P(k, ,
k,1)
过点P作PQ?y轴于点Q
PL?x轴于点L
?L(k,0)
??QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k 22
由勾股定理知
CP=PA=2k
?AL=?k-2?, PL=,,k,1,
在Rt?PLA中 (2k)2=(k,2)2，(k，1)2
解得:k=5
2 ?P4(5
2,,7
2) ------------------------12分
2综上所述: 存在四个点:P1(，,)
P2(-2，) P3(1, ,2) P4(5
2,,7
2)
74、解:(1)?抛物线经过点C(0，,3)?C,,3，?y,ax2+bx-3，又抛
物线经过点A(,
，，，0)，对称轴为x=1，所以 解得
?抛物线的函数关系式为y,x2,2x-3
(2)?点A(,1,0)，对称轴为x=1，?点B(2，0)(
设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得 ，
解得，
?直线BC的函数关系式为y=,3x,3，当x=1时，y,,6，?点P的坐标为(1，,6)(
(3)如图，过点P作PD?OC，设P(1，y)，则PE,|y|，DC,,,3,y,，
在Rt?PEB中，PB2,22+|y|2,4+y2，在Rt?PCD中PC2,12+|,3,y|2,10+6y+y2,在Rt?OBC中，BC2,32+32,18，??PCD,90º，?PB2+PC2,BC2，?4+y2+10+6y+y2,18，整理得y2+3y-2,0解得y1
,,
2
2，y2
,,32( 75、解:(1)
(2)?点P不在直线ME上
?依题意可知:P(t,t)，N(t，)
当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得:
4
242
当或0时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形
11
依题意可得，矩形
22
21
综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值(
4
76、解:(1)依题意得
?抛物线的开口方向:向下，?当t=
3
，且
3
时，S最大=
21
:
;
………………(3分)
(2) ? ?，，??抛物线经过原点， ?设抛物线的解析
式为
2
又抛物线经过点与点
3
?解得:
?抛物线的解析式为?点P在抛物线上， ?设点
49x
2
49
x
2
23
x.…………………(5分)
2
4
1)若?，则
PQDA
QOAO
，
9
x
2
23
x2
，解得:舍去)或
5116
，
?点
(7分)
4
2)若?，则
OQDA
PQAO
，
x32
9
x
2
23
x
，解得:舍去)或
92
，
?点
(9分)
?存在点T，使得B的值最大. 抛物线
49x
2
23
x的对称轴为直线
34
，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点
(10分)
?点O、点E关于直线
对称，
4
?(11分) 要使得的值最大，即是使得的值最大，
最大. 设过B、?
?直线BE当
34
时，y?存在一点大.………………………(13分)
)设一次函数的表达式为y,kx(k为常数，k?0) (?一次函数图象 77、解:(1
经过原点和点(1，,b)，?把点(1，,b)，代入y,kx，得,b,k,即k ,,b (?一次函数的表达式为y,,bx(
(2)?二次函数的图象过点(1，0)，?a，b,2, ? a ,2,b(
2
2
将二次函数与一次函数联立，得
整理，得(2,b)x2，2bx,2,0(
?b>0，?k ,,b,0( ??,(2b)2,4(2,b)(,2),4b2+16,8b,0( ?这两个函数的图象交于不同的两点(
(3)?(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，?x1，x2,
，x1x2,
?
2
?，?(
78、解:(1)由题意知，OQ,8,
t,OP1
?
( 2
(2)由题意知，AB,OC,8,CQ, t, CB,OA
,,PA
,
?S四边
形
矩形
?四边形OPBQ
的面积是一个定值，这个定值为
(3)当?OPQ与?PAB和?
QPB
相似时，应满足(
整理，得， 2
解得，(不合题意)(
此时P(
,0),B((
因抛物线
经过B、P两点，所以将B、P两点的坐标代入，得
解得
所以经过B、P
两点的抛物线为
14
(
2
设过B、P两点的直线为y,kx+b, 将B、P两点的坐标代入，得
解得
所以过B、P两点的直线为y
,8( 依题得，动点M的坐标(
x, MN
x,8
),(
14
2
，N的坐标(
x, x,8)
14
2
14
)
14
2
8),
的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3: 当
1(
79、(1)求出:，，抛物线的对称轴为:x=2
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为(0，3)，D点坐标为(2，-1) 设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为(2，0)，连接OD，DB，BE
?是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，E点坐标为(2，2)， ??BOE= ?OBD=45 ?OE?BD
?四边形ODBE是梯形 ………………5分 在
F和中， OD=OF
2
2
2
22
5 ，BE=EF
2
2
22
5
?OD= BE
?四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分
(3) 存在， ………………8分
由题意得:S四边形
ODBE
12
12
92
………………9分
设点Q坐标为(x，y)， 由题意得:S三角形?
2
当y=1时，即，?
OBQ
12
32
y=
13
S四边形
ODBE
13
92
32
2，
2，
?Q点坐标为(2+2，1)或(2-2，1) ………………11分
当y=-1时，即， ?x=2， ?Q点坐标为(2，-1) 综上所述，抛物线上存在三点Q1(2+2，1)，Q2 (2-2，1) ，Q3(2，-1) 使得S三角形
OBQ=13S四边形ODBE( ………………12分
80、解:(1)由已知，有
，即
，解得
?所求的二次函数的解析式为
(2) 4
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