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全日制义务教育数学课程标准解读

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全日制义务教育数学课程标准解读全日制义务教育数学课程标准解读 IP 3. 传统的几何课程,内容差不多都是计算和演绎证明.到了初中以后,几何几乎成了一门 纯粹的关于证明的学问.之所以如此,与传统上认为“数学是思维的体操”、把智力或思维 能力的发展看成数学教育的主要目标有关.但是,以证明为主题的几何课程内容主要是由一 些经过精心组织、现成的、条理清晰的概念、公理、定理和逻辑的思考方法(主要是三段论) 构成的,重点在形式化,内容比较单调,呈现方式也是冷冰冰的.这样的课程难以鼓舞学生 的学习欲望和兴趣,学习这样的课程时,学生只能是被动地参与,难觅...

全日制义务教育数学课程标准解读
全日制义务教育数学课程标准解读 IP 3. 传统的几何课程,内容差不多都是计算和演绎证明.到了初中以后,几何几乎成了一门 纯粹的关于证明的学问.之所以如此,与传统上认为“数学是思维的体操”、把智力或思维 能力的发展看成数学教育的主要目标有关.但是,以证明为主题的几何课程内容主要是由一 些经过精心组织、现成的、条理清晰的概念、公理、定理和逻辑的思考 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (主要是三段论) 构成的,重点在形式化,内容比较单调,呈现方式也是冷冰冰的.这样的课程难以鼓舞学生 的学习欲望和兴趣,学习这样的课程时,学生只能是被动地参与,难觅发挥主动性和创造性 的空间.另外,传统的几何课程中很难找到与“空间”有关的内容.虽然“教学大纲”也有 关于“空间观念”的表述,如“能够由形状简单的实物想象出几何图形,由几何图形想象出 实物的形状”等等,但在具体的教学内容和教学要求中却鲜见与之有关的解释和 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 。 几何课程的主旋律就是研究平面几何图形及其性质的基本方法,虽然也有“识图初步” 这样的条目,但其在内容和要求上都显得无足轻重。 然而,空间与人类的生存紧密相关,了解、探索和把握空间能使人类更好地生存、活动 和成长.空间观念是创新精神所需的基本要素,没有空间观念,几乎谈不上任何发明创造.因 为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的,作为设计者要先从自己的想象出发画出设 计图,然后根据设计图做出实物模型,再根据模型修改设计,直至最终完善成型.这是一个 充满丰富想象和创造的探求过程,也是人的思维不断在2维和3维空间之间转换,利用直观 进行思考的过程,空间观念在这个过程中起着至关重要的作用.所以,明确空间观念的意义, 认识空间观念的特点,发展学生的空间观念,对培养学生具有初步的创新精神和实践能力是 十分重要的.这就是《标准》把“空间观念”作为义务教育阶段重要学习内容的意义所在. 1 《 。 作为空间观念最基本的表现,这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析,不断 由低到高向前发展的、对客观事物的认识过程,是建立在对周围的环境直接感知基础上的、 对空间与平面相互关系的理解和把握过程.在这个意义上,空间观念是学生主动、自觉或自 动化地“模糊”2维和3维空间之间界限的一种本领,是学生对生活中的空间与数学课本上 的空间之间密切关系的领悟。 把握实物与相应的平面图形、几何体与其展开图和三视图之间的相互转换关系,不仅是 一个思考过程,也是一个实际操作过程.把上述表现进一步向前延伸,就是要尝试着物化那 些感知到的,在直观的水平上有所把握的“转化”关系,这就是《标准》提到的“能根据条 件作出立体模型或画出图形”,重现感知过的平面图形或空间物体.无论是做立体模型还是 画出图形,都要在头脑加工和组合的基础上,通过实际尝试和动手操作来实现.这种重现能 使几何基于直观的表象、联想和特征得到实实在在的表示,使空间观念从感知不断发展上升 为一种可以把握的能力。 例如,在电话里向别人描述如图1所示的积木块建筑的形状,就要抓住积木块之间的位 置关系,使对方在看不到实物的情况下,通过你的叙述产生符合原形的直观想象。 叙述和倾听都需要在逻辑上对图形关系进行分析与操作.严格准确地描述它的形状,可 能会因人的能力差异而有所不同,但这些描述中的共性,可能就导致了一些有规律的内容出 现,那就是空间观念。 .在把握“相互转换”关系的基础上,刻画了根据图形的特征在 逻辑上对图形关系进行的分析与操作. 如第三学段,注重联系生活实际,学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质,欣赏 并体验变换在现实生活中的广泛应用。 在“图形与坐标”的内容中,强调学习运用坐标系确定物体位置的方法,感受图形变换 后点的坐标的变化。 如下图所示,在直角坐标系中,图(1)中的“A”经过变换分别变成图(2)~(4) 中的相应图案(虚线表示原图案),试写出图(2)~(4)中各顶点的坐标,探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。 “视图与投影”的内容注重生活化、现实化,并有明确的目标和要求。如通过背景丰 富的实例,知道物体的阴影是怎样形成的,并能根据光线的方向辨认实物的阴影(如在阳光 或灯光下,观察手的阴影或人的身影);了解视点、视角及盲区的含义,并能在简单的平面 图和立体图中表示;通过实例了解中心投影和平行投影。 此外,还适当增加和渗透了反映现代几何学相关学科、领域的一些内容,如观察与现 实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等),了解并欣赏一些有趣的图 形(如雪花曲线、莫比乌斯带)等。 空间观念的表现还包括“能运用图形形象的描述问题,利用直观进行思考”.直观思考 是没有严格演绎逻辑的“形象化”的推理,是结合情景进行的思考. 如,根据图2中的三视图建造的建筑物是什么样子的?共有几层?一共需要多少个小立 方体? 回答这个问题,必须多次进行“如果„„那么”的思考,尝试得出正确的结论.比 较、综合、归纳、模拟与位置有关的推理,有条理的具体操作等一系列手段在这里都用得上.回 答这个问题会运用到典型的数学思维方法,经历典型的数学解决问题过程:提出假设,得出 一个结论,证实或否定这个结论.这里虽然没有严密的命题逻辑、演绎推理与直观结合的思 考,照样能得出正确的结论。 2 为了使空间观念从理念转化为数学课程的实践,需要在教学过程中加入以下新元素。 空间观念不仅是“观念”,还是数学课程里新的内容、题材和呈现方式.由于以往课程 中这方面的资源非常缺乏,依据《标准》的要求,选择与空间观念密切相关的题材就显得十 分重要.为了培养和发展学生的空间观念,《标准》不仅在“空间观念”的提法上加入了一 些新的元素,而且在内容上作了相应的安排,在3个学段都大大加强了与培养空间观念有关的内容,提出了一些新的具体目标.如:第一学段的“辨认从正面、侧面、上面观察到的简 单物体的形状”,“会用上、下、左、右、前、后,描述物体的相对位置”,“能辨认从不同方 位看到的物体的形状和相对位置”;第二学段的“认识长方体、正方体、圆柱体的展开图”; 第三学段的“知道物体的阴影是怎么形成的,并能根据光线的方向辨认实物的阴影”,“了解 闪点、视点、视线及盲区的含义”等等. 这些内容的设置,使视图与构造、直观与推理、观察与投影等内容成了培养学生空间观念的重要图1学习资源并使空间和空间观念从孩子入学的那一刻开始就伴随他们成长了。 《标准》中与空间观念有关的内容目标还有很多,这里提到的只是其中几条,有些是《标 准》第一次作为课程内容提出的新元素.在以往的数学课程体系中,这样的内容往往显得无 足轻重,有些则完全被屏蔽在数学课程的视野之外.因为按照传统的数学课程理念衡量,这 样的内容不那么系统,很难用定义、定理、命题、性质把它们串起来;这样的内容也不那么 好教,一方面,严格的逻辑在这里用处不大;另一方面,“灌输”的方法也很难起作用;这 样的内容更不那么好考,因为探究这样的内容需要观察、思考、交流、模拟、尝试,甚至要 争论、辩论,要走出课堂,其中任何一个环节都不大容易在纸上呈现,不大好打分.然而, 如果数学课程里没有这些元素,学生的空间观念将从何而来?如果没有空间观念,数学课程 将如何满足素质教育的要求,怎样建立与创新精神培养之间的全面联系?因此,《标准》明 确地把空间观念作为与培养学生创新意识有关的重要数学学习内容之一。 体现空间观念的内容一定要附以恰当的题材和呈现方式,使学生通过模拟、归纳与位置 有关的演绎,甚至实际操作等一系列方法去作尝试.通过具体的情景让学生探索和发现,在 不断提出问题和解决问题的氛围中,引导学生得出正确的结论,发展空间观念。 例如,当你乘车沿一条平坦的路向前行驶时,为什么你前方那些高一些的建筑物好像 “沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了?而当你经过它们之后,那些“沉” 下去的建筑物又逐渐“冒”了出来,这其中的原因何在?这一情形可以抽象为侧视图(如图 3). 如果你所在的位置是A,你是否会看到后面那座高大的建筑物?为什么? 这样的问题 情景是很多学生经历过的.而正确回答这个问题却要涉及到视线、视点、视角、视距等许多 与投影有关的概念.对这个问题的讨论会引导学生逐渐明了这样的道理:被视物体看上去的 高矮是由视角a所决定的,而视角的大小又依赖于被视物的高度和视点与被视物之间的距离 (距离越近,视角a越大;距离越远,视角a越小).如果A再向前挪动一点,视角a再大 一点,那座高大的建筑物就会在眼前消失.“沉”到矮的那座建筑物后面去,问题就可以回 答清楚了。 继续探讨,如果反过来,当A处于什么位置时,在E点就看不到了呢?回答这个问题, 需要探讨从E看不到的点形成的空间,称为E点的盲区.在不同的背景下,这里有不同的意义.比如在这里可以躲开E点的观察和跟踪,而如果这里代表的是通讯系统的盲区,这 里的无线电话就会拨不出去、收不到。 这个例子反映了如何从普通生活中的情景出发,在分析讨论的基础上找出数学模型,通 过思考和简单的实验,不断认识、了解和把握实物与相应的平面图形之间的相互转换关系, 通过切身的感受和体验建立空间观念.这样的题材接触多了,2维和3维空间之间的界限就 会越来越模糊,空间观念就可以逐步形成。 这样的例子是对学生有吸引力的内容,有助于提高学生学习数学的兴趣.这些内容作为 培养空间观念的载体,能引导学生在研究探索的氛围里,在合作交流的过程中,积淀对空间 观念的认识.面对这样的题材,学生的许多个人知识和直接经验都能用得上,不同的学生会 有不同的 心得 信息技术培训心得 下载关于七一讲话心得体会关于国企改革心得体会关于使用希沃白板的心得体会国培计划培训心得体会 .他们熟悉的视线、影子,甚至小时侯捉迷藏用的那些技巧,现在都可以派上 用场.如果沿着上面例子中的线索再深入一步,会有更广阔丰厚的与空间观念相联系的内容 素材,传统几何课程中难觅踪迹的诸如投影、视图、直观推理等内容,都会逐渐浮现出来.这 些看上去艰深的数学概念,这些好像离中小学很远的数学内容,其实就在我们身边.它们的 面貌并不像这些名词那样高深莫测,它们是空间与图形领域不可或缺的重要题材,与培养空 间观念密切相关.《标准》内容目标中提出的“知道物体的阴影是怎么形成的,并能根据光 线的方向辨认实物的阴影”,“了解视点、视线及盲区的含义”等的意义也就在这里。 学生的空间知识来自丰富的现实原型,与现实生活关系非常紧密,这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源.培养空间观念要将视野拓宽到生 活的空间,重视现实世界中有关的空间与图形的问题.通过自主探索,逐步认识简单图形的 形状、大小和相互位置关系,初步认识一些特殊图形的特征及性质,学会运用测量、计算、 实际操作、图形变换、代数化以及推理等手段,解释和处理一些基本的空间图形问题.通过 从不同的角度观察物体、辨别方位、动手操作、想象、描述和表示、分析和推理等活动,发 展学生的空间观念。 空间观念是从现实生活中积累的丰富几何知识体验出发,从经验活动的过程中逐步建立 起来的,发展学生空间观念的基本途径应当是多种多样.但无论何种途径,都是以学生的经 验为基础.这些可能的途径包括:生活经验的回忆、实物观察、动手操作、想象、描述和表 示、联想、模拟、分析和推理等.通过这些途径,学生感知和体验空间与图形的现实意义, 初步体验2维与3维空间相互转换关系,逐步发展空间观念。 一般说来,低学段的学生已经积累了一定的图形与空间方面的知识和经验,他们往往需要借助与生活实际有关的具体情境认识和把握与空间 观念有关的内容,观察、操作等活动对于他们形成空间观念具有重要意义.这时要让学生亲 自动手,让视觉、听觉、触觉等多种分析器官协同参与活动,使学生有较多的机会通过内容 丰富的图形、符号感知和实物操作的探究活动,不断丰富归纳和类比的经验,使空间观念得 以形成和巩固.随着学段的增加,学生的语言表达能力、动手操作能力和自主探索的能力有 所提高,他们可以通过观察、分析、独立思考、合作交流等方式,从形状、特征、方位、关 系等多种角度认识事物.在这个基础上,分解、变换、运动以及确定方向和位置等诸多手段 将使他们更全面地感知和体验周围的事物,理解空间、把握空间,直观和抽象进一步相互融 合,并逐步产生演绎和论证的需要,在发展的过程中形成空间观念。 被动听讲和练习为主的方式是难以 形成空间观念的.培养空间观念需要大量的实践活动,学生要有充分的时间和空间观察、测 量、动手操作,对周围环境和实物产生直接感知,这些活动不仅需要自主探索、亲身实践, 更离不开大家一起动手,共同参与.观察、操作、归纳、类比、猜测、变换、直观思考等对 形成空间观念有重要作用的手段,只有在大家共同探讨,合作解决问题的过程中才能不断生 成、发展.合作交流可以使学生更明确自己对空间的看法,并有机会分享同学的想法.大家 的共同感受对促进空间观念的发展具有重要意义。 总之,无论对教材、教学还是教师,这里提到的空间观念都是一个需要重新认识的新课 题,都应给予充分的关注.空间观念从理念变成有助于培养学生创新意识的现实,还需要深 入进行研究和探讨,需要在实际操作过程中不断探索有利于学生形成空间观念的内容、情景 和教学方式.而在这方面付出的不懈努力,极有可能产生有价值、有影响的数学教育研究成 果,对《标准》的实施与完善起到积极的推动作用。 4. 将统计的初步知识纳入义务教育阶段数学课程在国际上早已达成共识,许多国家的课程 标准和教材中对这部分内容都有比较详细的要求。近年来,我国的教育工作者也在统计课程 的设计方面作出了不懈的努力和尝试,特别在《标准》中明确指出要使学生“经历运用数据 描述信息,作出推断的过程,发展统计观念”,首次将“统计观念”作为义务教育阶段数学 课程的重要目标之一。统计与人们的日常工作和社会生活密切相关,生活已先于数学课程将 统计推到了学生的面前.现代社会的公民越来越需要与数据打交道,在处理实际问题时人们 越来越注重对数据的收集、整理和分析,这就是一个统计的过程.在以信息和技术为基础的 现代社会里,人们面临着更多的机会和选择,常常需要在不确定情境中,根据大量无组织的 数据作出合理的决策.而统计正是通过对数据的收集、整理和分析,来为人们更好地制定决 策提供依据.因此,要培养学生具有从纷繁复杂的情况中收集并处理数据,作出恰当的选择 和判断的能力,就必须将统计的基本思想方法和知识作为义务教育阶段数学课程的重要组成 部分. 1 也许有人会提出这样的问题:统计不就是计算平均数、画统计图吗?这些事情计算器、 计算机就能做得很好,还有必要从小就开始学习吗?确实,在信息技术如此发达的今天,计 算平均数、画统计图等内容不应再占据学生过多的时间,因为它们远非统计学习的核心.在 义务教育阶段学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计观念”。 一提到“观念”,就绝非等同于计算、作图等简单技能,而是一种需要在亲身经历的过 程中培养出来的感觉,于是也有些人将“统计观念”称为“信息感”。无论用什么词汇,它 代表的都是能自觉地想到运用统计的方法解决有关的问题。 具体来说, “统计观念”的首要方面是能有意识地从统计的角度思考有关问题,也就是当遇到有关 问题时能想到去收集数据和分析数据。 例如,球迷在看球赛时会推测所喜爱的球队是否会赢,如果这时仅仅依靠主观喜好去作 判断,那么就不具备统计观念,判断往往是不合理的。但如果意识到判断前需要先收集一定 的数据——双方队员的技术统计资料,双方球队历次比赛的成绩记录等等,并且相信这些数 据经过适当地整理和分析,有助于了解球队的概况。在此基础上再对球队的输赢作出推测才 是比较可靠的。具备从统计的角度思考问题的意识显然是非常重要的,在遇到与数据有关的 问题时,即使你不懂得或忘记了具体收集和整理数据的方法,但只要有了这个意识,就会去 请教专业人员,在他们的帮助下作出比较合理的决策。 “统计观念”不仅包括从统计的角度思考问题的意识,而且包括亲身经历收集、描述和 分析数据的过程,并能根据数据作出合理的判断。通俗地讲,就是不但要有意识,还得有一 些办法。 2: 实际上,运用数据作出判断,虽然不像逻辑推理那样有100% 的把握,但它可以使我 们在常识范围内不能作选择的地方作出某种决策,而且提供足够的信心。还以“球赛问题” 为例,学生不仅要意识到解决这个问题需要收集数据,而且还要讨论需要收集哪些数据,采 取什么样的办法进行收集,并亲自去作一些调查;面对收集到的数据,要进行整理使之更清 晰,基于对数据的分析,推测自己喜欢球队获胜的可能性。 这一点对于义务教育阶段的统计学习是非常重要的。因为在这个信息时代里,生活中充 斥着各种数据,这些数据以及对其形象化处理的统计图表,给人们带来了很大的直观冲击力, 于是有人称我们进入了一个“读图时代”。为了能在这个“读图时代”里更好地生存,首先 就必须能从大量的“图”中获取有用的信息。 图1是某家报纸公布的反映世界人口情况的统计图,你能从中获得哪些信 息?从图中你能了解世界人口的哪些情况?你能根据这些信息分析世界人口的变化趋势 吗? 除了能读懂并有意识地从各种渠道获取数据外,我们还必须理智地对待新闻媒介、广告 等公布的数据,初步形成对数据统计过程进行评价的意识。 (如图2、图3) 这2幅图表示的是相同的数据,都是说明比赛成绩在1997—1999年间每年递增2分, 但因选择的单位刻度不同,因而粗看上去似乎增长幅度有着显著的差别,同时这2幅图所用 的标题也夸大了这种差别。 因此,当我们面对媒体公布的数据时,既要能从中获得尽可能多的有用信息,还要保 持理智的心态,对数据的来源,收集数据的方法,数据的呈现方式,由此得出的结论进行合 理地质疑,这也是一个人应具备的基本素质。 2 《标准》不仅将“统计观念”作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一,还分学段在 相关内容中对培养学生的统计观念提出了具体要求.如何理解并实现《标准》所提出的要求, 真正将统计观念的培养落在实处呢? “观念”的建立需要人们亲身的经历,要使学生逐步建立统计观念, 为此,《标准》在各个学段都将“投入统计活动的全过程”作为本学段统计学习的首要 目标,并根据学生的身心发展规律提出了不同程度的要求,从“有所体验”、“经历”到“从 事”. 一家居民小区的食品超市为了更好地安排营业时间和售货员的人数,想了解该小区 居民一周到超市购买食品的天数。 (1)你能替该超市的管理人员设计一个调查 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 吗? (2)该超市的管理人员调查了该小区所有的500户居民,并得到下面的数据: 4,2,0, 5,5,1,2,2,3,0, 4,6,2,2,1,1,2,2,„ 你能设法将上述数据整理得较为清晰吗? (3)将上述数据整理成频数和频率表: 每周到食品起市的次数 户数 频率 0 57 11.4% 1 179 35.8% 2 145 29.0% 3 42 8.4% 4 29 5.8% 5 25 5.0% 6 17 3.4% 7 6 1.2% 根据上表,将数据整理成频数分布直方图和折线图(见下图)。 (4)根据调查结果,每周去超市少于3次的居民户占小区总居民户的百分比是多少? 你还能获得哪些信息? (5)如果你是超市的管理人员,根据上述调查,你会作出哪些决策?与同伴进行交流。 从另一个角度看,数学的发现往往经历这样一个过程:首先是问题的提出,然后是收集 与这个问题相关的信息并进行整理,再根据这些信息作出一些判断以解释或解决开始提出的 问题.爱因斯坦曾经说过:“„„纯逻辑的思维不可能告诉我们任何经验世界的知识,现实 世界的一切知识是始于经验并终于经验的.”经验性的观察积累了数据,从数据作出某种判 断,这种活动将有利于发展学生的发现能力和创新精神。 要鼓励学生积极投入到统计活动中,就要留给他们足够的动手实践和独立思考的时间与 空间,并加强与同伴的合作与交流. 例如,《标准》在第一学段中列举了这样一个活动:“调查一下你跑步后平均得分脉搏跳 动会比静止时快多少,并将测得的数据记录下来,与同伴进行交流。” 学生在从事这一活动时将体会到数据能使自己了解脉搏在运动前后的变化情况;将考虑 如何收集数据,用什么图表来展示数据,数据表示出什么趋势,能从这些数据中得到怎样的 结论等;将把自己的数据和结论与同伴进行交流.在一个个这样的活动过程中,学生的统计 观念会得到逐步的发展。 要培养学生从统计的角度思考问题的意识,重要的途径就是要在课程和教学中着力展 示统计的广泛应用,使学生在亲身经历解决实际问题的过程中体会统计对决策的作用.为此, 《标准》在各学段都提出,要注重所学内容与日常生活、社会环境和其它学科的密切联系.《标 准》还针对3个学段的特点对运用统计解决实际问题提出了具体要求.例如,在第三学段, 《标准》明确要求使学生“认识到统计在社会生活及科学领域中的应用,并能解决一些简单 的实际问题”,并列举了下面的例子加以说明:统计某商店一个月内几种商品的销售情况, 以对这个商店的进货提出你的建议.《标准》还要求学生能根据统计结果作出合理的判断, 如“根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题,能和同伴交换自己的想法”,“能解释统 计结果,根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流”,“根据统计结果作出合理的判断 和预测,体会统计对决策的作用,能比较清晰地表达自己的观点,并进行交流”.这些目标 和具体的例子旨在阐明,在统计教学中必须要创设大量的现实情境,使学生在解决问题中认 识到统计的作用,逐步树立从统计的角度思考问题的意识。 现实生活中有多种渠道可以提供有意义的问题,既可从报刊杂志、电视广播、网络等许 多方面寻找素材,也可从学生的生活实际中选取,如有关学校周围道路交通状况的调查,本 地资源与环境的调查,对自己所喜爱的体育比赛的研究等.还可以安排一些实践活动、社会 调查等,使学生亲自经历解决实际问题的过程,如可以收集报纸、杂志、电视中公布的数据, 分析它们是否由抽样得到,有没有提供数据的来源,来源是否可靠等;全班合作,统计一段 英文文章中字母出现的频率,并了解键盘的设计原理和破译某种密码的方法等.这些素材能 使学生将统计当作了解社会的重要手段,提高自己分析问题、解决问题的能力,更好地认识 现实世界形成自己的看法。 义务教育阶段的统计学习,应注重过程、思想和观念的学习.目的是使学生体会统计的 基本思想,认识到统计的作用,既能有意识地、正确地运用统计来解决问题,又能理智地分 析他人的统计数据,以作出合理的判断和预测;使学生能真实地参与,面对要解决的问题, 主动地 设计方案 关于薪酬设计方案通用技术作品设计方案停车场设计方案多媒体教室设计方案农贸市场设计方案 、收集数据、处理数据、制定决策,为维护自己的观点而寻求论据,与他人 进行讨论与交流. 5. 在日常生活、学习和工作中,人们经常要对各种各样的事物进行判断,判断事物的对与 错、是与非、可能与不可能等。判断是对事物的情况有所断定的思维形式。 随着科学技术空前迅速的发展,人类进入了21世纪.人们面对纷繁复杂的信息,经常 需要作出选择和判断,进而进行推理,作出决策.这对事情的成败、人的成长和发展都起着 重要的作用.因而,义务教育阶段“数学课程的学习,强调学生的数学活动,发展学生的„„ 推理能力”. 1 数学对发展推理能力的作用,人们早已认同并深信不疑。但是,长期以来数学教学注重 采用“形式化”的方式,发展学生的演绎推理能力,忽视了合情推理能力的培养.应当指出: 数学不仅需要演绎推理,同样需要合情推理.科学结论(包括数学的定理、法则、公式等) 的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比„„,即通过合情推理提出猜想,然后 再通过演绎推理证明猜想正确或错误.演绎推理和合情推理是既不相同又相辅相成的2种推 理。 《标准》对推理能力的主要表现作了如下阐述:“能通过观察、实验、归纳、类比等获 得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例.”这就是说,学生获得数学结论应 当经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现”,因而关注合情推理能力的 培养有助于发展学生的创新精神。当然,由合情推理得到的猜想常常需要证实,这就要通过 演绎推理给出证明或举出反例,《标准》中对一些公式、法则、定理的证明,也规定了相应 的论证要求。 无论在合情推理或演绎推理的过程中,思考者常常自己使用残缺不全、不连贯、具有高 度情境性的语言,要把这种“内部语言”转化为外部语言,必须理清思考过程中每一个判断 的理由和依据,使思考过程变得清晰而有条理,从而才能言之有理、落笔有据地表达.这里 的表达,包括口头语言和书面语言2种形式,以及学生用自己的语言表达和用数学的语言表 达2个层次。 用数学的语言与他人进行交流、讨论、质疑的前提是每个人都能清晰、有条理地表达自 己的思考过程.这里,“用数学语言合乎逻辑”的表达是重要的,只有这样,才能确保讨论 者有共同的语言和“规则”.质疑则是学生经过自己的分析、判断,对已有结论(自己的或 他人的)的正确性提出疑问的理性思考,合乎逻辑的质疑是推理能力发展的更高级的阶段。 以往,人们在研究数学教学中发展学生推理能力时,往往首先想到几何.事实上,数学 的各个分支都充满了推理——合情推理和演绎推理.应当认识到:几何为学习论证推理提供 了素材,几何教学是发展学生推理能力的一种途径,但绝不是唯一的素材和途径.数学教学 中发展学生推理能力的载体,不仅是几何,而且广泛地存在于“数与代数”、“概率与统计” 和“实践与综合应用”之中.只有这样,才能使几何教学目标更加全面,才能进一步拓宽发 展学生推理能力的空间。 2 《标准》中对义务教育阶段学生应具有的推理能力提出了明确的要求,要实现这些要求, 达到培养学生的推理能力的目标,需要注意以下问题: 能力的发展绝不等同于知识与技能的获得.能力的形成是一个缓慢的过程,有其自身的 特点和规律,它不是学生“懂”了,也不是学生“会”了,而是学生自己“悟”出了道理、 规律和思考方法等.这种“悟”只有在数学活动中才得以进行,因而教学活动必须给学生提 供探索、交流的空间,组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”, 并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中.任何试图把能力“传授”给学生, 试图把能力培养“毕其功于一役”的做法,都不可能真正取得好的效果。 “数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”和“实践与综合应用”4个领域的课程内容,都为发展学生的推理能力提供了丰富的素材.所以,数学教学必须改变培养学生推理能 力的“载体”单一化(几何)的状况,要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间;要 设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题,引导学生参与 “过程”;要恰当地组织、指导学生的学习活动,并真正鼓励学生,尊重学生,与学生合作.这样,就能拓宽发展学生推理 能力的空间,从而有效地发展学生的推理能力。 在“数与代数”的教学中,计算要依据一定的“规则”——公式、法则、运算律等,因 而计算中有推理(算理).现实世界中的数量关系往往有其自身的规律,用代数式、方程、 不等式、函数刻画这种数量关系或变量关系的过程中,也不乏分析、判断和推理.这是一个 经历观察、猜想、归纳、证明的过程,是一个既有合情推理又有演绎推理的过程. 在“空 间与图形”的教学中,既要重视演绎推理,又要重视合情推理.即使在平面图形性质(定理) 的教学中,也应当组织学生经历操作、观察、猜想、证明的过程,做到合情推理与演绎推理 相结合。 把火柴棒象下图那样拼成正方形。那么,正方形的个数n和火柴棒的根数具有怎样的关系? 在实际操作的过程中,要不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案,这个 过程发展了学生借助直观进行推理的能力,有助于学生空间观念的形成。 “概率与统计”中的推理(也称统计推断)属于合情推理的范畴,是一种可能性的推理, 与其它推理不同的是,由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验,只有靠实践来证 实.因此,“概率与统计”的教学要重视学生经历收集、整理、分析数据,作出推断和决策 的全过程。 毫无疑问,学校的教育教学(包括数学教学)活动能推进学生推理能力更好地发展.但 是,除了学校教育以外,还有很多活动也能有效地发展人的推理能力.例如,人们在日常生 活中经常需要作出判断和推理,许多游戏活动也隐含着推理的要求等.所以,要进一步拓宽 发展学生推理能力的渠道,使学生感受到生活、活动中有“学习”,养成善于观察、勤于思 考的习惯. 例如,2个人握一次手,若每2人握一次手,则3个人共握几次手?n个人共握 多少次手呢?这个问题与“由上海开往北京的1462次列车途中停靠23个站(不包括上海站 和北京站),这次列车共发售多少种不同的车票”问题有深刻的内在联系,通过合情推理和 类比的方法能发现许多有意义的规律。 《标准》十分强调:数学教学要紧密联系学生的生活实际,从学生的生活经验和已有知 识(从学生的实际)出发.推理能力的培养,必须充分考虑学生的身心特点和认知水平,注 意层次性。 一般地说,操作、实验、观察、猜想等活动的难易程度容易把握,所以合情推理能力的 培养应贯穿于义务阶段教学的始终。即使如此,《标准》在“学段目标”的“数学思考”部 分的表述中,3个学段仍然有着一定的层次:例如,“在教师的帮助下,初步学会选择有用 信息进行简单的归纳和类比(第一学段)”;“能根据解决问题的需要,收集有用的信息,进 行归纳、类比与猜测,发展初步的合情推理能力(第二学段)”;“能收集、选择、处理数学 信息,并作出合理的推断或大胆的猜测”,“能用实例对一些数学猜想作出检验,从而增加猜 想的可信程度或推翻猜想(第三学段)”„„ 3个学段培养学生演绎推理能力应更好地体现层次性。《标准》在第一、第二学段中, 并没有对此提出具体的要求,而是要求学生“能进行简单的、有条理的思考”,“能进行有条 理的思考,能对结论的合理性作出有说服力的说明”,《标准》在第三学段才明确提出“体会 证明的必要性,发展初步的演绎推理能力”的要求. 例如,“空间与图形”的学习,不同学段的学生观察、实验、推理的方式是不同的.在 第一、二学段,学生主要通过简单的“看”、“摆”、“拼”、“折”、“画”等实践活动,感知图 形的性质,或归纳得到一些结论;到了第三学段,在各种形式的实践活动中探索得到的结论, 有时需要运用演绎推理的方式加以证明.如“画一个角等于已知角”的教学,大体经历这样 的过程:用量角器、三角板画角,按照一定的步骤会用尺规画角——用重合的方法直观地感 知所画的角等于已知角——学习了三角形的全等判别条件后,则可以用演绎推理的方式(利 用“边边边”的全等条件)证明所画的角与已知角相等。 应当指出:培养学生的演绎推理能力不仅要注意层次性,而且要关注学生的差异.要使 每一个学生都能体会证明的必要性,从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求,克服“为了 证明而证明”的盲目性;又要注意推理论证“量”的控制,以及要求的有序、适度。 20世纪数学得到了空前的发展.大多数数学分支都取得了重大进展,形成了一大批新 的数学分支,发现和证明了一大批著名的数学定理,例如,解决费尔马问题等就是重要的标 志. 6. 20世纪中叶以来,由于计算机和现代信息技术的飞速发展,使应用数学和数学应用得 到了前所未有的发展,数学几乎渗透到每一个学科领域和人们日常生活的每一个角落.越来 越多的人们认识到“高科技本质上是数学技术”、“数学已经从幕后走到了台前,在某些方面 直接为社会创造价值”.现在比任何时候都需要“让全社会特别是让普通大众了解数学对人 类发展的作用”.数学是科学的语言、其它学科的基础、解决问题的工具;数学是培养人们 养成良好思维习惯的重要载体;数学在人类思想发展历史上起到了不可替代的重要作用;在 目前,强调数学的广泛应用,具有重要的现实意义.我们应该在整个学校教育过程中注重培 养学生的应用意识,使学生对数学有一个比较完整的了解,树立正确的数学观。 1 《标准》对应用意识作了清楚的刻画,为我们理解应用意识提供了基本的依据.义务 教育阶段的数学学习,学生的应用意识主要体现在以下2个方面。 这是指主动应用数学知识的意识。学生能主动应用数学知识,对于学生的数学思维能 力的发展具有重要意义。学生主动运用数学知识的意识包括2方面: 具有应用意识的学生,善于把问题与已有的数学知识联系起来,并积极进行思考,主动 地解决问题.在具体情境中能否从数学角度发现问题和解决问题,反映了人的基本数学素养. 这是指一种理论联系实际的意识.对于学生来说,包含了2方面的含义: 随着时代的发展,数学的应用价值日益体现出来,教师在教学中,应该让学生体会数学 的应用价值. 目前,强调培养学生的应用意识具有重要的现实意义。我国的数学教育具有 很多优秀的经验和优良的传统,需要认真地总结和发扬.但是也必须看到数学教育中存在着 一些问题,比较突出的是忽视数学的应用,忽视数学与其它学科以及与日常生活的联系,忽 视培养学生的应用意识和创新意识.早在20世纪40年代,国际著名数学家柯朗曾经十分尖锐地批评过数学教育中的这个问题.他指出:“两千年来,掌握一定的数学知识已被视为每 个受教育者必须具备的智力.数学在教育中的这种特殊地位,今天正在出现严重危机.不幸 的是,数学教育工作者对此应负责任.数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练.固 然这可以发展形式演算能力,但却无助于对数学的真正理解,无助于提高独立思考能力.忽 视应用,忽视数学与其它领域之间的联系,这种状况丝毫不能说明形式化方针是正确的;相 反,在重视智力训练的人们中必然激起强烈的反感.”柯朗的批评是尖锐的,也是中肯的, 应该引起数学工作者,特别是数学教育工作者认真的思考,尽快改变数学教育中存在的这种 现象.应该把培养学生的应用意识作为义务教育阶段数学教育的重要目标之一。 2 如何培养学生的应用意识是《标准》实施过程中的一个重要问题.在教学中,以下几个 方面的问题需要充分注意: 一般的说,数学知识的产生源于2个方面:实际的需要和数学内部的需要.义务教育 阶段,所学的知识大都是来源于实际生活,当然包括学生的实际生活经验.例如:在日常生 活中存在着丰富的“具有相反意义的量”、“不同形式的等量关系和不等量关系”以及“变量 与变量之间的函数对应关系”等等,这些正是我们在数学中引入的“正负数”、“方程”、“不 等式”、“函数”等实际背景.义务教育阶段的许多数学知识都有具体和直接的应用,应该让 学生充分实践和体验这些知识是如何应用的.在此基础上让学生感受和体验数学的应用价 值.了解数学知识的来龙去脉是形成数学应用意识的重要组成部分。 . 数学是一种“世界通用语言”,它可以简洁、清楚、准确地刻划和描述日常生活中的许 多现象.让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯,既可以增强学生应用数学的意识, 也可以提高学生运用数学的能力.例如,当学生乘坐出租车的时候,他能意识到付费与行驶 时间之间具有函数关系等等. 5这位老师引导他的学生对这个任务进行了充分 的讨论,他们把任务分解为2个部分,一部分是测量这个大楼的表面积,另一部分是了解市场上各种涂料的价格,要求设计使用涂料的分配方案,既能保证装修质量,又能省钱.这2 个任务对于5年级的学生来说是一项具有挑战性的任务,因为楼房的表面并不全是在课本上 学过的规则图形,并且为了避免危险,还不能爬到楼顶去测量,这就需要学生综合运用所学 的数学知识和其它知识来解决这个问题.比如用到投影、估算、材料等知识.另一方面,进 行市场调查,对于学生来说也是一个挑战.从课堂到实践,需要学生查找大量有关市场的资 料,找出实际背景中的数学知识,灵活地运用一些数学知识来进行方案设计.这个过程中, 学生需要通过自己查阅各种资料、搜集信息、处理数据、进行小组讨论等方式进行主动学习, 不但开阔了视野,也提高了学习数学的兴趣,培养了学生在解决问题中的合作意识.全班学 生根据这2个任务分成了2组,进行实际的测量和市场调查,提出了3个合理的设计方案供 学校参考.在这个过程中,学生不仅体验到数学在实际生活中的作用,而且品尝到应用数学 知识解决实际问题的成功喜悦,不仅提高了学习数学的兴趣,也提高了学习知识的兴趣。 有一个中学生,她的邻居是一位可怜的老太太,靠卖牛奶谋生.这位善良的小姑 娘很希望帮助老奶奶.她注意到这位老太太有时进的牛奶不够卖,有时又卖不完,而牛奶又 不能长期存放,这样就会赔钱. 她想到可以用学过的数学知识来帮助老奶奶,她用了一个多月的时间,每天记录下老太 太卖出牛奶的情况.一个多月以后,她对记录的数据进行统计分析,拿出了一个进货方案, 让老太太按照这个方案进货.老太太不相信这个中学生会让她多赚钱,不肯使用这个方案.这 个中学生便请她的母亲出面来说服老太太,并许诺若赔钱,则由她的母亲赔偿,若赚钱则是 老太太的,这样老太太才将信将疑地使用了这个方案.不到一个月,这位老太太便登门道谢, 连夸这位中学生聪明.这位中学生用所学的数学知识既帮助了老太太,又体验到了数学带给 她的成功喜悦,从而树立起学好数学的信心。 像这样的例子是很多的,老师们能根据本地区的实际情况发现更多生动活泼的、为学生 喜闻乐见的、具有吸引力的课例、案例、事例.我们可以把这看作是一种以问题为载体的, 通过学生自主解决问题的过程进行学习的研究性学习活动,也可以把它纳入到综合性实践学 习课程中或研究性学习课程中去.这样的过程就是“数学建模”,即,在现实世界中发现和 提出一些与数学有关的问题,进而用数学的语言、知识、方法等等,把实际问题转化成数学 的问题,通常称为得到了一个“数学模型”,通过分析和解决这个数学模型,得到一些相应 的数学结果,然后回到实际中检验这些结果,如果不符合实际情况,我们就需要修改建立的 数学模型,重复这样的过程,直到得出符合实际的结果.前面2个实例就是非常好的数学建 模范例.在这样的学习过程中,我们应该更加关注学生提出问题和解决问题的过程.当然由 于学生具备的知识有限,在解决问题上有局限性,但是我们还是应该鼓励学生敢于提出问题, “面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策 略”.所以在《标准》中强调通过数学的应用培养应用数学的意识,当然也希望培养他们解 决实际问题的能力。 . 在数学教育中,应该关注学生对于数学基础知识、基本技能以及数学思想方法的掌握.同时, 也应该帮助学生形成一个开阔的视野,了解数学对于人类发展的价值,特别是它的应用价值, 学生要有知识更要有见识.在培养学生的应用意识时,需要以知识、实践、能力的培养为基 础,教师还应该主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用,向学生提供丰 富的阅读材料,介绍各种查找资料的方法途径,比如通过媒体(报纸、电台、电视、网络)、 图书馆等.教师应向学生介绍数学在各个领域中的应用情况,比如向学生介绍数学在CT、 核磁共振、高清晰度彩电、飞机设计、天气预报等等这些重要技术中发挥核心的作用,老师 可以把这些内容编成有趣的故事、读物等介绍给学生,让学生感受到现实生活中的数学信息 和数学的广泛应用.
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